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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 6 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 391841a..8561479 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun \end{align*}. Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. @@ -27,7 +27,7 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt. +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} @@ -36,7 +36,7 @@ Die Funktion ist die gleiche wie $w(x)$. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} |