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Diffstat (limited to 'buch/papers')
-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex108
-rw-r--r--buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex17
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex53
3 files changed, 115 insertions, 63 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index bb95b92..5e09e42 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -14,8 +14,8 @@ Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
-Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
-Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
\begin{align}
\zeta(s)
&=
@@ -26,8 +26,10 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
\zeta(s)
&=
\sum_{n=1}^{\infty}
- \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
- \\
+ \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+\end{align}
+Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
+\begin{align}
\left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
\zeta(s)
&=
@@ -36,14 +38,15 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+ \frac{1}{3^s}
\underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
\ldots
- && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
- \\
- &= \eta(s)
\\
+ &= \eta(s).
+\end{align}
+Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
+\begin{equation}
\zeta(s)
- &=
+ :=
\left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
-\end{align}
+\end{equation}
\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
@@ -61,7 +64,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- dx
+ \,dx
&& \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
\\
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
@@ -69,7 +72,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- dx
+ \,dx
&& \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
\\
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
@@ -79,7 +82,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
x^{\frac{s}{2}-1}
\sum_{n=1}^{\infty}
e^{-\pi n^2 x}
- dx. \label{zeta:equation:integral1}
+ \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
\end{align}
Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
@@ -97,82 +100,103 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
=
+ \underbrace{
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+ }_{I_1}
+
+ \underbrace{
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx,
+ \,dx
+ }_{I_2}
+ =
+ I_1 + I_2,
\end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
\begin{align}
+ I_1
+ =
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
&=
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\left(
- \frac{1}{2}
+ \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
- + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
\right)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ \frac{1}{2}
- \left(
+ \biggl(
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- \right)
- dx
+ \biggl)
+ \,dx
\\
&=
+ \underbrace{
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi \left( \frac{1}{x} \right)
- dx
- + \frac{1}{2}
+ \,dx
+ }_{I_3}
+ +
+ \underbrace{
+ \frac{1}{2}
\int_0^1
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- dx. \label{zeta:equation:integral3}
+ \,dx
+ }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
\end{align}
-Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
+Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
\begin{equation}
+ I_4
+ =
\frac{1}{2}
\int_0^1
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- dx
+ \,dx
=
\frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
-Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
Dies ergibt
\begin{align}
+ I_3
+ =
\int_{\infty}^{1}
- {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi(u)
\frac{-du}{u^2}
&=
\int_{1}^{\infty}
- {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi(u)
\frac{du}{u^2}
\\
@@ -180,21 +204,23 @@ Dies ergibt
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx,
+ \,dx,
\end{align}
wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
\begin{equation}
+ I_1
+ =
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
=
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
@@ -206,12 +232,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\nonumber
\\
&=
@@ -220,12 +246,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\frac{1}{s(s-1)}
@@ -237,7 +263,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
x^{\frac{s}{2}-1}
\right)
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\frac{-1}{s(1-s)}
@@ -249,7 +275,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
x^{\frac{s}{2}}
\right)
\frac{\psi(x)}{x}
- dx,
+ \,dx,
\end{align}
zu erhalten.
Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
@@ -261,4 +287,4 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
\frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
\zeta(1-s).
\end{equation}
-
+%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..03224ff
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
+ dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
+
+ \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{Re$(s)$};
+
+ \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{Im$(s)$};
+ \begin{scope}[yscale=0.1]
+ \draw[] (1,-1) -- (1,1);
+ \end{scope}
+
+ \begin{scope}[]
+ \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
+ \fill[opacity=0.2, blue] (0,1) rectangle (1, -1);
+ \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
+ \end{scope}
+
+\end{tikzpicture} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 59c8744..49fea74 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -1,38 +1,47 @@
-\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
-\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
-Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
%TODO ref Gamma
-Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
-\begin{align}
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+ \Gamma(s)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
\Gamma(s)
&=
- \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
- \\
+ \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
&=
- \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
- &&
- \text{Division durch }n^s
- \\
+ \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
\frac{\Gamma(s)}{n^s}
- &=
- \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
- &&
- \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
- \\
+ =
+ \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ =
\Gamma(s) \zeta(s)
- &=
+ =
\int_0^{\infty} u^{s-1}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
- du.
+ \,du.
\label{zeta:equation:zeta_gamma1}
-\end{align}
+\end{equation}
Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
\begin{align}
- \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
&=
- \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
-
1
\\
@@ -42,7 +51,7 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
&=
\frac{1}{e^u - 1}.
\end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
\zeta(s)
=