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diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex index 07dd2ff..7f65f06 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -6,6 +6,107 @@ \section{Gleichungen und Randbedingungen \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} -\subsection{Laplace-Operator} +\subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen} + + +\subsubsection{Gebiete} +Gewöhnliche Differentialgleichungen haben nur eine unabhängige +Variable, die gesuchte Lösungsfunktion ist auf eine +Intervall in $\mathbb{R}$ definiert. +Die Lösungsfunktion einer partiellen Differentialgleichung +ist auf einer Teilmenge von $\mathbb{R}^n$ definiert, des +ermöglicht wesentlich vielfältigere und kompliziertere +Situationen. + +\begin{definition} +Ein Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$ ist eine offene Teilmenge +von $\mathbb{R}^n$, d.~h.~für jeden Punkt $x\in G$ gibt es +eine kleine Umgebung +\( +U_{\varepsilon}(x) += +\{y\in\mathbb{R}^n\mid |x-y|<\varepsilon\} +\), die ebenfalls in $G$ in enthalten ist, +also $U_{\varepsilon}(x)\subset G$. +\end{definition} + +\subsubsection{Differentialoperatoren} +Eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine Funktion +ist eine Beziehung zwischen den Werten der Funktion und ihrer +Ableitung in jedem Punkt des Definitionsintervalls. +Eine partielle Differentialgleichung ist entsprechend eine +Beziehung zwischen den Werten einer Funktion und ihren partiellen +Ableitungen. +Eine Funktion von mehreren Variablen hat sehr viel mehr partielle +Ableitungen, bereits partielle Differentialgleichungen erster +Ordnung sind daher sehr viel vielfältiger. +Bei höheren partiellen Ableitungen kommen noch die zusätzliche Bedingungen +\[ +\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} += +\frac{\partial^2 u}{\partial x_j\,\partial x_i} +\] +hinzu, die für jedes Paar von Indizes $i,j$ ebenfalls erfüllt sein +müssen. + +In diesem Kapitel betrachten wir ausschliesslich lineare +Differentialgleichungen. +Die Funktionswerte und partiellen Ableitungen lassen sich daher +in der Form eines Operators +\[ +L += +a ++ \sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial}{\partial x_i} ++ \sum_{i,j=1}^n c_{ij} \frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j} ++ \dots +\] +schreiben. +Die Koeffizienten $a$, $b_i$, $c_{ij}$ können dabei durchaus auch +Funktionen der unabhängigen Variablen sein. + +\subsubsection{Laplace-Operator} +Der Laplace-Operator hat in einem karteischen Koordinatensystem die +Form +\[ +\Delta += +\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} ++ +\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} ++ +\dots ++ +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}. +\] +Er zeichnet sich durch die Eigenschaft aus, dass eine beliebige +Translation oder Drehung des Koordinatensystems den Wert von $\Delta u$ +nicht ändert. +Man könnte sagen, der Laplace-Operator ist symmetrisch bezüglich +aller Bewegungen des Raumes. + +\subsubsection{Wellengleichung} + +\subsubsection{Eigenfunktionen} +Eine besonders einfache + +\subsubsection{Trigonometrische Funktionen} +Die trigonometrischen Funktionen \subsection{Orthogonalität} +In der linearen Algebra lernt man, dass die Eigenvektoren einer +symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthgonal sind. +Dies hat zur Folge, dass die Transformation in eine Eigenbasis +mit einer orthogonalen Matrix möglich ist, was wiederum die Basis +von Diagonalisierungsverfahren wie dem Jacobi-Verfahren ist. + +Das Separationsverfahren wird zeigen, wie sich das Finden einer +Lösung der Wellengleichung auf Lösungen des Eigenwertproblems +$\Delta u = \lambda u$ zurückführen lässt. +Damit stellt sich die Frage, welche Eigenschaften + + +\subsubsection{Gewöhnliche Differentialglichung} + + +\subsubsection{$n$-dimensionaler Fall} diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex index 40e67c0..eab02d2 100644 --- a/buch/common/teilnehmer.tex +++ b/buch/common/teilnehmer.tex @@ -4,19 +4,22 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % Joshua Bär, % E -Fabian Dünki, % E +Marc Benz, % MSE +Manuel Cattaneo, % MSE +Fabian Dünki%, % E +\\ Robin Eberle, % E -Enez Erdem%, % B +Enez Erdem, % B +Nilakshan Eswararajah%, % B \\ -Nilakshan Eswararajah, % B David Hugentobler, % E -Yanik Kuster%, % E -\\ +Yanik Kuster, % E Marc Kühne, % B -Erik Löffler, % E -Andrea Mozzini Vellen, % E -Naoki Pross%, % E +Erik Löffler%, % E \\ +Andrea Mozzini Vellen, % E +Patrik Müller, % MSE +Naoki Pross, % E Thierry Schwaller, % E Tim Tönz % E |