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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf Binary files differindex e745b73..a7e3fa7 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.tex index 3bd8b63..db41b94 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/fibonacci.tex @@ -49,7 +49,7 @@ ({4.8*\topskala},4.3) to[out=-120,in=90] (5.0,-10.8); \draw[->,color=darkgreen!30,line width=5pt] - ({6.0*\topskala},4.3) to[out=-90,in=70] (8.1,0.2); + ({6.0*\topskala},4.3) to[out=-90,in=65] (8.1,0.2); \begin{scope}[yshift=4.8cm,scale=\topskala] @@ -67,14 +67,15 @@ \foreach \n in {0,3,6}{ \foreach \x in {-0.5,-0.4,...,0.501}{ - \draw[color=blue,line width=0.7pt] + \draw[color=red,line width=0.7pt] ({\n+\x},-0.5) -- ({\n+\x},0.5); } \foreach \y in {-0.5,-0.4,...,0.501}{ - \draw[color=red,line width=0.7pt] + \draw[color=blue,line width=0.7pt] ({\n-0.5},\y) -- ({\n+0.5},\y); } } + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,0) -- (6.5,0); \foreach \n in {0,...,6}{ \fill[color=white,opacity=0.8] ({\n-0.1},-0.28) rectangle ({\n+0.1},-0.05); @@ -100,9 +101,9 @@ \fibsix \end{scope} \fibcurve - \node[color=magenta] at (-1.3,-1.8) {$n=0$}; - \node[color=magenta] at (1.9,0.8) {$n=3$}; - \node[color=magenta] at (8,2.3) {$n=6$}; + \node[color=magenta] at (-1.3,-1.8) {$z=0$}; + \node[color=magenta] at (1.9,0.8) {$z=3$}; + \node[color=magenta] at (8,2.3) {$z=6$}; \zahl{0}{F(0)=0} \zahl{2}{F(3)=2} \zahl{8}{F(6)=8} @@ -120,10 +121,10 @@ \fibfour \end{scope} \fibcurve - \node[color=magenta] at (1,1.2) {$n=1$}; - \node[color=magenta] at (3,1.1) {$n=4$}; + \node[color=magenta] at (1,1.2) {$z=1$}; + \node[color=magenta] at (3,1.1) {$z=4$}; \zahl{1}{F(1)=1} - \zahl{4}{F(4)=3} + \zahl{3}{F(4)=3} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-11cm,scale=1] @@ -138,8 +139,8 @@ \fibfive \end{scope} \fibcurve - \node[color=magenta] at (0.7,1.1) {$n=2$}; - \node[color=magenta] at (5,1.5) {$n=5$}; + \node[color=magenta] at (0.7,1.1) {$z=2$}; + \node[color=magenta] at (5,1.5) {$z=5$}; \zahl{2}{F(2)=1} \zahl{5}{F(5)=5} \end{scope} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index 33b8043..303e1a6 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -98,6 +98,24 @@ F_{jk}(z) = e^{2k\pi i z} e^{b_jz} sind Lösungen der Differenzengleichung. \subsection{Komplexe Fibonacci-Zahlen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.82\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf} +\caption{Komplexe Fibonacci-Zahlen-Funktion $F(z)$ von +\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} +dargestellt als Abbildung $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. +Die ganzzahligen $z$ werden auf die wohlbekannten Fibonacci-Zahlen +abgebildet. +Zur besseren Lesbarkeit wird der Wertebereich dreimal dargestellt, +damit die Bilder der einzelnen reellen Teilintervalle in verschiedene +Wertebereich-Bilder verteilt werden können. +$x$-Werte zwischen $3k-\frac12$ und $3k+\frac12$ werden im obersten +Bildbereich dargestellt, solche zwischen $3k+\frac12$ und $3k+\frac32$ +im mittleren und schliesslich solche zwischen $3k+\frac32$ und $3k+\frac52$ +im untersten. +Die reelle Achse wird auf die grüne Kurve abgebildet. +\label{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph}} +\end{figure} Matt Parker vom Youtube-Kanal Stand-up Maths hat in einem Video\footnote{\url{https://youtu.be/ghxQA3vvhsk}} die Lösungsfunktionen für die Differenzengleichung der Fibonacci-Zahlen für beliebige @@ -123,24 +141,6 @@ F(z) = \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^z - \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(-\varphi)^z} \label{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} \end{equation} Dies ist die Funktion, die Matt Parker in seinem Video visualisiert hat. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.82\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf} -\caption{Komplexe Fibonacci-Zahlen-Funktion $F(z)$ von -\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} -dargestellt als Abbildung $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. -Die ganzzahligen $z$ werden auf die wohlbekannten Fibonacci-Zahlen -abgebildet. -Zur besseren Lesbarkeit wird der Wertebereich dreimal dargestellt, -damit die Bilder der einzelnen reellen Teilintervalle in verschiedene -Wertebereich-Bilder verteilt werden können. -$x$-Werte zwischen $3n-\frac12$ und $3n+\frac12$ werden im obersten -Bildbereich dargestellt, solche zwischen $3n+\frac12$ und $3n+\frac32$ -im mittleren und schliesslich solche zwischen $3n+\frac32$ und $3n+\frac52$ -im untersten. -Die reelle Achse wird auf die grüne Kurve abgebildet. -\label{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph}} -\end{figure} Abbildung~\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph} zeigt die Abbildung $z\mapsto F(z)$. Allerdings sind die Funktionen @@ -150,7 +150,7 @@ F_{kl}(z) \frac{1}{\sqrt{5}} \varphi^ze^{2k\pi iz} - -\frac{1}{\sqrt{5}(-\varphi)^z} e^{2l\pi z} +\frac{1}{\sqrt{5}(-\varphi)^z} e^{2l\pi iz} \] ebenfalls Lösungen der Differenzengleichung mit den gleichen Anfangswerten. |