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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index eb1a152..e6d27b9 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel = \lambda f(\sigma,\tau,z). \end{equation} -Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e6a55b2..1f9db85 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,10 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} -\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} +Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten +Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +gefunden werden. +\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 1b63c8e..705dbef 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -14,7 +14,7 @@ Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen $A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben \begin{align} w_1(\alpha,x) &= @@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. - c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 12c28fe..4176b55 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \caption{Semi-infinite Leiterplatte} \label{parzyl:fig:leiterplatte} \end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und +semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} @@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} F(s) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}} + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}} . \end{equation} @@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um +das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben. +Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen, +da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe +der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden. %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst %\begin{equation} % x = \sigma \tau, diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc index 7ffdad2..4000fa7 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc @@ -9,6 +9,5 @@ dependencies-sturmliouville = \ papers/sturmliouville/references.bib \ papers/sturmliouville/einleitung.tex \ papers/sturmliouville/eigenschaften.tex \ - papers/sturmliouville/beispiele.tex \ papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex \ papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex deleted file mode 100644 index 4df5619..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ /dev/null @@ -1,13 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Beispiele -\label{sturmliouville:sec:examples}} - -% Fourier: Erik work -\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} - -% Tschebyscheff -\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8616172..0f1f235 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,25 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% state goal -% use only what is necessary -% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) -% -> Eigenvalue problem with matrices only -% -> prepare reader for following examples -% -% order: -% 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem -% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) -% 4. Spectral theorem (brief) -% 5. Base of orthonormal functions - \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines +Im Weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. @@ -97,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für -$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist. + +Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx +\end{equation} +aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet, +welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt. +Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also \[ - \langle L v, w\rangle + \langle L u, v\rangle_w = - \langle v, L w\rangle + \langle u, L v\rangle_w \] -gilt. +gelten. + Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 2299c3c..16dba19 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -26,7 +26,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) + \lambda w(x)) y = 0 @@ -40,12 +40,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer -Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 887e085..b18e220 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -18,12 +18,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind. -\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" -\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} +\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} + %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems -\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex} -%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome +\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} + +% Fourier: Erik work +\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} + +% Tschebyscheff +\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 5fb3a0c..341a358 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff-Polynome +\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der @@ -16,7 +16,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. -\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} @@ -27,8 +27,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + - (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) + + \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y = 0 \end{equation} @@ -36,7 +36,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. -\subsubsection*{Randwertproblem} +\subsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, @@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -91,14 +91,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu illustriert. Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. + \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0. \] mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. Eigesetzt ergibt dies \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= - \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\ &= 0. \end{aligned} \] diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 0ef1072..93a1eb0 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,12 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab} -\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} +\section{Beispiel: Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung -dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und @@ -35,6 +34,7 @@ werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen % +\subsection{Randbedingungen} \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die @@ -83,7 +83,8 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} +\subsection{Separation der Differenzialgleichung +\label{sturmliouville:subsec:separation}} Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst @@ -113,7 +114,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = - \mu + \mu. \] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: @@ -127,18 +128,37 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = - 0 + 0. \end{equation} % -% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen +% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen % -Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in -Sturm-Liouville-Form ist. -Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des -Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle -Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein +Sturm-Liouville-Problem ist. +Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +benötigt. +Um diese zu erhalten, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu +\[ +\begin{aligned} + p(x) &= 1 \\ + q(x) &= 0 \\ + w(x) &= 1 +\end{aligned} +\] +führt. + +Diese können bereits auf die Bedingungen in +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft +werden. +Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. +Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein +reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht +werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. @@ -146,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -164,28 +184,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die -Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. -Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} -mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} -verglichen, was zu -\[ -\begin{aligned} - p(x) &= 1 \\ - q(x) &= 0 \\ - w(x) &= 1 -\end{aligned} -\] -führt. - -Diese können bereits auf die Bedingungen in -Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft -werden. -Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. -Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein -reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -204,6 +202,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit @@ -216,7 +215,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$x$}{x}} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies = 0 \] -und durch umformen somit +und durch Umformen somit \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] -Mittels Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) @@ -288,16 +287,19 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im -allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}} + Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. -Dies fürht zu +Dies führt zu \[ X(0) = @@ -324,7 +326,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{aligned} \] @@ -337,6 +339,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}} + Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. Setzt man die @@ -384,7 +389,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -\subsubsection{Fourierreihe als Lösung} +\subsection{Fourierreihe als Lösung} Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell @@ -420,9 +425,21 @@ gilt, endet man somit bei \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. -Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen -orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines -Sturm-Liouville-Problems handelt. +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen +orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}. +Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:subsec:separation} bereits $w(x) = 1$ gegeben ist. +Somit ist das Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx + = + \int_a^b f(x)g(x)\,dx. +\end{equation} + Es gilt also \[ \begin{aligned} @@ -460,7 +477,8 @@ Es gilt also nun die Gleichung nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen -trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt +trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das +Skalarprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des @@ -472,14 +490,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} - \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle _w = - \langle a_0 + \biggl\langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle _w \end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -513,7 +531,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde. +um den Faktor $2$ skalliert wurde. Es gilt also \[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -586,8 +604,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite -berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst -mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. +Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert +wird: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -609,7 +628,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \\ a_m &= - \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. \end{aligned} \] @@ -676,7 +695,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \\ a_0 &= - \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx. \end{aligned} \] @@ -684,10 +703,10 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom +Dazu nimmt man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = @@ -716,7 +735,9 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt +\subsection{Lösung des Wärmeleitungsproblems} + +Nun können alle vorhergehenden Resultate zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} |