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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex46
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index 4582c95..4ed3752 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -38,8 +38,8 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
als
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation}
- \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + \lbrack q(x) +
- \lambda w(x) \rbrack y
+ \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+ \lambda w(x)) y
=
0
\end{equation}
@@ -50,6 +50,8 @@ Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
werden.
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+
\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
Differentialgleichung genau zu bestimmen.
@@ -64,39 +66,15 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
-\subsection{Eigenwertproblem}
-Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines
-Eigenwertproblems.
-Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles
-konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere
-Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
-der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
-Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben
-andere Eigenvektoren.
-Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
-Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\begin{equation}
- \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\end{equation}
-
-Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des
-Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$,
-$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$
-orthogonal zu y -
-dies gilt für das Intervall (a,b).
-Somit ergibt die Gleichung
-\begin{equation}
- \label{eq:skalar-sturm-liouville}
- \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\end{equation}
-
-\subsection{Koeffizientenfunktionen}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf
-die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems.
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert.
+
+
%
%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
@@ -120,9 +98,7 @@ Bedingungen beachtet werden.
$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige
-Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu
-kennen.
+Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
@@ -136,7 +112,7 @@ kennen.
Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
Schaut man jetzt die Bedingungen im
- Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese
+ Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.