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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex9
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex6
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/main.tex13
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex16
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex20
5 files changed, 30 insertions, 34 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index c0a6e8f..82046ba 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -3,12 +3,3 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Beispiele
-\label{sturmliouville:sec:examples}}
-\rhead{Beispiele}
-
-% Fourier: Erik work
-\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
-
-% Tschebyscheff
-\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 6c5fb59..9912595 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
als
\begin{equation}
\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
- \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+ \frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) +
\lambda w(x)) y
=
0
@@ -49,12 +49,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
umgewandelt werden.
Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden.
\subsection{Randbedingungen
\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
-Differentialgleichung genau zu bestimmen.
+Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen.
Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
\begin{equation}
\begin{aligned}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index a36e85a..9d4ce96 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -23,12 +23,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das
Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem
vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind.
-\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
%einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
+
%Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
-\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
-%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index dfc6798..d5c2dc6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Tschebyscheff-Polynome
\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
In diesem Unterkapitel wird anhand der
@@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
-\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
\begin{align*}
@@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
Da die Sturm-Liouville-Gleichung
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
- \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
- (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+ \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+ \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
=
0
\end{equation}
@@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
-\subsubsection*{Randwertproblem}
+\subsection*{Randwertproblem}
Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
@@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
Für das reguläre Problem muss laut der
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
illustriert.
Dazu verwendet man das Skalarprodukt
\[
- \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
+ \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
\]
Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
ergibt
\[
\begin{aligned}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
- \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+ \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
&= 0.
\end{aligned}
\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 356e259..f888d02 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
(Wärmeleitung)}
In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
@@ -34,7 +34,7 @@ Tempreatur gehalten werden.
%
% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
%
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
@@ -54,7 +54,7 @@ als Randbedingungen.
% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
%
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
@@ -80,7 +80,7 @@ als Randbedingungen.
% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
%
-\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+\subsection{Lösung der Differenzialgleichung}
Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
die Separationsmethode verwendet.
@@ -191,7 +191,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
% Lösung von X(x), Teil mu
%
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
Als erstes wird auf die
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -360,10 +360,10 @@ wie auch mit isolierten Enden
\end{equation}
% TODO: infinite base vectors and fourier series
-\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+\subsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
% TODO: check ease of reading
-\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
+\subsection{Berechnung der Koeffizienten}
% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
@@ -625,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch
% Lösung von T(t)
%
-\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
Zuletzt wird die zweite Gleichung der
Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -656,7 +656,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
% TODO: elaborate
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
\[
\begin{aligned}
u(t,x)
@@ -670,7 +670,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
\end{aligned}
\]
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
\[
\begin{aligned}
u(t,x)