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diff --git a/buch/papers/0f1/references.bib b/buch/papers/0f1/references.bib index 2d3f874..ca1b558 100644 --- a/buch/papers/0f1/references.bib +++ b/buch/papers/0f1/references.bib @@ -10,7 +10,7 @@ date = {2022-07-07}, year = {2022}, month = {7}, - day = {19} + day = {7} } @online{0f1:wiki-airyFunktion, @@ -19,7 +19,7 @@ date = {2022-07-07}, year = {2022}, month = {7}, - day = {25} + day = {7} } @online{0f1:wiki-kettenbruch, @@ -37,7 +37,7 @@ date = {2022-07-07}, year = {2022}, month = {7}, - day = {25} + day = {7} } @online{0f1:wolfram-0f1, @@ -46,7 +46,7 @@ date = {2022-07-07}, year = {2022}, month = {7}, - day = {25} + day = {7} } @online{0f1:wiki-fraction, @@ -55,7 +55,16 @@ date = {2022-07-07}, year = {2022}, month = {7}, - day = {25} + day = {7} +} + +@online{0f1:code, + title = {Vollständiger C-Code}, + url ={https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen/tree/master/buch/papers/0f1/listings}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} } @book{0f1:SeminarNumerik, diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index f8d70a8..2ca9647 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -6,8 +6,7 @@ \section{Mathematischer Hintergrund
\label{0f1:section:mathHintergrund}}
\rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
-und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
beschrieben.
\subsection{Hypergeometrische Funktion
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 3c2b5cd..9269961 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Umsetzung
\label{0f1:section:teil2}}
\rhead{Umsetzung}
-Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt.\cite{0f1:code} Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.
\subsection{Potenzreihe
@@ -35,20 +35,16 @@ Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
\end{equation*}
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.
-
Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist
\begin{equation*}
a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
\end{equation*}
und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.
\cite{0f1:wiki-kettenbruch}
-
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies\cite{0f1:wiki-fraction}:
\begin{equation*}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
\end{equation*}
-\cite{0f1:wiki-fraction}
-
Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
@@ -57,13 +53,13 @@ Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde.
\cite{0f1:wolfram-0f1}
-\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
\subsection{Rekursionsformel
\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
-Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche})
+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}
-\subsubsection{Verkürzte Herleitung}
+\subsubsection{Herleitung}
Ein Näherungsbruch in der Form
\begin{align*}
\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}
@@ -93,7 +89,6 @@ Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken: \end{pmatrix}.
%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
\end{equation*}
-
Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
@@ -124,7 +119,6 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen: a_k
\end{pmatrix}
\end{align*}
-
Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
\begin{equation}
\label{0f1:math:matrix:ende:eq}
@@ -142,7 +136,6 @@ Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix a_k
\end{pmatrix}.
\end{equation}
-
Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
\[
\frac{Ak}{Bk}
@@ -161,6 +154,7 @@ B_{-1} &= 1 & B_0 &= 1 \item Schritt $k\to k+1$:
\[
\begin{aligned}
+\label{0f1:math:loesung:eq}
k &\rightarrow k + 1:
&
A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
@@ -175,4 +169,4 @@ Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$ Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
%Code
-\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file +\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 355e1b7..2855e26 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -3,17 +3,37 @@ %
% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Resultate
+\section{Auswertung
\label{0f1:section:teil3}}
\rhead{Resultate}
Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt,
das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
-So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen z in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
-Ebenso wird, je grösser der Wert z wird $\mathstrut_0F_1(;c;z)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate
-von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}
+So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
+Ebenso kann festgestellt werden,dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}
+
+\subsection{Konvergenz
+\label{0f1:subsection:konvergenz}}
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+
+Erst wenn mehrere Durchläufe gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen.
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.
+\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}
+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen.\ref{0f1:math:loesung:eq} Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+
+Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
+Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
+
+\subsection{Stabilität
+\label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
+Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+
+Wohingegen die Potenzreihe \ref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
+Die Rekursionformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
+
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Fakultät im Nenner, was zum Phänomen der Auslöschung führt.\cite{0f1:SeminarNumerik} Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
+
+
-\subsection{Auswertung
-\label{0f1:subsection:auswertung}}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
@@ -38,19 +58,7 @@ von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} \begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
- \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library.
+ \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.
\label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
\end{figure}
-\begin{itemize}
- \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem.
- \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol.
- \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library.
-\end{itemize}
-
-
-\subsection{Ausblick
-\label{0f1:subsection:ausblick}}
-Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik}
-{\color{red} TODO beschreiben Lösung}
-
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