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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 23 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index fb5f331..fa96eff 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -385,9 +385,9 @@ gebildet: = \langle a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right), + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle \] @@ -395,8 +395,21 @@ Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. -Um die - +Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode +integriert werden. +Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem +eine neue Funktion +\[ + \hat{u}(0, x) + = + \begin{cases} + u(0, x + l) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases} +\] +angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt. +Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -416,7 +429,7 @@ Um die \\ &+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]. \end{aligned} \] |