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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 104 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 58569e9..fb5f331 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -181,7 +181,7 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form \[ X(x) = - A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). + A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right). \] Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung @@ -191,41 +191,41 @@ Man erhält also \[ X^{\prime}(x) = - \alpha A \cos \left( \alpha x \right) - - \beta B \sin \left( \beta x \right) + - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) + + \beta B \cos \left( \beta x \right) \] und \[ X^{\prime \prime}(x) = - -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) - - \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right). + -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) - + \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right). \] Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) - - \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) - + \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right) = 0 \] und durch umformen somit \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = - \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). + \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] Mittels Koeffizientenvergleich von \[ \begin{aligned} - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) &= - \mu A\sin(\alpha x) + \mu A\cos(\alpha x) \\ - -\beta^{2}B\cos(\beta x) + -\beta^{2}B\sin(\beta x) &= - \mu B\cos(\beta x) + \mu B\sin(\beta x) \end{aligned} \] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für @@ -251,41 +251,41 @@ Dies fürht zu \[ X(0) = - A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta) + A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta) = 0. \] -Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten. -Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. +Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten. +Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. -Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt +Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt sich \[ X(l) = - A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l) + 0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l) = - A \sin(\alpha l) + B \sin(\beta l) = 0. \] -$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. -Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen: +$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. +Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} - \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\beta l) &= 0 \\ + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] -Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass +Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass \begin{equation} - \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} + \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} \end{equation} sein muss. -Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist. -Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine +Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. +Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst @@ -296,18 +296,18 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = - \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta) + -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta) = 0. \] -In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. +In diesem Fall muss $B = 0$ gelten. Zusammen mit der Bedignung für $x = l$ folgt nun \[ X^{\prime}(l) = - 0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l) = - -\beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) = 0. \] @@ -316,14 +316,14 @@ Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ \begin{aligned} - \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\alpha l) &= 0 \\ + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] und somit \[ - \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. + \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur @@ -348,9 +348,9 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu = a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right). + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere @@ -363,9 +363,9 @@ Es gilt also nun die Gleichung = a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \end{equation} nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion @@ -378,17 +378,17 @@ Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das -Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ +Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \[ - \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle \] Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -399,24 +399,24 @@ Um die \[ \begin{aligned} - \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& \int_{-l}^{l} \left[a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx \\ =& - a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + - \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] \\ &+ - \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] \end{aligned} \] |