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diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb Binary files differindex 0bd39b2..3c4500b 100644 --- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf Binary files differindex 284dd7d..932d9d9 100644 --- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/main.log b/buch/papers/lambertw/main.log index 4b0af4d..754563d 100644 --- a/buch/papers/lambertw/main.log +++ b/buch/papers/lambertw/main.log @@ -1,14 +1,12 @@ -This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (TeX Live 2021/W32TeX) (preloaded format=pdflatex 2021.11.16) 15 MAR 2022 13:23 +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 20 JUL 2022 18:38 entering extended mode - restricted \write18 enabled. - %&-line parsing enabled. -**main.tex -(./main.tex -LaTeX2e <2021-11-15> -L3 programming layer <2021-11-12> +**./main.tex +(main.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> ! Undefined control sequence. l.6 \chapter - {Thema\label{chapter:lambertw}} + {Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} The control sequence at the end of the top line of your error message was never \def'ed. If you have misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct @@ -22,16 +20,28 @@ See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. Type H <return> for immediate help. ... -l.6 \chapter{T - hema\label{chapter:lambertw}} +l.6 \chapter{V + erfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. If that doesn't work, type X <return> to quit. -Missing character: There is no T in font nullfont! -Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! 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Undefined control sequence. l.7 \lhead {Thema} @@ -61,666 +71,46 @@ or <return> to continue without it. ! Undefined control sequence. l.9 \chapterauthor - {Hans Muster} + {David Hugentobler und Yanik Kuster} The control sequence at the end of the top line of your error message was never \def'ed. If you have misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, and I'll forget about whatever was undefined. -Missing character: There is no H in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no M in font nullfont! -Missing character: There is no u in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! - -Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 -[][] - [] - - -! LaTeX Error: Missing \begin{document}. - -See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. -Type H <return> for immediate help. - ... - -l.11 E - in paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. -If that doesn't work, type X <return> to quit. - -Missing character: There is no E in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no p in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no H in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no w in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no f in font nullfont! -LaTeX Font Info: Trying to load font information for +cmr on input line 11. -LaTeX Font Info: No file cmr.fd. on input line 11. - -LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined -(Font) using `/cmr/m/n' instead on input line 11. - -! Corrupted NFSS tables. -wrong@fontshape ...message {Corrupted NFSS tables} - error@fontshape else let f... -l.11 Ein paar Hinweise fü - r die korrekte Formatierung des Textes -This error message was generated by an \errmessage -command, so I can't give any explicit help. -Pretend that you're Hercule Poirot: Examine all clues, -and deduce the truth by order and method. - - -LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined -(Font) using `OT1/cmr/m/n' instead on input line 11. - -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no k in font nullfont! -Missing character: There is no o in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no k in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no F in font nullfont! -Missing character: There is no o in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no u in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no T in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no x in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! - -Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 11--12 -[] - [] - - -Overfull \hbox (10.55559pt too wide) in paragraph at lines 11--12 -\/cmr/m/n/10 ^^?u - [] - -Missing character: There is no A in font nullfont! -Missing character: There is no b in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no z in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no w in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no b in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no l in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no , in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no d in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no m in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no L in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no z in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no l in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no i in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no f in font nullfont! -Missing character: There is no g in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no . in font nullfont! 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Missing character: There is no r in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no . in font nullfont! - -Overfull \hbox (5.55557pt too wide) in paragraph at lines 26--28 -\/cmr/m/n/10 ^^?u - [] - -Overfull \hbox (7.50002pt too wide) in paragraph at lines 26--28 -[]\/cmr/m/n/10 U +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 +[][] [] @@ -734,16 +124,16 @@ Enter file name: <read *> l.30 \input{papers/lambertw/teil0.tex} - ^^M + *** (cannot \read from terminal in nonstop modes) Here is how much of TeX's memory you used: - 36 strings out of 478371 - 593 string characters out of 5852527 - 296836 words of memory out of 5000000 - 18242 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 403598 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 + 22 strings out of 478927 + 609 string characters out of 2852535 + 290175 words of memory out of 3000000 + 17980 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403430 words of font info for 27 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 23i,1n,32p,120b,183s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s + 16i,0n,26p,94b,28s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s ! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/main.tex b/buch/papers/lambertw/main.tex index 68b7a5d..9e6d04f 100644 --- a/buch/papers/lambertw/main.tex +++ b/buch/papers/lambertw/main.tex @@ -4,34 +4,34 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} -\lhead{Thema} +\lhead{Verfolgungskurven} \begin{refsection} \chapterauthor{David Hugentobler und Yanik Kuster} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +%Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +%\begin{itemize} +%\item +%Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. +%Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +%\item +%Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende +%Optionen werden gelöscht. +%Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +%\item +%Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. +%Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen +%in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt +%anzuwenden. +%\item +%Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren +%Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +%\end{itemize} \input{papers/lambertw/teil0.tex} -%\input{papers/lambertw/teil1.tex} %\input{papers/lambertw/teil2.tex} %\input{papers/lambertw/teil3.tex} \input{papers/lambertw/teil4.tex} +\input{papers/lambertw/teil1.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex index 73fe187..2905605 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex @@ -4,15 +4,27 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Was sind Verfolgungskurven? -\label{lambertw:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} +\label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}} +\rhead{Was sind Verfolgungskurven?} -Verfolgungskurven tauchen oft auf bei fragen wie, welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt. Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. Der Verfolger versucht sein Ziel zu ergattern und das Ziel versucht zu entkommen. Der Pfad, der der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als DGL formuliert werden. Diese DGL entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. +Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt. +Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. +Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen. +Der Pfad, der der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. +Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als Differentialgleichung formuliert werden. +Diese Differentialgleichung entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. \subsection{Verfolger und Verfolgungsstrategie \label{lambertw:subsection:Verfolger}} -Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. Wir nehmen an, dass sich der Verfolger stur an eine Verfolgungsstrategie hält. Dabei gibt es viele mögliche Strategien, die der Verfolger wählen könnte. Die möglichen Strategien entstehen durch Festlegung einzelner Parameter, die der Verfolger kontrollieren kann. Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor. Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren. Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei. Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben. +Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. +Wir nehmen an, dass sich der Verfolger stur an eine Verfolgungsstrategie hält. +Dabei gibt es viele mögliche Strategien, die der Verfolger wählen könnte. +Die möglichen Strategien entstehen durch Festlegung einzelner Parameter, die der Verfolger kontrollieren kann. +Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor. +Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren. +Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei. +Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben. \begin{table} \centering @@ -31,54 +43,54 @@ Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie defini \hline \end{tabular} \caption{mögliche Verfolgungsstrategien} - \label{lambertw:Strategien} + \label{lambertw:table:Strategien} \end{table} -%\begin{figure} -% \centering -% \includegraphics{.\papers\lambertw\Bilder\pursuerDGL2.pdf} -% \label{pursuer:pursuerDGL2} -%\end{figure} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.1]{./papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf} + \caption{Vektordarstellung Strategie 1} + \label{lambertw:grafic:pursuerDGL2} +\end{figure} -In der Tabelle \eqref{lambertw:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt. -Folgend wird nur noch auf die Strategie 1 eingegangen. -Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel hinzu. -In der Grafik \eqref{lambertw:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt. -Wobei $\overrightarrow{V}$ der Ortsvektor des Verfolgers, $\overrightarrow{Z}$ der Ortsvektor des Ziels und $\overrightarrow{\dot{V}}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. +In der Tabelle \eqref{lambertw:table:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt. +Im Folgend wird nur noch auf die Strategie 1 eingegangen. +Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel zu. +In der Abbildung \eqref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt, +wobei $\vec{V}$ der Ortsvektor des Verfolgers, $\vec{Z}$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{\vec{V}}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung \begin{equation} - |\overrightarrow{\dot{V}}| - = konst = A - \quad|A\in\mathbb{R}>0 + |\dot{\vec{V}}| + = const = A + \quad A\in\mathbb{R}>0 \end{equation} darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor wiederum kann mit der Gleichung \begin{equation} - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot|\overrightarrow{\dot{V}}| + \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot|\dot{\vec{V}}| = - \overrightarrow{\dot{V}} + \dot{\vec{V}} \end{equation} beschrieben werden. -Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{V}$ und $\overrightarrow{Z}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt. -Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt. +Die Differenz der Ortsvektoren $\vec{V}$ und $\vec{Z}$ ist ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt. +Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division durch den Betrag, die Länge auf eins festgelegt. Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. -Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. +Nun wird die Gleichung mit $\dot{\vec{V}}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. \begin{align} - \label{pursuer:pursuerDGL} - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot - \overrightarrow{\dot{V}} + \label{lambertw:pursuerDGL} + \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot + \dot{\vec{V}} &= - |\overrightarrow{\dot{V}}|^2 + |\dot{\vec{V}}|^2 \\ - \frac{\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|}\cdot \frac{\overrightarrow{\dot{V}}}{|\overrightarrow{\dot{V}}|} + \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot \frac{\dot{\vec{V}}}{|\dot{\vec{V}}|} &= 1 \end{align} -Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern der Verfolger die Strategie 1 verwendet. - +Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, insofern der Verfolger die Strategie 1 verwendet. \subsection{Ziel \label{lambertw:subsection:Ziel}} @@ -87,16 +99,13 @@ Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halte Diese Strategie kann als Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden. Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung \begin{equation} - \vec{r}(t) + \vec{Z}(t) = - \begin{Bmatrix} - 0\\ - t - \end{Bmatrix} + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) \end{equation} beschrieben werden könnte. Mit dieser Gleichung ist das Ziel auch schon vollumfänglich definiert. -Die Fluchtkurve kann eine beliebige Form haben, jedoch wird die zu lösende DGL immer komplexer. +Die Fluchtkurve kann eine beliebige Form haben, jedoch wird die zu lösende Differentialgleichung immer komplexer. diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex index cc4a62a..e8171fd 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex @@ -3,160 +3,121 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Ziel +\section{Wird das Ziel erreicht? \label{lambertw:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} +Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird. +Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird. +Sobald diese Frage beantwortet wurde stellt sich meist die Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird. +Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel betrachtet. + +\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten) +\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}} +Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen. +Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen +\begin{align*} + x\left(t\right) + &= + \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\ + y(x) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\ + \chi + &= + \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\ + \eta + &= + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 + \\ + r_0 + &= + \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\ +\end{align*} +Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind - -%\begin{figure}[H] -% \centering -% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{.\Bilder\something.pdf} -% \label{pursuer:grafik1} -%\end{figure} - - - -Je nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine andere DGL. -Für dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Strategie gewählt. -Bei dieser Strategie bewegt sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel hinzu. -Womit der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers zu jeder Zeit direkt auf das Ziel zeigt. - -Um die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer:grafik1} aufgezeigt. -Der Punkt $P$ ist der Verfolger und der Punkt $A$ ist sein Ziel. - -Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor \begin{equation} - \frac{A-P}{|A-P|} + \vec{Z}(t) = - \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|} -\end{equation} -benötigt. Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OA}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $P$ auf $A$ zeigt. -Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt. -Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $A$ und $P$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. -Wenn die Punkte $A$ und $P$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. - -Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. -\begin{equation} - \label{pursuer:pursuerDGL} - \frac{A-P}{|A-P|}\cdot \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|} + \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) + ;\quad + \vec{V}(t) = - 1 + \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) + \label{lambertw:Anfangspunkte} \end{equation} -Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel zubewegt. +Somit gilt es -\subsection{Beispiel} -Das Verfolgungsproblem wird mithilfe eines konkreten Beispiels veranschaulicht. Dafür wird die einfachste Strategie verwendet, bei der sich der Verfolger direkt auf sein Ziel hinzu bewegt. Für dieses Problem wurde bereits die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} hergeleitet. +\begin{equation*} + \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1) +\end{equation*} -Um dieses Beispiel einfach zu halten, wird für den Verfolger und das Ziel jeweils eine konstante Geschwindigkeit von eins gewählt. Das Ziel wiederum startet im Ursprung und bewegt sich linear auf der positiven Y-Achse. +zu lösen. Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden. -\begin{align} - v_P^2 +\begin{align*} + 0 &= - \dot{P}\cdot\dot{P} + x(t) = - 1 - \\[5pt] - v_A - &= - 1 - \\[5pt] - A + \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} + \\ + v \cdot t &= - \begin{pmatrix} - 0 \\ - v_A\cdot t - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 \\ - t - \end{pmatrix} - \\[5pt] - P - &= - \begin{pmatrix} - x \\ - y - \end{pmatrix} -\end{align} - -Die Anfangsbedingungen dieses Problems sind. - -\begin{align} - y(t)\bigg|_{t=0} - &= - y_0 - \\[5pt] - x(t)\bigg|_{t=0} - &= - x_0 \\[5pt] - \frac{\,dy}{\,dx}(t)\bigg|_{t=0} - &= - \frac{y_A(t) -y_P(t)}{x_A(t)-x_P(t)}\bigg|_{t=0} -\end{align} - -Mit den vorangegangenen Definitionen kann nun die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} gelöst werden. -Dafür wird als erstes das Skalarprodukt ausgerechnet. + y(t) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) + \\ +\end{align*} + +Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. +Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. +Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +Die Gleichung \begin{equation} - \dfrac{-x\cdot\dot{x}+(t-y)\cdot\dot{y}}{\sqrt{x^2+(t-y)^2}} = 1 + 0 + = + W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right) \end{equation} +entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +\begin{equation*} + W(0)=0 +\end{equation*} +besitzt. Kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu +\begin{equation} + 0 + = + \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}} +\end{equation} +Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffer möglich wäre. +Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden. +Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden. +Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann. +Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius. +Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert. +Mathematisch kann dies mit +\begin{equation} + |\vec{V}-\vec{Z}|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0 +\end{equation} +beschrieben werden, wobei $a_min$ dem Trefferradius entspricht. +Diese Gleichung wird noch quadriert, um die Wurzeln des Betrages loszuwerden. +Da sowohl der Betrag als auch $a_min$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert. - -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt \begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{lambertw:equation1} + |\vec{V}-\vec{Z}|^2<a_min^2 \quad a_min\in \mathbb{R} > 0 \end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{lambertw:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{lambertw:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{lambertw:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. |