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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex index 468e175..8a19437 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex @@ -228,9 +228,9 @@ F(t) \int_0^t ds = t. \end{align*} Das Argument $t$ der hyperbolischen Funktionen ist also der Flächeninhalt -des von der Hyperbel krummlienig berandeten Dreiecks. +des von der Hyperbel krummlinig berandeten Dreiecks. Daher heissen die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen -$\operatorname{arsinh}y$ und $\operatorname{arcosh}x$, Abkürzung +$\operatorname{arsinh}y$ und $\operatorname{arcosh}y$, Abkürzung für {\em area cuius sinus hyperbolicus $y$ est}, Fläche, deren zugehöriger Wert des Sinus hyperbolicus $y$ ist. diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex index 0d884d2..0561eca 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex @@ -38,7 +38,7 @@ $\gamma \colon I \to \mathbb{R}^n$. \caption{Schraubenlinie mit der Parameterdarstellung \eqref{buch:geometrie:eqn:helix} und Abrollung zur Berechnung der Länge der Kurve. -\label{buch:gemoetrie:fig:zylinder}} +\label{buch:geometrie:fig:zylinder}} \end{figure} Die Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:zylinder} zeigt \begin{equation} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index bc60e44..2e02404 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -164,11 +164,11 @@ und umgekehrt: \[ \sin\alpha = -\sqrt{1-\cos^2\alpha} +\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut} \qquad\text{und}\qquad \cos\alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha} +\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} \] Da sich alle Funktionen durch $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ ausdrücken lassen, können alle auch nur durch eine ausgedrückt werden. @@ -187,14 +187,14 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. \hline \sin\alpha &\sin\alpha - &\sqrt{1-\cos^2} + &\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut} &\displaystyle\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}} &\displaystyle\frac{1}{\sec\alpha} &\displaystyle\frac{\sqrt{\csc^2\alpha-1}}{\csc\alpha} \\ \cos\alpha - &\sqrt{1-\sin^2\alpha} + &\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} &\cos\alpha &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} &\displaystyle\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}} @@ -202,16 +202,16 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{1}{\csc\alpha} \\ \tan\alpha - &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} - &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha} + &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} + &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}}{\cos\alpha} &\tan\alpha &\displaystyle\frac{1}{\cot\alpha} &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sec^2\alpha-1}} &\displaystyle\sqrt{\csc^2\alpha-1} \\ \cot\alpha - &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha} - &\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}} + &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha} + &\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha} &\cot\alpha &\displaystyle\sqrt{\sec^2\alpha-1} @@ -219,14 +219,14 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. \\ \sec\alpha &\displaystyle\frac{1}{\sin\alpha} - &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}} + &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha} &\displaystyle\sqrt{1+\cot^2\alpha} &\sec\alpha &\displaystyle\frac{\csc\alpha}{\sqrt{\csc^2\alpha-1}} \\ \csc\alpha - &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} + &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha} &\displaystyle\sqrt{1+\tan^2\alpha} &\displaystyle\frac{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}{\cot\alpha} @@ -424,7 +424,7 @@ Seite auflösen, so erhält man die Halbwinkelformeln &&\Rightarrow& \cos^2\frac{\alpha}2 &=\frac{1+\cos\alpha}2 \\ -\sin^2\alpha &= \frac{1-\cos\alpha}2 +\sin^2\alpha &= \frac{1-\cos2\alpha}2 &&\Rightarrow& \sin^2\frac{\alpha}2 &= \frac{1-\cos\alpha}2. \end{align*} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index f3ac2ff..30d262e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -278,7 +278,7 @@ Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als S = a_0 -\, +\cdot \mathstrut_{n+1}F_m \biggl( \begin{matrix} -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\ @@ -309,7 +309,7 @@ a\sum_{k=0}^\infty \frac{(1)_k}{1} \frac{x^k}{k!} = -a\,\mathstrut_1F_0(1,x). +a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x). \] \subsubsection{Exponentialfunktion} @@ -608,7 +608,7 @@ x\,\mathstrut_1F_2\biggl( ;\frac{x^2}{4} \biggr) = -x\,\mathstrut_0F_1\biggl( +x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} ;\frac{x^2}4 \biggr). @@ -755,7 +755,7 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) = -x -\, +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) \intertext{Dies stimmt mit der in \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} @@ -834,94 +834,6 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ vorkommt, aber nicht in der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. -%\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion -%$\mathstrut_2F_1$} -%Das Integral -%\[ -%f(x) -%= -%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt -%\] -%kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. -%Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden -%Faktor als -%\[ -%(1-xt)^{-a} -%= -%\sum_{k=0}^\infty -%\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k -%\] -%zu schreiben. -%Setzt man dies ins Integral ein, erhält man -%\[ -%f(x) -%= -%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt -%= -%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -%\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. -%\] -%Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe -%der Gamma-Funktion geschrieben werden. -%Es gilt -%\[ -%B(k+b,c-b) -%= -%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. -%\] -%Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man -%\begin{align*} -%\Gamma(u+k) -%&= -%\Gamma(u+k-1) (u+k-1) -%= -%\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) -%\\ -%&= -%\ldots -%\\ -%&= -%\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) -%\end{align*} -%schreiben, womit das Integral zu -%\begin{align*} -%f(x) -%&= -%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} -%= -%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -%\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} -%\\ -%&= -%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} -%\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k -%= -%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) -%\end{align*} -%vereinfacht werden kann. -%Damit ist das Integral bestimmt. -%Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man -%die folgende Integraldarstellung. -% -%\begin{satz} -%Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die -%Integraldarstellung -%\[ -%\mathstrut_2F_1\biggl( -%\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x -%\biggr) -%= -%\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} -%\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. -%\] -%\end{satz} -% -%TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für -%hypergeometrische Funktionen. - - \subsection{TODO} \begin{itemize} \item Hypergeometrische Transformationen diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex index e83b083..e050872 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex @@ -62,7 +62,7 @@ ihn daher zunächst als = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}. \] -Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen +Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotienten von Pochhammer-Symbolen schreiben, nämlich \begin{align*} \frac{1}{\frac32+k-1} @@ -147,7 +147,7 @@ x \cdot \frac{(x^2)^k}{k!} = -x\, +x\cdot \mathstrut_2F_1\biggl( \begin{matrix} \frac12,\frac12\\ \frac32 |