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-rw-r--r-- | buch/chapters/040-rekursion/beta.tex | 27 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index fbaea46..1c0861a 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -480,19 +480,28 @@ bereits bekannten Wert. \subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als -\begin{equation} +\begin{align*} \binom{n}{k} -= +&= \frac{n!}{(n-k)!\,k!} +\intertext{geschrieben werden. +Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man} +&= +\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}. +\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus +wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$} +&= +\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}. +\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt, +den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass +der Binomialkoeffizient schliesslich} +&= +\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)} = -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -= -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -= -\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} +\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)} \label{buch:rekursion:gamma:binombeta} -\end{equation} -geschrieben werden. +\end{align*} +geschrieben werden kann. Die Rekursionsbeziehung \[ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} |