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Diffstat (limited to 'buch/papers')
-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex69
-rw-r--r--buch/papers/zeta/euler_product.tex2
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex2
3 files changed, 45 insertions, 28 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 0ccc116..8484b28 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
-So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = \frac{1}{2}$.
Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
-Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
\begin{figure}
\centering
@@ -23,7 +23,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat
\end{figure}
\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
-Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+Zuerst definieren wir die Dirichletsche Etafunktion als
\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
\eta(s)
=
@@ -36,26 +36,40 @@ Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s)
Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
\begin{align}
- \zeta(s)
+ \color{red}
+ \zeta(s)
&=
\sum_{n=1}^{\infty}
- \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+ \color{red}
+ \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
\\
- \frac{1}{2^{s-1}}
- \zeta(s)
+ \color{blue}
+ \frac{1}{2^{s-1}}
+ \zeta(s)
&=
\sum_{n=1}^{\infty}
- \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+ \color{blue}
+ \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
\end{align}
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
\begin{align}
- \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+ \left({\color{red}1} - {\color{blue}\frac{1}{2^{s-1}}} \right)
\zeta(s)
&=
- \frac{1}{1^s}
- \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
- + \frac{1}{3^s}
- \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+ {\color{red}\frac{1}{1^s}}
+ \underbrace{
+ -
+ {\color{blue}\frac{2}{2^s}}
+ +
+ {\color{red}\frac{1}{2^s}}
+ }_{-\frac{1}{2^s}}
+ +
+ {\color{red}\frac{1}{3^s}}
+ \underbrace{-
+ {\color{blue}\frac{2}{4^s}}
+ +
+ {\color{red}\frac{1}{4^s}}
+ }_{-\frac{1}{4^s}}
\ldots
\\
&= \eta(s).
@@ -87,14 +101,15 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
\end{equation}
Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
\begin{equation}
- \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \frac{1}{n^s}
=
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
\,dx,
\end{equation}
-und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
\begin{equation}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
\zeta(s)
@@ -137,13 +152,13 @@ wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir
1
&=
\frac{1}{\sqrt{x}}
- \left(
+ \Biggl(
2
\sum_{n=1}^{\infty}
e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+
1
- \right)
+ \Biggr)
\\
2
\psi(x)
@@ -189,7 +204,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
=
I_1 + I_2,
\end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
\begin{align}
I_1
@@ -201,11 +216,11 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
&=
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
- \left(
+ \Biggl(
- \frac{1}{2}
+ \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ \frac{1}{2 \sqrt{x}}
- \right)
+ \Biggr)
\,dx
\\
&=
@@ -237,7 +252,7 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
\,dx
}_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
\end{align}
-Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
+Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
\begin{equation}
I_4
=
@@ -278,8 +293,8 @@ Dies ergibt
\,dx,
\end{align}
wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
-Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
-Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
\begin{equation}
I_1
=
@@ -356,17 +371,19 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
\zeta(s)
=
\frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
- \zeta(1-s).
+ \zeta(1-s),
\end{equation}
+was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
+Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
-Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
\begin{lemma}
- Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+ Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
\begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}
\delta(x - 2\pi k)
diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
index a6ed512..5f4f5ca 100644
--- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -64,7 +64,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche
\begin{equation}
n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
- Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+ Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$.
Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
\begin{equation}
\sum_{k_1=0}^{\infty}
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index db41676..1f10a33 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
&=
\int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
\end{align*}
-Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+Durch Division durch $n^s$ ergeben sich die Quotienten
\begin{equation*}
\frac{\Gamma(s)}{n^s}
=