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diff --git a/buch/chapters/020-exponential/images/Log_Calc-Figure7.jpeg b/buch/chapters/020-exponential/images/Log_Calc-Figure7.jpeg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3e64452 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/images/Log_Calc-Figure7.jpeg diff --git a/buch/chapters/020-exponential/images/Makefile b/buch/chapters/020-exponential/images/Makefile index 63ebc4f..0a57348 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/images/Makefile +++ b/buch/chapters/020-exponential/images/Makefile @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: xexpx.pdf w.pdf +all: xexpx.pdf w.pdf buergiausschnitt.pdf xexpx.pdf: xexpx.tex pdflatex xexpx.tex @@ -12,4 +12,5 @@ xexpx.pdf: xexpx.tex w.pdf: w.tex pdflatex w.tex - +buergiausschnitt.pdf: buergiausschnitt.tex buergi1.pdf + pdflatex buergiausschnitt.tex diff --git a/buch/chapters/020-exponential/images/buergi1.pdf b/buch/chapters/020-exponential/images/buergi1.pdf Binary files differnew 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+\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\w{7.5} +\def\h{10} + +\begin{scope} +\clip (-7.4,-10.4) rectangle (7.9,12.1); +\node at (0,0) {\includegraphics{buergi1.pdf}}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/020-exponential/log.tex b/buch/chapters/020-exponential/log.tex index 3bfb346..add63c3 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/log.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/log.tex @@ -5,5 +5,315 @@ % \section{Logarithmen \label{buch:exponential:section:logarithmen}} +Heutezutage wird die Logarithmusfunktion als die Umkehrfunktion +der Exponentialfunktion definiert. +Ihren Ursprung hat sie jedoch im Bemühen, eine Methode zur Vereinfachung +der numerischen Rechnung zu finden. +In diesem Abschnitt soll die Geschichte kurz nachgezeichnet werden. + +\subsection{Multiplikation} +Die Schwierigkeit besteht vor allem darin, dass Multiplikationen +sehr viel aufwendiger sind als Additionen. +So braucht man für die Addition zweier $n$-stelliger Zahlen +genau $n$ Additionen einstelliger Zahlen mit Übertrag. +Für die Multiplikation sind zunächst $n^2$ einstellige Multiplikationen +gefolgt von $n(n-1)$ Additionen einstelliger Zahlen mit Übertrag notwenig, +um einen Faktor mit jeder Stelle des anderen zu multiplizieren. +Anschliessend müssen dann $(n-1)^2$ einstellige Multiplikationen +gefolgt von einstelligen Additionen mit Übertrag ausgeführt werden, +um die Summe zu bilden. +Der Aufwand für eine Multiplikation wächst also quadratisch mit +der Genauigkeit, während der Aufwand für die addition nur linear +anwächst. + +Eine gebräuchlich Methode war die Verwendung der trigonometrischen +Identität +\begin{align*} +\sin(\alpha)\sin(\beta) +&= +\frac12 +\cos(\alpha-\beta) +- +\frac12 +\cos(\alpha+\beta). +\intertext{Dies kann mit einer Tabelle nur der Sinus-Werte durchgeführt +werden, indem man verwendet, dass $\sin x = \cos(90^\circ-x)$. +Dies führt auf die Identität } +\sin(\alpha)\sin(\beta) +&= +\frac12\bigl(\sin(90^\circ-\alpha+\beta) +- +\sin(90^\circ-\alpha-\beta)\bigr) +\end{align*} +Die Multiplikation der Zahlen $\sin\alpha$ und $\sin\beta$ verlangt +daher nur zwei Konsultationen der Sinus-Tabelle, um die Winkel +$\alpha$ und $\beta$ zu bestimmen, zwei Additionen zur Berechnung +von +$90^\circ-\alpha+\beta$ +und +$90^\circ-\alpha-\beta$, +zwei Konsultationen der Sinus-Tabelle gefolgt von einer Addition +und einer +Halbierungsoperationen, die sich ähnlich effizient wie Additionen +durchführen lässt. +Der Aufwand dieser Art der Durchführung der Multplikation ist also +gleich gross wie $4$ Additionen und $4$ Tabellenkonsultationen. + +\begin{beispiel} +In Abschnitt~\ref{buch:trigo:subsection:tabelle} ist beschrieben, wie +schon im Altertum Tabellen für Sinus-Werte aufgestellt werden konnten. +Mit der Tabelle~\ref{buch:trigo:table:sinus} kann man zum Beispiel die +folgende Multiplikation durchführen. +Gesucht ist das Produkt der Zahlen $x=0.51503807$ und $y=0.80901169$. +Die Berechnung läuft wie folgt ab: +\begin{align*} +x&=0.80901169& +&\Rightarrow&\sin\alpha &=x& +&\Rightarrow&{\color{red}\alpha}&\approx {\color{red}54^\circ} +\\ +y&=0.51503807& +&\Rightarrow&\sin\beta &=y& +&\Rightarrow&{\color{red}\beta}&\approx {\color{red}31^\circ} +\\ + & & +& &{\color{red}\sin\delta_1}&={\color{red}0.92050485}& +&\Leftarrow &{\color{blue}\delta_1}&=90^\circ-\alpha+\beta={\color{blue}67} +\\ + & & +& &{\color{red}\sin\delta_2}&={\color{red}0.08715574}& +&\Leftarrow &{\color{blue}\delta_2}&=90^\circ-\alpha-\beta={\color{blue}5} +\\ + && + & &{\color{blue}\sin\delta_1+\sin\delta_2}&={\color{blue}0.83334911} +\\ +xy&=0.41667455& + &\Leftarrow&\frac12(\sin\delta_1+\sin\delta_2)&={\color{darkgreen}0.41667455} +\end{align*} +Die roten Zahlen sind Resultate von Tabellenkonsultationen, die blauen +ergeben sich durch Additionen, grün ist die Halbierungsoperation. +Alle acht Stellen des Resultates sind korrekt. +\end{beispiel} + +Das Verfahren funktioniert also, hat aber eine ganze Reihe von Nachteilen: +\begin{enumerate} +\item +Die Zahl der Operationen ist ziemlich gross. +Immerhin sind vier Tabellenkonsultationen nötig, drei Additionen und die +Halbierungsoperation. +\item +Es funktioniert nur für Zahlen zwischen $0$ und $1$. +Für Zahlen ausserhalb dieses Intervalls ist es die Aufgabe des +Anwenders, eine Skalierung vorzunehmen und sie später bei der Angabe +des Resultates wieder einfliessen zu lassen. +Das Quadrat von $2$ kann berechnet werden als +\(2^2 = 100 \cdot 0.2\cdot 0.2\), was mit dem Winkel +$\alpha=\beta=11.537^\circ$ möglich ist. +Das Resultat der Multiplikation nach obigem Verfahren ist dann +\[ +\frac12\bigl( +\sin(90^\circ-\alpha+\beta) +- +\sin(90^\circ-\alpha-\beta) +\bigr) += +\frac12\bigl( +1- +\sin 66.926^\circ +\bigr) += +\frac12( 1-0.9200) += +\frac12\cdot 0.08=0.04, +\] +woraus sich dann das Quadrat von $2$ als +$2^2 = 100\cdot 0.2^2 = 100\cdot 0.04 = 4$ +ergibt. +Dieser Nachteil gilt allerdings auch für Rechenverfahren mit Logarithmen +oder mit einem Rechenschieber, bei dem ebenfalls nur die Mantisse +berechnet wird, der Anwender ist selbst für die Bestimmung des Exponenten +verantwortlich. +\item +Es kann vorkommen, dass die Winkel $90^\circ-\alpha+\beta$ +und $90^\circ-\alpha-\beta$ nicht im Intervall zwischen $0$ und $90^\circ$ +liegen. +In diesem Fall ist eine zusätzliche Reduktion des Winkels nötig. +Falls der Winkel negativ ist, muss in den folgenden Schritt zusätzlich +das Vorzeichen berücksichtigt werden. +\end{enumerate} + + +\subsection{Die Erfindung der Logarithmen} +Die Lösung des Problems ist die Verwendung von Exponentialfunktionen +anstelle von trigonometrischen Funktionen. +Um das Produkt von zwei Zahlen $x$ und $y$ zu bestimmen, müssen erst +die Exponenten $\xi$ und $\eta$ bestimmt werden, für die $x=b^\xi$ +$y=b^\eta$ ist. +Das Produkt ist dann $xy = b^{\xi+\eta}$, es muss also die Summe +$\xi+\eta$ berechnet werden und aus einer Tabelle der Funktion +$b^\bullet$ kann dann das Produkt abgelesen werden. +Der Wert der Basis $b$ ist dabei noch frei und wurde auch von +den Erfindern der Logarithmen verschieden angegangen. + +\subsubsection{Die arithmetischen Progresstabulen von Jost Bürgi} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/020-exponential/images/Log_Calc-Figure7.jpeg} +\caption{Ausschnitt aus der ersten Seite von Jost Bürgis Tabelle der +Potenzen von $1.0001$ +\label{buch:exponential:log:fig:buergi1}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/020-exponential/images/buergiausschnitt.pdf} +\caption{Rekonstruktion der ersten Seite von Bürgis Tabelle aus +\cite{buch:hal} +\label{buch:exponential:log:fig:buergi2}} +\end{figure} +Der 1552 in Lichtensteig geborene schweizer Uhrmacher und Mathematiker +hat in seinem Werk +{\em Arithmetische und geometrische Progress Tabulen sambt gründlichem +unterricht, wie solche nützlich in allerley Rechnungen zugebrauchen +und verstanden werden soll}, welches 1620 in Prag erschien, +eine Tabelle aller Werte +\[ +10^8\cdot\biggl(1+\frac{1}{10000}\biggr)^n += +10^8 \biggl(\biggl(1+\frac{1}{10000}\biggr)^{10000}\biggr)^{n\cdot10^{-4}} +\] +für $n=0$ bis $n=23027$. +Die Abbildung~\ref{buch:exponential:log:fig:buergi1} +zeigt, einen Ausschnitt aus der ersten Seite von Bürgis Tabelle. +Die mit 10 multiplizierten Exponenten $n$ sind durchwegs als +{\color{red}rote} Zahlen dargestellt. +In jeder Spalten stehen 40 aufeinanderfolgende Werte, von Spalte +zu Spalten nimmt der Wert von $n$ um 500 zu. +Abbildung~\ref{buch:exponential:log:fig:buergi2} zeigt eine Rekonstruktion +der ersten Seite. + +Um mit der Bürgischen Tafel eine Multiplikation durchzuführen, +hat man also unter den schwarzen Zahlen Werte gesucht, +der möglichst nahe an den gegebenen Faktoren sind. +Dabei konnte die Genauigkeit noch gesteigert werden, indem zwischen +aufeinanderfolgenden Werten interpoliert wurde. +Die zugehörigen roten Zahlen wurden dann addiert und mit Hilfe der +Tabelle wieder die schwarzen Zahlen ermittelt. + +\begin{beispiel} +Die erste Seite \ref{buch:exponential:log:fig:buergi2} der Bürgischen +Tabelle umfasst natürlich nur einen sehr kleine Teil des ganzen Werkes, +trotzdem kann man daran den Gang der Rechnung illustrieren. +Um die beiden schwarzen Zahlen $x=1.0023$ und $y=1.0017$ miteinander +zu multiplizieren, sucht man die zugehörigen roten Zahlen in +der Tabelle +\[ +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{rclcr} + & &\text{schwarze Zahl}&&\text{{\color{red}rote Zahl}} \\ + x&=&1.0023 &\Rightarrow&{\color{red}2274}\\ + y&=&1.0017 &\Rightarrow&{\color{red}1686}\\ + xy&=&1.004039247 &\Leftarrow &{\color{red}3960} +%\text{exakt}&=&1.0040391 & & +\end{array} +\] +Das exakte Result ist $xy=1.0040391$. +\end{beispiel} + +Die roten Zahlen werden in heutiger Terminologie Logarithmen zur +Basis $b=1.0001$ im Wesentlichen genannt. +In der Tabelle werden die Werte von $b^n$ in Abhängigkeit von $n$ +angegeben, es wurde also direkt die Exponentialfunktion $b^\bullet$ +tabuliert. +In heutiger Sprechweise würde man dies als eine Antilogarithmentafel +bezeichnen. + +\subsubsection{John Napier und die natürlichen Logarithmen} +Der schottische Mathematiker John Napier (1550--1617) hat ein +ausgeklügeltes Verfahren entwickelt, +natürliche Logarithmen mit hoher Genauigkeit von mindestens sieben +Stellen zu berechnen. +Ausserdem hat er den Logarithmen ihren Namen gegeben. + +Um die Genauigkeit von sieben Stellen zu erreichen, musste er von +einem Wert ausgehen, der nicht weiter als $10^{-7}$ von $1$ entfernt +ist. +Bürgi hat mit dem Wert $1+10^{-4}$ eine Genauigkeit von vier Stellen +erreicht, Napier startete seine Berechnung mit $1-10^{-7}$. +Er hat also eigentlich Logarithmen zur Basis $1/e$ bestimmt. + +Hätte Napier jedoch einfach nur das Verfahren von Bürgi auf die um +den Faktor $10^3$ höhere Genauigkeit angewendet, hätte er auch $10^3$ +mal mehr und somit über 23 Millionen Multiplikationen durchführen +müssen, im Laufe derer sich viel zu grosse Rundungsfehler akkumuliert +hätten. +Napier hat daher das gesamte Intervall in mehrer grössere Intervall +unterteilt, indem er mit statt nur den Faktor $a=1-10^{-7}=0.9999999$ +auch noch geometrische Folgen mit den Faktoren $b=1-10^{-5}=0.99999$ und +$c=1-5\cdot10^{-4}=0.9995$ verwendet hat. +Mit 4604 Gliedern der Folge $c^k$ konnte er tatsächlich das ganze +Intervall zwischen $0.1$ und $1$ geometrisch unterteilen. +Innerhalb jedes Teilintervalls kann dann eine Unterteilung mit +50 Gliedern der Folge $b^k$ aufteilen. +Und schliesslich liefern 100 Gleider der Folge $a^k$ eine geometrische +Unterteilung in jedes dieser Intervalle. +Auf diese Art kann erreicht werden, dass jeder Wert mit höchstens 4755 +Multiplikationen und damit ohne Kompromittierung der Genauigkeit durch +Rundungsfehler berechnet werden kann. + +Das Interpolationsverfahren, welches Napier zur Bestimmung seiner +Logarithmen entwickelt hat, hat auch die Entwicklung von Rechenschiebern +motiviert. + +\subsubsection{Dekadische Logarithmen nach Henry Briggs} +Henry Briggs (1561--1630) hat die Bedeutung der Napierschen +Logarithmen sofort erkannt und vorgeschlagen, statt der Basis $e$ +die Basis $10$ zu verwenden. +Der Vorteil der Basis 10 ist, dass Zahlen mit der gleichen +Mantisse in Gleitkommadarstellung zur Basis 10 Logarithmen haben, +die sich nur im eine Ganzzahl unterschieden, die gleichzeitig der +Unterschied der Exponenten ist. +Dies macht die Verwendung einer Logarithmentabelle sehr viel +intuitiver. + +Briggs hat ausserdem die numersiche Berechnung der Logarithmen +weiterentwickelt und innerhalb von 7 Jahren 30000 Logarithmen mit +einer Genauigkeit von 14 Stellen berechnet. +Die Methoden von Bürgi und Napier gingen davon aus, das Intervall, +in dem die Logarithmen bestimmt werden sollen, durch Konstruktion +einer geometrischen Folge zu unterteilen. +Zum Beispiel hat Bürgi das Intervall von $1$ bis $10$ mit Hilfe von +23027 Multiplikationen von $1.0001$ zu unterteilen. +Briggs fragte sich daher, ob sich eine Unterteilung auch in weniger +Schritten erreichen liesse. + +Welchen Faktor $a$ muss man nehmen, wenn man das Intervall von +$1$ bis $10$ geometrisch in zwei Teilintervalle unterteilen will. +Der Faktor $a$ muss $a^2=10$ erfüllen, also $a=\sqrt{10}$. +Somit haben wir in $\sqrt{10}$ einen Wert mit einem genau +bekannten Zehnerlogarithmus von $0.5$ gefunden. + +Durch Iteration dieser Idee kann man durch $n$-faches +wiederholtes Wurzelziehen die Zahlen mit den bekannten +Logarithmen $2^{-n}$ bestimmen. +Durch Darstellung eines Logarithmus im Binärsystem kann +man dann die zugehörige Zahl durch nur so viele Multiplikationen +bestimmen, wie Einsen in der Binärdarstellung des Logarithmus +vorkommen. +Damit ist der Rechenaufwand für die Berechnung einzelner +Logarithmen sehr viel kleiner also in den Methoden von Bürgi +und Napier. + +Die Briggssche Idee funktioniert besonders gut im Binärsystem, +wenn also Logarithmen für Zahlen zwischen $1$ und $2$ bestimmt +werden müssen. +Im Binärsystem ist Division durch $2$ besonders einfach, sie ist +einfach nur eine Verschiebung des Kommas. +Auch für die Berechnung der Quadratwurzel gibt es effiziente +binäre Algorithmen. + + + + + + diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex index d1a5054..1f908bf 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex @@ -53,7 +53,8 @@ Lösungen, nämlich x = \begin{cases} -\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011\\ +\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011 +\\[8pt] \displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_{-1}\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=\phantom{-}1.44456. \end{cases} \] diff --git a/buch/chapters/020-exponential/zins.tex b/buch/chapters/020-exponential/zins.tex index 7dd0431..81c68ef 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/zins.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/zins.tex @@ -3,11 +3,302 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule % -\section{Exponentialfunktion als Grenzwert +\section{Exponentialfunktion \label{buch:exponential:section:grenzwert}} \rhead{Exponentialfunktion als Grenzwert} +Mit Hilfe von Potenzen und Wurzeln lassen sich die Potenzen $a^x$ +für beliebige rationale Zahlen $x=p/q\in\mathbb{Q}$ als +\[ +a^x = a^{\frac{p}{q}} = \root{q}\of{a^p} +\] +definieren. +Da $x\mapsto a^x$ stetig ist, ergibt sich daraus auch eine +stetige Funktion +$a^{\bullet}\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto a^x$. +Dies ist aber als Basis für eine neue spezielle Funktion nicht +wirklich geeignet, da ausser $x$ auch die Basis variert werden kann. +Die arithmetischen Eigenschaften der Potenzfunktion erlauben aber, +jede der Funktionen $a^x$ auf jede andere $b^x$ zurückzuführen. +Ist $b=a^t$, dann dann ist $b^x = a^{tx}$. +Es stellt sich damit die Frage, ob es eine bevorzugte Basis gibt. -\subsection{Permanente Verzinsung} +\subsection{Zins und Eulerscher Grenzwert} +Wir ein Kapital $K_0$ mit dem Jahreszinssatz $x=100\%$ verzinst, +wächst es jedes Jahr um den Faktor $1+x$ an. +Teilt man die Zinsperiode in kleiner Intervall, zum Beispiel Monate +oder Tage, und passt auch den Zins entsprechend an, dann wächste +das Kapitel in einem Jahr auf +\[ +K = \biggl(1+\frac{x}{12}\biggr)^{12} +\qquad\text{und}\qquad +K = \biggl(1+\frac{x}{365}\biggr)^{365} +\] +an. +Für eine Unterteilung in $n$ Zinsperioden ist der Faktor also +\[ +\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n. +\] +Diese Beobachtung hat Jacob Bernoulli 1683 dazu geführt, den Grenzwert +\[ +\lim_{n\to\infty} \biggl(1+\frac1n\biggr)^n +\] +zu studieren, die später mit $e$ bezeichnet wurde. +Später hat Euler gezeigt, dass +\begin{equation} +\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n += +e^x +\label{buch:exponential:zins:eulerex} +\end{equation} +gilt. + +Tatsächlich gilt für ganzzahlige $x$, dass auch die Teilfolge +mit $n=xm$ konvergiert, dass also +\begin{align*} +\lim_{n\to\infty} +\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n +&= +\lim_{m\to\infty} +\biggl(1+\frac{x}{xm}\biggr)^{xm} += +\lim_{m\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^{xm} +\intertext{sein muss. +Da die Funktion $a\mapsto a^x$ stetig ist, folgt weiter} +&=\biggl(\lim_{m\to\infty}\biggl(1+\frac1m\biggr)^m\biggr)^x. +\end{align*} +Ähnlich kann man für einen Bruch $x=p/q$ vorgehen. +Dazu berechnet man die $q$-te Potenz, wobei man wieder verwenden kann, +dass, die Funktion $a\mapsto a^q$ stetig ist. +So bekommt man +\begin{align*} +\biggl( +\lim_{n\to\infty} +\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n +\biggr)^q +&= +\lim_{n\to\infty} +\biggl(+\frac{p}{qn}\biggr)^{nq} += +\lim_{m\to\infty} +\biggl(1+\frac{p}{m}) +\biggr)^m += +e^p. +\end{align*} +Zieht man jetzt die $q$-te Wurzel, bekommt man +\[ +\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n = e^{\frac{p}{q}}. +\] +Da auch die Potenzfunktion $x\mapsto a^x$ stetig ist, folgt schliesslich, +dass für beliebige reelle $x\in\mathbb{R}$ die +Formel~\eqref{buch:exponential:zins:eulerex} gilt. + +\subsubsection{Approximation durch Jost Bürgi} +Jost Bürgi, Uhrmacher und Mathematiker aus Lichtensteig, +war einer der Erfinder der Logartihmen, für die er allerdings +noch keinen Namen hatte. +Er berechnete eine Tabelle aller Werte von +\[ +10^8\cdot(1+10^{-4})^n. +\] +Schreibt man +\[ +(1+10^{-4})^n += +\biggl(1+\frac{1}{10000}\biggr)^{1000\cdot n\cdot10^{-4}}, +\] +dann erkennt man, dass Bürgi die Potenzen der Approximation +\[ +\biggl(1+\frac{1}{1000}\biggr)^{1000} += +2.7181459 +\approx +2.7182818 +\] +von $e$ berechnet hat. +Die Wahl dieser Basis hat keine Auswirkungen auf die Genauigkeit +der Anwendung seiner Tabellen, da jede andere Basis genauso. + +\subsubsection{Störungen des Eulerschen Grenzwertes} +Der Grenzwert~\eqref{buch:exponential:zins:eulerex} +bleibt unverändert, wenn man den Term $x$ um einen zusätzlichen +Summanden $x_n$ modifiziert, der schnell genug gegen $0$ geht. + +\begin{lemma} +\label{buch:exponential:zins:perturbedeulerlimit} +Sei $x_n$ eine Folge $x_n\in\mathbb{R}$, die gegen $0$ konvergiert. +Dann gilt +\[ +\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{x+x_n}{n}\biggr)^n += +\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n += +e^x. +\] +\end{lemma} + +\begin{proof}[Beweis] +Für $\varepsilon>0$ gibt es ein $N$ derart, dass +\( |x_n| < \varepsilon \) +für alle $n>N$. +Da +\[ +\biggl( +1+\frac{x-\varepsilon}{n} +\biggr)^n +< +\biggl( +1+\frac{x+x_n}{n} +\biggr)^n +< +\biggl( +1+\frac{x+\varepsilon}{n} +\biggr)^n +\] +folgt +\[ +e^{x-\varepsilon} +\ge +\lim_{n\to\infty} +\biggl( +1+\frac{x+x_n}{n} +\biggr)^n +\le +e^{x+\varepsilon}. +\] +Da dies für alle $\varepsilon$ gilt, und die Funktion $x\mapsto e^x$ +stetig ist, folgt +\[ +\lim_{n\to\infty} \biggl(1+\frac{x+x_n}{n}\biggr)^n += +e^x, +\] +die Behauptung des Lemmas. +\end{proof} + +\subsubsection{Funktionalgleichung} +Die Definition der Exponentialfunktion als Potenz $e^x$ +hat automatisch zur Folge, +dass für beliebige reelle Zahlen +die Funktionalgleichung +\[ +e^x\cdot e^y += +e^{x+y} +\] +gilt. +Dies kann jedoch auch direkt aus dem +Grenzwert~\eqref{buch:exponential:zins:eulerex} +abgeleitet werden. +Dazu rechnet man +\begin{align*} +\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr)^n +\cdot +\lim_{m\to\infty}\biggl(1+\frac{x}{m}\biggr)^m +&= +\lim_{n\to\infty} +\biggl( +\biggl(1+\frac{x}{n}\biggr) +\biggl(1+\frac{y}{n}\biggr) +\biggr)^n +\\ +&= +\lim_{n\to\infty} +\biggl( 1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2} \biggr)^n +\\ +&= +\lim_{n\to\infty} +\biggl( 1+\frac{x+y+xy/n}{n}\biggr)^n. +\intertext{Der Term $x_n=xy/n$ konvergiert gegen $0$, daher ist nach dem +Lemma~\ref{buch:exponential:zins:perturbedeulerlimit} +} +&= +e^{x+y}. +\end{align*} +Damit ist die Funktionalgleichung bewiesen. + +\subsection{Potenzreihe} +Die übliche Definition der Exponentialfunktion verwendet eine Potenzreihe. + +\begin{definition} +\label{buch:exponential:zins:exppotenzreihe} +Die Potenzreihe +\[ +\exp(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} +\] +definiert eine Funktion $\exp\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$. +\end{definition} + +\subsubsection{Funktionalgleichung} +Auch für die Potenzreihendefinition lässt sich die Funktionalgleichung +direkt zu verifizieren. +Das Produkt von $\exp(x)$ und $\exp(y)$ ist +\begin{align*} +\exp(x)\cdot\exp(y) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} +\cdot +\sum_{l=0}^\infty \frac{y^l}{l!} . +\intertext{Fasst man die Terme vom Grad $n$ zusammen, erhält man} +&= +\sum_{n=0}^\infty +\sum_{k=0}^n +\frac{1}{k!(n-k)!} +x^ky^{n-k}. +\intertext{Durch Erweitern mit $n!$ wird daraus} +&= +\sum_{n=0}^\infty +\frac{1}{n!} +\sum_{k=0}^n +\frac{n!}{k!(n-k)!} +x^ky^{n-k}. +\intertext{Der Quotient von Fakultäten ist der Binomialkoeffizient, so +dass die Summe mit dem Binomialsatz vereinfacht werden kann:} +&= +\sum_{n=0}^\infty +\frac{1}{n!} +\sum_{k=0}^n +\binom{n}{k} +x^ky^{n-k} += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{1}{n!} +(x+y)^n += +\exp(x+y), +\end{align*} +damit ist die Funktionalgleichung nachgewiesen und es wird klar, dass +$\exp(x)$ eine Funktion der Form $a^x$ ist. + +\subsubsection{$\exp(x)$ und $e^x$} +Die Tatsache, dass $\exp(x)$ die Funktionalgleichung erfüllt, reicht +nicht aus um zu zeigen, dass $\exp(x)$ und $e^x$ dasselbe sind, +da jede beliebige Funktion $a^x$ diese Eigenschaft hat. +Wir können nur schliessen, dass $\exp(x)=\exp(1)^x$. +Wenn wir zeigen wollen, dass $\exp(x)$ und $e^x$ dasselbe sind, dann +müssen wir zeigen, dass $e=\exp(1)$ gilt. +Dazu formen wir den Eulerschen Grenzwert wie folgt um: +\begin{align*} +e=\biggl(1+\frac1n\biggr)^n +&= +\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^{n-k}} += +\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{n-k}} +\\ +&= +\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} +\underbrace{\frac{n}{n}}_{\displaystyle \downarrow\atop\displaystyle 1} +\cdot +\underbrace{\frac{n-1}{n}}_{\displaystyle\downarrow\atop\displaystyle 1} +\cdots +\underbrace{\frac{n-k+1}{n}}_{\displaystyle\downarrow\atop\displaystyle 1} +\to +\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} += +\exp(1) +\end{align*} +Damit ist gezeigt, dass $e=\exp(1)$ und damit auch $e^x=\exp(x)$ ist. -\subsection{Eulerscher Grenzwert} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigo/trigotable.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/trigotable.tex new file mode 100644 index 0000000..1e9e4fb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/trigotable.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|} +\hline +\alpha\,[\mathstrut^\circ]&\sin\alpha & \cos\alpha \\ +\hline + 0&0.00000000000000000000000000000000& 1.00000000000000000000000000000000\\ + 1&0.01745240643728351281941897851631& 0.99984769515639123915701155881391\\ + 2&0.03489949670250097164599518162533& 0.99939082701909573000624344004392\\ + 3&0.05233595624294383272211862960907& 0.99862953475457387378449205843943\\ + 4&0.06975647374412530077595883519414& 0.99756405025982424761316268064425\\ + 5&0.08715574274765817355806427083747& 0.99619469809174553229501040247388\\ + 6&0.10452846326765347139983415480249& 0.99452189536827333692269194498057\\ + 7&0.12186934340514748111289391923152& 0.99254615164132203498006158933058\\ + 8&0.13917310096006544411249666330110& 0.99026806874157031508377486734485\\ + 9&0.15643446504023086901010531946716& 0.98768834059513772619004024769343\\ +10&0.17364817766693034885171662676931& 0.98480775301220805936674302458952\\ +11&0.19080899537654481240514048795838& 0.98162718344766395349650489981814\\ +12&0.20791169081775933710174228440512& 0.97814760073380563792856674786959\\ +13&0.22495105434386499805110720834279& 0.97437006478523522853969448008826\\ +14&0.24192189559966772256044237410035& 0.97029572627599647230637787403399\\ +15&0.25881904510252076234889883762404& 0.96592582628906828674974319972889\\ +16&0.27563735581699918564997157461130& 0.96126169593831886191649704855706\\ +17&0.29237170472273672809746869537714& 0.95630475596303548133865081661841\\ +18&0.30901699437494742410229341718281& 0.95105651629515357211643933337938\\ +19&0.32556815445715666871400893579472& 0.94551857559931681034812470751940\\ +20&0.34202014332566873304409961468225& 0.93969262078590838405410927732473\\ +21&0.35836794954530027348413778941346& 0.93358042649720174899004306313957\\ +22&0.37460659341591203541496377450119& 0.92718385456678740080647445113695\\ +23&0.39073112848927375506208458888909& 0.92050485345244032739689472330046\\ +24&0.40673664307580020775398599034149& 0.91354545764260089550212757198531\\ +25&0.42261826174069943618697848964773& 0.90630778703664996324255265675431\\ +26&0.43837114678907741745273454065826& 0.89879404629916699278229567669578\\ +27&0.45399049973954679156040836635787& 0.89100652418836786235970957141362\\ +28&0.46947156278589077595946228822784& 0.88294759285892694203217136031571\\ +29&0.48480962024633702907537962241577& 0.87461970713939580028463695866107\\ +30&0.50000000000000000000000000000000& 0.86602540378443864676372317075293\\ +31&0.51503807491005421008163193639813& 0.85716730070211228746521798014476\\ +32&0.52991926423320495404678115181608& 0.84804809615642597038617617869038\\ +33&0.54463903501502708222408369208156& 0.83867056794542402963759094180454\\ +34&0.55919290347074683016042813998598& 0.82903757255504169200633684150164\\ +35&0.57357643635104609610803191282615& 0.81915204428899178968448838591684\\ +36&0.58778525229247312916870595463907& 0.80901699437494742410229341718281\\ +37&0.60181502315204827991797700044148& 0.79863551004729284628400080406893\\ +38&0.61566147532565827966881109284365& 0.78801075360672195669397778783585\\ +39&0.62932039104983745270590245827997& 0.77714596145697087997993774367240\\ +40&0.64278760968653932632264340990726& 0.76604444311897803520239265055541\\ +41&0.65605902899050728478249596402341& 0.75470958022277199794298421956101\\ +42&0.66913060635885821382627333068678& 0.74314482547739423501469704897425\\ +43&0.68199836006249850044222578471112& 0.73135370161917048328754360827562\\ +44&0.69465837045899728665640629942268& 0.71933980033865113935605467445671\\ +45&0.70710678118654752440084436210484& 0.70710678118654752440084436210484\\ +\hline +\end{tabular} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index 9e88c98..d0f6529 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -525,7 +525,8 @@ die Werte von $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ durch rein algebraische Operationen bestimmen. \subsection{Eine Tabelle der Werte der trigonometrischen Funktionen -aufstellen} +aufstellen +\label{buch:trigo:subsection:tabelle}} Die älteste Tabelle der Werte trigonometrischer Funktionen stammt aus der Feder von Hipparcos aus dem zweiten Jahrhundert BCE. Sie hatte eine Auflösung von $1^\circ$. @@ -754,7 +755,20 @@ $\cos1^\circ$ \label{buch:geometrie:trigo:newtontabelle}} \end{table} -\subsection{Differentialgleichungen} +\begin{table} +\centering +{\small +\input{chapters/030-geometrie/trigo/trigotable.tex} +} +\caption{Verfeinerte Tabelle für die Sinus- und Kosinuswerte für ganzzahlige +Vielfache von $1^\circ$, berechnet auf 32 Nachkommastellen mit Hilfe eines +Skripts, welches das Kommandozeilenprogramm \texttt{bc} verwendet. +Die erreichte Genauigkeit ist grösser, als was die in gegenwärtig +handelsüblichen Allzweckprozessoren übliche Floatingpoint-Arithmethik +ermöglicht. +\label{buch:trigo:table:sinus}} +\end{table} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 4d4fb0d..5d84720 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -825,92 +825,92 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ vorkommt, aber nicht in der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. -\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion -$\mathstrut_2F_1$} -Das Integral -\[ -f(x) -= -\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt -\] -kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. -Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden -Faktor als -\[ -(1-xt)^{-a} -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k -\] -zu schreiben. -Setzt man dies ins Integral ein, erhält man -\[ -f(x) -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. -\] -Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe -der Gamma-Funktion geschrieben werden. -Es gilt -\[ -B(k+b,c-b) -= -\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. -\] -Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man -\begin{align*} -\Gamma(u+k) -&= -\Gamma(u+k-1) (u+k-1) -= -\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) -\\ -&= -\ldots -\\ -&= -\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) -\end{align*} -schreiben, womit das Integral zu -\begin{align*} -f(x) -&= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} -\\ -&= -\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} -\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k -= -\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) -\end{align*} -vereinfacht werden kann. -Damit ist das Integral bestimmt. -Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man -die folgende Integraldarstellung. - -\begin{satz} -Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die -Integraldarstellung -\[ -\mathstrut_2F_1\biggl( -\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x -\biggr) -= -\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} -\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. -\] -\end{satz} - -TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für -hypergeometrische Funktionen. +%\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +%$\mathstrut_2F_1$} +%Das Integral +%\[ +%f(x) +%= +%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt +%\] +%kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. +%Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden +%Faktor als +%\[ +%(1-xt)^{-a} +%= +%\sum_{k=0}^\infty +%\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k +%\] +%zu schreiben. +%Setzt man dies ins Integral ein, erhält man +%\[ +%f(x) +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. +%\] +%Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe +%der Gamma-Funktion geschrieben werden. +%Es gilt +%\[ +%B(k+b,c-b) +%= +%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. +%\] +%Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man +%\begin{align*} +%\Gamma(u+k) +%&= +%\Gamma(u+k-1) (u+k-1) +%= +%\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) +%\\ +%&= +%\ldots +%\\ +%&= +%\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) +%\end{align*} +%schreiben, womit das Integral zu +%\begin{align*} +%f(x) +%&= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} +%\\ +%&= +%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} +%\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k +%= +%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) +%\end{align*} +%vereinfacht werden kann. +%Damit ist das Integral bestimmt. +%Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man +%die folgende Integraldarstellung. +% +%\begin{satz} +%Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die +%Integraldarstellung +%\[ +%\mathstrut_2F_1\biggl( +%\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x +%\biggr) +%= +%\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +%\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. +%\] +%\end{satz} +% +%TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für +%hypergeometrische Funktionen. \subsection{TODO} \begin{itemize} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index 2c05d60..a3ff0c2 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -53,7 +53,7 @@ ebenfalls Lösungen. Ausserdem ist $e^{2k\pi i}F(z)$ eine Lösung der Differenzengleichung, es gibt also unendlich viele linear unabhängige Lösungen. -\subsection{Lösung mit Potenzfunktionen} +\subsection{Lösung mit Exponentialfunktionen} Gesucht ist eine ganze Funktion, also eine Funktion $F\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die Lösung einer Differenzengleichung @@ -111,7 +111,7 @@ Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \lambda_\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi -\\[3pt] +\\[8pt] \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi}, \end{cases} diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex index cedb169..a597892 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Euler-Transformation der hypergeometrischen Funktionen +\section{Integraleigenschaften hypergeometrischer Funktionen \label{buch:integral:section:eulertransformation}} \rhead{Euler-Transformation} Die hypergeometrischen Funktionen wurden bisher einerseits @@ -18,8 +18,79 @@ auch durch Integrale definieren kann. % \subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$} +Das Integral +\[ +f(x) += +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt +\] +kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. +Es wäre daher naheliegend, es als neues spezielle Funktion zu definieren. +Die folgende Rechnung soll aber zeigen, dass es sich durch die bereits +bekannte hypergeometrische Fujnktion $\mathstrut_2F_1$ ausdrücken +lässt. -XXX An dieser Stelle Abschnitt 4.3.5 (Integraldarstellung) einfügen +Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden +Faktor als +\[ +(1-xt)^{-a} += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k +\] +zu schreiben. +Setzt man dies ins Integral ein, erhält man +\[ +f(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. +\] +Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe +der Gamma-Funktion geschrieben werden. +Es gilt +\[ +B(k+b,c-b) += +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. +\] +Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man +\begin{align*} +\Gamma(u+k) +&= +\Gamma(u+k-1) (u+k-1) += +\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) +\\ +&= +\ldots +\\ +&= +\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) +\end{align*} +schreiben, womit das Integral zu +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} +\\ +&= +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} +\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k += +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) +\end{align*} +vereinfacht werden kann. +Damit ist das Integral bestimmt. +Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man +die folgende Integraldarstellung. \begin{satz}[Euler] \label{buch:integrale:eulertransformation:satz} @@ -148,7 +219,8 @@ Funktionen $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ durch ein Integral, dessen Integrand $\mathstrut_pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. \begin{satz} -Es gilt +Es gilt die sogennannte Euler-Transformationsformel +\index{Euler-Transformation}% \[ \mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( \begin{matrix} diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index 80a8379..ecea4c3 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -94,3 +94,13 @@ ISBN = { 978-0-8218-4788-6 }, language = { english }, } + +@online{buch:hal, + author = {Denis Roegel}, + title = {Bürgi's Progress Tabulen (1620): logarithmic tables without logarithms}, + year = {2010}, + url = {https://hal.inria.fr/inria-00543936/document}, + language = { english }, +} + + |
