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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 4046bb7..ed07e04 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -62,14 +62,14 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a {\color{blue}\frac{2}{2^s}} + {\color{red}\frac{1}{2^s}} - }_{-\frac{1}{2^s}} + }_{\displaystyle{-\frac{1}{2^s}}} + {\color{red}\frac{1}{3^s}} \underbrace{- {\color{blue}\frac{2}{4^s}} + {\color{red}\frac{1}{4^s}} - }_{-\frac{1}{4^s}} + }_{\displaystyle{-\frac{1}{4^s}}} \ldots \\ &= \eta(s). @@ -89,7 +89,7 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen = \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt. \end{equation} -Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten +Nun substituieren wir $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten \begin{equation} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) = @@ -109,7 +109,7 @@ Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wi e^{-\pi n^2 x} \,dx, \end{equation} -und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$ +und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung über alle $n$ \begin{align} \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} \zeta(s) @@ -139,14 +139,14 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral auf in zwei Teile x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx - }_{I_1} + }_{\displaystyle{I_1}} + \underbrace{ \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx - }_{I_2} + }_{\displaystyle{I_2}} = I_1 + I_2. \end{equation} @@ -231,11 +231,11 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als \zeta(1-s), \end{equation} was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht. -Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden. +Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden. \subsection{Berechnung des Integrals $I_1 = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx$} \label{zeta:subsubsec:intcal} -Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann. +Ziel dieses Abschnittes ist, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann. Da dieser Schritt ziemlich aufwendig ist, wird er hier in einem eigenen Abschnitt behandelt. Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet \cite{zeta:online:poisson}, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen. @@ -313,8 +313,8 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier \underbrace{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi x k} - }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}} - \, dx, + }_{\displaystyle{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}} + \, dx, \label{zeta:equation:1934} \end{align} und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac} \begin{align} @@ -330,7 +330,7 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x + k). \end{align} - Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir + Wenn wir dies einsetzen in \eqref{zeta:equation:1934} erhalten wir \begin{equation} \sum_{k=-\infty}^{\infty} F(k) @@ -465,7 +465,7 @@ Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} \psi \left( \frac{1}{x} \right) \,dx - }_{I_3} + }_{\displaystyle{I_3}} + \underbrace{ \frac{1}{2} @@ -474,7 +474,7 @@ Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt - x^{\frac{s}{2}-1} \,dx - }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3} + }_{\displaystyle{I_4}}. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} Darin kann für das zweite Integral $I_4$ eine Lösung gefunden werden als \begin{equation} diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex index ad87fec..828678d 100644 --- a/buch/papers/zeta/einleitung.tex +++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex @@ -12,11 +12,11 @@ Die Zetafunktion ist bekannt als Bestandteil der Riemannschen Vermutung, welche Mithilfe dieser Vermutung kann eine gute Annäherung an die Primzahlfunktion gefunden werden. Die Primzahlfunktion steigt immer an, sobald eine Primzahl vorkommt. Eine Darstellung davon ist in Abbildung \ref{fig:zeta:primzahlfunktion} zu finden. -Die Riemannsche Vermutung ist eines der ungelösten Millennium-Probleme der Mathematik, auf deren Lösung eine Belohnung von einer Million Doller ausgesetzt ist \cite{zeta:online:millennium}. +Die Riemannsche Vermutung ist eines der ungelösten Millennium-Probleme der Mathematik, auf deren Lösung eine Belohnung von einer Million Dollar ausgesetzt ist \cite{zeta:online:millennium}. Auf eine genauere Beschreibung der Riemannschen Vermutung wird im Rahmen dieses Papers nicht eingegangen. \begin{figure} \centering - \input{papers/zeta/images/primzahlfunktion_paper.pgf} + \input{papers/zeta/images/primzahlfunktion2.tex} \caption{Die Primzahlfunktion von $0$ bis $30$.} \label{fig:zeta:primzahlfunktion} \end{figure} @@ -28,7 +28,7 @@ Schlussendlich folgt die Beschreibung der analytischen Fortsetzung die gesamte k Diese analytische Fortsetzung wird für die Riemannsche Vermutung benötigt, ermöglicht aber auch andere interessante Aussagen. So findet sich zum Beispiel immer wieder die aberwitzige Behauptung, das die Summe aller natürlichen Zahlen \begin{equation*} - \sum{n=1}^{\infty} n + \sum_{n=1}^{\infty} n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{-1}} @@ -36,6 +36,6 @@ So findet sich zum Beispiel immer wieder die aberwitzige Behauptung, das die Sum -\frac{1}{12} \end{equation*} sei. -Obwohl diese Behauptung offensichtlich Falsch ist, hat sie doch ihre Berechtigung, wie durch die analytische Fortsetzung gezeigt werden wird. +Obwohl diese Behauptung offensichtlich falsch ist, hat sie doch ihre Berechtigung, wie durch die analytische Fortsetzung gezeigt werden wird. Die folgenden mathematischen Herleitungen sind, sofern nicht anders gekennzeichnet, eigene Darstellungen basierend auf den überaus umfangreichen Wikipedia-Artikeln auf Deutsch \cite{zeta:online:wiki_de} und Englisch \cite{zeta:online:wiki_en} sowie einer Video-Playlist \cite{zeta:online:mryoumath}. diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index 7915c84..9c08dd2 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -28,9 +28,9 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nà = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} - \left( + \biggl( \frac{1}{p_i^s} - \right)^{k_i} + \biggr)^{k_i} = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} @@ -53,11 +53,11 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nà \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s. + \biggr)^s. \label{zeta:equation:eulerprodukt2} \end{align} Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann @@ -70,17 +70,17 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nà \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s + \biggr)^s = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s), \end{equation} - wodurch das Eulerprudukt bewiesen ist. + wodurch das Eulerprodukt bewiesen ist. \end{proof} diff --git a/buch/papers/zeta/fazit.tex b/buch/papers/zeta/fazit.tex index fe2d35d..e33083a 100644 --- a/buch/papers/zeta/fazit.tex +++ b/buch/papers/zeta/fazit.tex @@ -1,5 +1,5 @@ -\section{Fazit} \label{zeta:section:fazit} -\rhead{Fazit} +\section{Der Wert $\zeta(-1)$} \label{zeta:section:fazit} +\rhead{Der Wert $\zeta(-1)$} Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei. Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$. @@ -17,7 +17,7 @@ Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equat \zeta(2) \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}. \end{align*} -Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$. +Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$. Zunächst konzentrieren wir uns auf $\zeta(2)$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem. Wir lösen das Basler Problem \cite{zeta:online:basel} mithilfe der parsevalschen Gleichung \cite{zeta:online:pars} @@ -44,7 +44,7 @@ Wenn wir dies für $f(x) = x$ auswerten erhalten wir &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = - 4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\zeta(2)}. + 4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\displaystyle{\zeta(2)}}. \end{align} Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als \begin{equation} @@ -53,13 +53,13 @@ Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als = \frac{\pi^2}{6}. \end{equation} -Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion \ref{buch:rekursion:def:gamma}. -Da das Integral für $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet. +Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion (Definition \ref{buch:rekursion:def:gamma}). +Da das Integral für $\Gamma(-\frac{1}{2})$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet. Es ergeben sich die Werte \begin{align*} \Gamma(1) &= 1\\ - \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) + \Gamma\biggl(-\frac{1}{2}\biggr) &= \frac{\pi}{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2}. @@ -85,10 +85,9 @@ Wenn wir diese Werte in die Funktionalgleichung einsetzen, erhalten wir das gewà Weiter wurde zu Beginn dieses Papers auf die Riemannsche Vermutung hingewiesen, wonach alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der $\Re(s)=\frac{1}{2}$ Geraden liegen. Abbildung \ref{zeta:fig:einzweitel} zeigt die Funktionswerte dieser Geraden. -%TODO colorplot does not work.. Ausserdem zeigt Abbildung \ref{zeta:fig:colorplot} die farbcodierte Zetafunktion für Werte der analytischen Fortsetzung und des originalen Definitionsbereichs. \begin{figure} \centering - \input{papers/zeta/images/zeta_re_0.5_paper.pgf} + \input{papers/zeta/images/zetaplot.tex} \caption{Die komplexen Werte der Zetafunktion für die kritische Gerade $\Re(s)=\frac{1}{2}$ im Bereich $\Im(s) = 0\dots40$. Klar sichtbar sind die immer wiederkehrenden Nullstellen, wie sie Gegenstand der Riemannschen Vermutung sind.} \label{zeta:fig:einzweitel} diff --git a/buch/papers/zeta/images/zetaplot.tex b/buch/papers/zeta/images/zetaplot.tex index 1cd3259..521bb1a 100644 --- a/buch/papers/zeta/images/zetaplot.tex +++ b/buch/papers/zeta/images/zetaplot.tex @@ -38,7 +38,7 @@ \draw (-0.1,{-\y*\dy}) -- (0.1,{-\y*\dy}); } -\input{zetapath.tex} +\input{papers/zeta/images/zetapath.tex} \draw[color=blue,line width=1pt] \zetapath; diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex index 1f10a33..dd422e3 100644 --- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -11,7 +11,7 @@ Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:ga \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt, \end{equation*} wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist. -Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus +Durch die Substitution $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus \begin{align*} \Gamma(s) &= @@ -57,5 +57,5 @@ Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durc \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{u^{s-1}}{e^u -1} - du \qed + du. \end{equation} |