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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 0ccc116..8484b28 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -3,12 +3,12 @@ Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant. Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte. -So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$. +So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = \frac{1}{2}$. Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung. Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt. Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$. -Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene. +Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene. Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen. \begin{figure} \centering @@ -23,7 +23,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat \end{figure} \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} -Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als +Zuerst definieren wir die Dirichletsche Etafunktion als \begin{equation}\label{zeta:equation:eta} \eta(s) = @@ -36,26 +36,40 @@ Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen \begin{align} - \zeta(s) + \color{red} + \zeta(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} + \color{red} + \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} \\ - \frac{1}{2^{s-1}} - \zeta(s) + \color{blue} + \frac{1}{2^{s-1}} + \zeta(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2} + \color{blue} + \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2} \end{align} Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich \begin{align} - \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) + \left({\color{red}1} - {\color{blue}\frac{1}{2^{s-1}}} \right) \zeta(s) &= - \frac{1}{1^s} - \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}} - + \frac{1}{3^s} - \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} + {\color{red}\frac{1}{1^s}} + \underbrace{ + - + {\color{blue}\frac{2}{2^s}} + + + {\color{red}\frac{1}{2^s}} + }_{-\frac{1}{2^s}} + + + {\color{red}\frac{1}{3^s}} + \underbrace{- + {\color{blue}\frac{2}{4^s}} + + + {\color{red}\frac{1}{4^s}} + }_{-\frac{1}{4^s}} \ldots \\ &= \eta(s). @@ -87,14 +101,15 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten \end{equation} Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$ \begin{equation} - \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \frac{1}{n^s} = \int_0^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} e^{-\pi n^2 x} \,dx, \end{equation} -und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$ +und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$ \begin{equation} \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} \zeta(s) @@ -137,13 +152,13 @@ wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir 1 &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \left( + \Biggl( 2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{\frac{-n^2 \pi}{x}} + 1 - \right) + \Biggr) \\ 2 \psi(x) @@ -189,7 +204,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al = I_1 + I_2, \end{equation} -wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden. +wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden. Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten \begin{align} I_1 @@ -201,11 +216,11 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein &= \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} - \left( + \Biggl( - \frac{1}{2} + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \right) + \Biggr) \,dx \\ &= @@ -237,7 +252,7 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein \,dx }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} -Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als +Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als \begin{equation} I_4 = @@ -278,8 +293,8 @@ Dies ergibt \,dx, \end{align} wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. -Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. -Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten +Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. +Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten \begin{equation} I_1 = @@ -356,17 +371,19 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als \zeta(s) = \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} - \zeta(1-s). + \zeta(1-s), \end{equation} +was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht. +Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden. %TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden \subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation} -Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel. +Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel. Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion. \begin{lemma} - Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist + Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x - 2\pi k) diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index a6ed512..5f4f5ca 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -64,7 +64,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche \begin{equation} n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. \end{equation} - Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$. + Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$. Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir \begin{equation} \sum_{k_1=0}^{\infty} diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex index db41676..1f10a33 100644 --- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -19,7 +19,7 @@ Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus &= \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du. \end{align*} -Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten +Durch Division durch $n^s$ ergeben sich die Quotienten \begin{equation*} \frac{\Gamma(s)}{n^s} = |