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diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index a49b21d..37d99dd 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -3,30 +3,41 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{FM und Bessel-Funktion +\section{Frequenzmodulation und Bessel-Funktionen \label{fm:section:proof}} \rhead{Herleitung} Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich. Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist. -Somit haben wir unser \(x_c\) welches +Somit haben wir unser Signal \[ -\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) +x_c(t) += +\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)), \] -ist. +welches nun als Superposition von harmonischen Schwingungen +geschrieben werden soll, damit man das Frequenzspektrum ablesen +kann. -\subsection{Herleitung} -Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken: +\begin{satz} +\label{fm:satz:spektrum} +Das frequenzmodulierte Signal $x_c(t)$ lässt sich schreiben als \begin{align} x_c(t) = \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) &= - \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t). \label{fm:eq:proof} \end{align} +\end{satz} + +\subsection{Herleitung} +Zum Beweise von Satz~\ref{fm:satz:spektrum} werden zunächst einige +Hilfsmittel gebraucht, deren Anwendung später die Darstellung +\eqref{fm:eq:proof} liefert. \subsubsection{Hilfsmittel} -Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme +Wir brauchen die Hilfe der Additionstheoreme \begin{align} \cos(A + B) &= @@ -43,7 +54,7 @@ Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme \cos(A-B)-\cos(A+B) \label{fm:eq:addth3} \end{align} -und die drei Bessel-Funktionsindentitäten, +und die drei Bessel-Funktionsidentitäten, \begin{align} \cos(\beta\sin\phi) &= @@ -58,7 +69,11 @@ und die drei Bessel-Funktionsindentitäten, J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) \label{fm:eq:besselid3} \end{align} -welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet. +welche man im Kapitel~\ref{buch:chapter:fourier} +als Gleichungen +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, +und \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet. \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal @@ -67,134 +82,199 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal = \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) = - \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t)) - \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + \underbrace{ + \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t)) + }_{\displaystyle=c(t)} + - + \underbrace{ + \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)) + }_{\displaystyle=s(t)}. \label{fm:eq:start} \] -%----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -\subsubsection{Cos-Teil} -Zu beginn wird der Cos-Teil -\begin{align*} +Die beiden Terme auf der rechten Seite werden jetzt unabhängig +voneinander analysiert. + +\subsubsection{Cosinus-Teil} +Zu Beginn wird der Cosinus-Teil +\begin{align} c(t) &= \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt)) -\end{align*} -mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum -\begin{align*} - c(t) +\notag +\intertext{mit Hilfe der Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum} &= - \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + + + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] +\notag \\ &= - J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}} -\end{align*} -%intertext{} Funktioniert nicht. -wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden. -Nun kann die Summe in zwei Summen -\begin{align*} - c(t) + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + + + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) + \underbrace{ + 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t) + }_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}}, +\notag +\intertext{wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} +\(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden. +Nun kann die Summe in zwei Summen } &= - J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + + + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) + + + \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} \\ &= - \sum_{k=\infty}^{1} J_{2k}(\beta) \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} - \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) - \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) -\end{align*} -aufgeteilt werden. -Wenn bei der ersten Summe noch \(k\) von \(-\infty \to -1\) läuft, wird diese summe zu \(\sum_{k=-1}^{-\infty} J_{-2k}(\beta) {\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)} \) -Zudem kann die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht werden. \(n \) wird mit \(2k\) ersetzt, da dies immer gerade ist so gilt: \(J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) -Somit bekommt man zwei gleiche Summen -\begin{align*} - c(t) + \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) + + + J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + + + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) +\notag +\intertext{aufgeteilt werden. +Damit man die beiden Summen in eine zusammenfassen kann, müssen +die Kosinus-Terme in die gleiche Form gebracht werden. +Dazu kann man $k$ durch $-k$ ersetzen, dann muss in der ersten Summe +aber von $-1$ bis $-\infty$ summiert werden. +Ausserdem ist nach Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid3} +für gerade Ordnung der Besselfunktion $J_{-2k}(\beta)=J_{2k}(\beta)$, +so dass die Summe +} &= - \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) - \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2 \cdot 0 \omega_m) - \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) -\end{align*} -Diese können wir vereinfachter schreiben, -\begin{align*} - \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t), + \sum_{k=-\infty}^{-1} + J_{2k}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) + + + J_0(\beta)\cdot \cos\bigl((\omega_c + 0\omega_m) t\bigr) + + + \sum_{k=1}^\infty + J_{2k}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) +\notag +\\ + &= + \sum_{k=-\infty}^\infty + J_{2k}(\beta) + \bigl(\cos(\omega_c + 2k\omega_m)t\bigr). +\notag +\intertext{Dies kann vereinfacht als} + &= + \sum_{\text{$n$ gerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr) \label{fm:eq:gerade} -\end{align*} -da \(2k\) für alle negativen, wie positiven geraden Zahlen zählt. -%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -\subsubsection{Sin-Teil} -Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil -\begin{align*} +\end{align} +geschrieben werden. + +\subsubsection{Sinus-Teil} +Nun zum zweiten Teil der Summe \eqref{fm:eq:start}, den Sinus-Teil +\begin{align} s(t) &= - -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)). -\end{align*} -Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu -\begin{align*} - s(t) + -\sin(\omega_c t)\cdot\sin\bigl(\beta\sin(\omega_m t)\bigr). +\notag +\intertext{Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel-Indentität zu} &= - -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] + -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ + 2 \sum_{k=0}^\infty + J_{ 2k + 1}(\beta) + \cos\bigl(( 2k + 1) \omega_m t\bigr) + \bigg] \\ &= - \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t). -\end{align*} -Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt. -Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt: -\begin{align*} - s(t) + \sum_{k=0}^\infty + -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) + 2\sin(\omega_c t) + \cos\bigl((2k+1)\omega_m t\bigr). +\notag +\intertext{\(2k + 1\) durchläuft alle ungeraden positiven Ganzzahlen. +Nach der Bessel-Identität \eqref{fm:eq:besselid3} ist +\(J_{-(2k+1)}(\beta) = -1\cdot J_{2k+1}(\beta)\). +Damit kann die Summe schreiben als eine Summe über die ungeraden Zahlen $n$: +} &= - \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}. -\end{align*} -Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), -somit wird daraus: -\begin{align*} - s(t) + \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}^\infty + J_{-n}(\beta) + \underbrace{ + 2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t) + }_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}. +\notag +\intertext{Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} +gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), +und es entsteht:} &= - \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \} - \\ + \sum_{\text{$n>0$ ungerade}} + J_{-n}(\beta) + \{ + \cos\bigl((\omega_c - n\omega_m) t\bigr) + - + \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr) + \}. +\notag +\intertext{Wieder ersetzen wir $n$ durch $-n$ in der ersten Summe, +um die gleichen Kosinus-Terme zu erhalten:} &= - \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)} - \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\end{align*} -Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln. -Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\). -\begin{align*} - s(t) + \sum_{\text{$n<0$ ungerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr) + - + \sum_{\text{$n>0$ ungerade}} + J_{-n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr) +\notag +\\ &= - \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) - \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\end{align*} -Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, -jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann: -\begin{align*} - s(t) + \sum_{\text{$n<0$ ungerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr) + + + \sum_{\text{$n>0$ ungerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr) +\notag +\intertext{ +In der zweiten Gleichung haben wir wieder die +Bessel-Identität $J_{-n}(\beta)=-J_{n}(\beta)$ +verwendet, die für $n$ ungerade gilt. +Jetzt kann man die beiden Summen wieder zusammenfassen in +eine einzige, die über alle positiven und negativen ungeraden +Zahl läuft:} &= - \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) - \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\end{align*} -Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden Zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht -\[ - s(t) - = - \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). - \label{fm:eq:ungerade} -\] -, mit allen positiven und negativen Ganzzahlen schreiben. -%------------------------------------------------------------------------------------------ + \sum_{\text{$n$ ungerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr). +\label{fm:eq:ungerade} +\end{align} + \subsubsection{Summe Zusammenführen} -Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade -\[ - \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\] -und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade -\[ - \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\] -ergeben zusammen -\[ - \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) +Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} für die geraden Terme +\begin{align*} +c(t) +&= + \sum_{n\, \text{gerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr) +\intertext{und \eqref{fm:eq:ungerade} für die ungeraden Terme } +s(t) +&= + \sum_{n\, \text{ungerade}} + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr) +\intertext{ergeben zusammen} +x_c(t) +&=c(t)+s(t) +\\ +&= + \cos\bigl(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)\bigr) = - \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t). -\] + \sum_{k= -\infty}^\infty + J_{n}(\beta) + \cos\bigl((\omega_c+ n\omega_m)t\bigr). +\end{align*} Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. -\newpage -%----------------------------------------------------------------------------------------- + \subsection{Bessel und Frequenzspektrum} Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion. |