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@@ -28,73 +28,93 @@ Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
 zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
-unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
 dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
-\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
-% TODO
-Das Eigenwertproblem
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
+\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+
+% TODO: intro
+
+Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben.
+Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
 \[
-    A v
+    \langle Av, w \rangle
     =
-    \lambda v 
+    \langle v, Aw \rangle
 \]
-für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
-in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
-Matrixzerlegungen diskutiert.
+für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
+
+Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
+selbstadjungiert ist.
+Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
 
-Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+Eigenwertproblems
 \[
-    \langle Av, w \rangle
+    A v_i
     =
-    \langle v, Aw \rangle
+    \lambda_i v_i
+    \qquad \lambda_i \in \mathbb{R}
 \]
-gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
-In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
-ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+eine Orthogonalbasis.
 
 \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
-% TODO: check L for errors (- sign)
-
-Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als
-Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator
+In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits
+der Operator
 \[
     L
     =
     \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right)
 \]
-eingeführt wird.
-Mit diesem Operator kann nun
+eingeführt.
+Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung 
 \[
     (p(x)y'(x))' + q(x)y(x)
     =
     \lambda w(x) y(x)
 \]
-umgeschrieben werden zu
-\[
+in das Eigenwertproblem
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
     L y
     =
     \lambda y.
-\]
+\end{equation}
+umzuschreiben.
 
 \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
 
-Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut.
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+angeschaut.
 Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
-Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden,
-dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+Analog zur Matrix $A$ aus 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle L v, w\rangle
     =
     \langle v, L w\rangle
 \]
 gilt.
-Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt 
+Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
+gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
+sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
+schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
+im Weiteren nicht näher diskutiert.
+
+Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
 
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