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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8616172..fc9c3da 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,20 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% state goal -% use only what is necessary -% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) -% -> Eigenvalue problem with matrices only -% -> prepare reader for following examples -% -% order: -% 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem -% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) -% 4. Spectral theorem (brief) -% 5. Base of orthonormal functions - \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} @@ -99,9 +85,9 @@ Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ - \langle L v, w\rangle + \langle L u, v\rangle = - \langle v, L w\rangle + \langle u, L v\rangle \] gilt. Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 19dad5e..30ba8f6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,12 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems -(Wärmeleitung)} +\section{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung -dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und @@ -113,7 +112,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = - \mu + \mu. \] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: @@ -127,7 +126,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = - 0 + 0. \end{equation} % @@ -137,7 +136,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des -Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle +Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können @@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies = 0 \] -und durch umformen somit +und durch Umformen somit \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] -Mittels Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) @@ -297,7 +296,7 @@ für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. -Dies fürht zu +Dies führt zu \[ X(0) = @@ -324,7 +323,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{aligned} \] @@ -472,14 +471,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} - \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle = - \langle a_0 + \biggl\langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle \end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -513,7 +512,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde. +um den Faktor $2$ skalliert wurde. Es gilt also \[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -586,8 +585,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite -berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst -mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. +Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert +wird: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -609,7 +609,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \\ a_m &= - \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. \end{aligned} \] @@ -676,7 +676,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \\ a_0 &= - \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx. \end{aligned} \] |