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-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex53
1 files changed, 31 insertions, 22 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 59c8744..bed4262 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -1,38 +1,47 @@
-\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
-\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
-Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
%TODO ref Gamma
-Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
-\begin{align}
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \ref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+ \Gamma(s)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
\Gamma(s)
&=
- \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
- \\
+ \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
&=
- \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
- &&
- \text{Division durch }n^s
- \\
+ \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
\frac{\Gamma(s)}{n^s}
- &=
- \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
- &&
- \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
- \\
+ =
+ \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ =
\Gamma(s) \zeta(s)
- &=
+ =
\int_0^{\infty} u^{s-1}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
- du.
+ \,du.
\label{zeta:equation:zeta_gamma1}
-\end{align}
+\end{equation}
Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
\begin{align}
- \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
&=
- \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
-
1
\\
@@ -42,7 +51,7 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
&=
\frac{1}{e^u - 1}.
\end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
\zeta(s)
=