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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex index ae7127f..581d452 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -1,17 +1,17 @@ \section{Einleitung} -Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. +Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elemente in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter. Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). -Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence -Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben. +Durch die Linearität werden beim Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. +Diese Eigenschaft macht es sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben. Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen. Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit. -Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. +Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplexkonjugierte Nullstellen. -Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. +Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt, alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. Der Rest soll dabei unverändert passieren. -Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. +Aus dem Tiefpassfilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort \begin{equation} H(\Omega) = @@ -32,7 +32,7 @@ Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht. Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen. Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt. Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen: -\begin{equation} +\begin{equation} \label{ellfilter:eq:quadratic_transfer} | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}, \end{equation} wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert. @@ -40,8 +40,9 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben. Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$. $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. -Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich. +Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich. Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung. + Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$. Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. \begin{figure} @@ -62,12 +63,15 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti \end{align} Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft. -Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. -Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. +Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. +In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht. +Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen. +Besonders effizient sind Filter mit Equiripple-Verhalten, wessen Welligkeit optimal definiert wird für eine maximal steile Flanke, während die maximale Abweichung zum idealen Filter begrenzt ist. +Die Welligkeit beansprucht dabei einen begrenzen Verstärkungsintervall und nützt diesen Vollständig aus, indem sie periodisch die Grenzen des Intervalls berührt. +Das Tschebyscheff-1 Filter, zum Beispiel, hat Equiripple-Verhalten im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. +Beim Tschebyscheff-2 Filter ist es umgekehrt. Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl. -Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation. +Es hat Equiripple-Verhalten im Durchlass und Sperrbereich und hat dadurch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation. Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden. - -% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof? diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 67bcca0..81821c1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -1,13 +1,16 @@ -\section{Elliptische rationale Funktionen} +\section{Rationale elliptische Funktionen} -Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} +Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. -Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. +Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben. +Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird. +Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. +Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht. Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome. @@ -24,12 +27,12 @@ Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktio \label{ellfilter:fig:cd} \end{figure} Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. -Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. +Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} \caption{ - $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. + $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen. Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt. } @@ -37,13 +40,10 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, \end{figure} Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen. Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen. -Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden. +Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden. Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden. -% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. -Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. -Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. -Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. +% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf} @@ -51,6 +51,10 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funk \label{ellfilter:fig:elliptic_freq} \end{figure} +Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. +Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. +Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. + \subsection{Gradgleichung} Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden. @@ -75,26 +79,54 @@ Algebraisch kann so die Gradgleichung N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} \end{equation} aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch -\begin{equation} %TODO check +\begin{equation}\label{ellfilter:eq:degeqsol} k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg), \quad \text{wobei} \quad N = 2L+r. \end{equation} Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. -% \begin{figure} -% \centering -% \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz} -% \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.} -% \end{figure} +\subsection{Berechnung der rationalen Funktion} -\subsection{Schlussfolgerung} +$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten. +Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden. +% $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden. +Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich. +Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit. +Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex} + \caption{ + Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion. + } + \label{ellfilter:fig:pn} +\end{figure} +Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind. +Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet: +\begin{align} + n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\ + p_i(k) &= n_i + jK^\prime. +\end{align} +Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion +\begin{equation} + R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)}, +\end{equation} +wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$. -Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. -Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. -Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. +\section{Elliptisches Filter} -% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. +Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$. +Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei +\begin{equation} + |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*), +\end{equation} +wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet. +Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen. +Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen. +% \subsection{Schlussfolgerung} +% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. +% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. +% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex index 567bbcc..841cd7d 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex @@ -2,14 +2,16 @@ Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht. Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen. -Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte. -Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. +Es ist daher naheliegend, dass der Kosinus des Tschebyscheff-Filters gegen ein elliptisches Pendant ausgetauscht werden könnte. +Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es hier ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. + +\subsection{Grundlegende Eigenschaften} Die Jacobi elliptischen Funktionen werden ausführlich im Kapitel \ref{buch:elliptisch:section:jacobi} behandelt. Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen. Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$. -Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter. -Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$. +Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei Parameter. +Den elliptischen Modul $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$. Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft. Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. @@ -30,7 +32,7 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art \end{equation} mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden. -Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden. +Dabei wird das vollständige und unvollständige elliptische integral unterschieden. Beim vollständigen Integral \begin{equation} K(k) @@ -48,7 +50,7 @@ wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefe Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant. Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch. -Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$. +Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere elliptische Basisfunktionen $\cn$ und $\dn$. Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen. Insgesamt sind es die zwölf Funktionen \begin{equation*} @@ -66,7 +68,7 @@ Insgesamt sind es die zwölf Funktionen \dc. \end{equation*} -Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art +Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des vollständigen elliptischen Integrals erster Art \begin{equation} \phi = F^{-1}(z, k) \end{equation} @@ -76,7 +78,7 @@ definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion i \Leftrightarrow \phi = F^{-1}(z, k). \end{equation} -Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden: +Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem elliptischen Integral dargestellt werden: \begin{equation} \sin(\phi) = @@ -115,6 +117,8 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral % \phi = \sin^{-1}(w) % \end{equation} +\subsection{Die Funktion $\sn^{-1}$} + Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären. Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion. Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral @@ -153,7 +157,7 @@ Dazu betrachten wir wieder den Integranden } }. \end{equation} -Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. +Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die komplexen Zahlen wandert. Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. @@ -169,7 +173,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen } \label{ellfilter:fig:sn} \end{figure} -In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist: +In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist: \begin{equation} K^\prime(k) = diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf index 32485c1..a8d06d1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf @@ -51,16 +51,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.000000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.798407in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{2.731117in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{2.731117in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}% \pgfpathclose% \pgfusepath{fill}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% -\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}{\pgfqpoint{3.981446in}{0.932710in}}% \pgfusepath{clip}% \pgfsetbuttcap% \pgfsetmiterjoin% @@ -72,16 +72,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.200000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{-108.151374in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.187964in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{-91.099555in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720735in}{-91.099555in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720735in}{2.171491in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{2.171491in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{-91.099555in}}% \pgfpathclose% \pgfusepath{fill}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% -\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}{\pgfqpoint{3.981446in}{0.932710in}}% \pgfusepath{clip}% \pgfsetbuttcap% \pgfsetmiterjoin% @@ -93,16 +93,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.200000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}% 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+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.711458in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.481479in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% @@ -1504,8 +1327,8 @@ \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{0.548769in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% @@ -1515,8 +1338,8 @@ \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.481479in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.481479in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \end{pgfpicture}% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py index 20a7428..3d9065d 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py @@ -29,6 +29,9 @@ def ellip_filter(N, mode=-1): fs=None ) + print("poles", a) + print("zeros", b) + if mode == 0: w = np.linspace(0*omega_c,omega_c, 2000) elif mode == 1: @@ -80,12 +83,12 @@ axs[0].add_patch(Rectangle( )) zeros = [0,0.87,0.995] -poles = [1.01,1.155] +poles = [1.01,1.155, 2.05] import matplotlib.transforms axs[0].plot( # mark errors as vertical bars zeros, - np.zeros_like(zeros), + np.zeros_like(zeros)-0.075, "o", mfc='none', color='black', @@ -93,10 +96,11 @@ axs[0].plot( # mark errors as vertical bars axs[0].transData, axs[0].transAxes, ), + clip_on=False, ) axs[0].plot( # mark errors as vertical bars poles, - np.ones_like(poles), + np.ones_like(poles)+0.075, "x", mfc='none', color='black', @@ -104,6 +108,7 @@ axs[0].plot( # mark errors as vertical bars axs[0].transData, axs[0].transAxes, ), + clip_on=False, ) for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]): @@ -135,17 +140,19 @@ axs[1].add_patch(Rectangle( axs[0].set_xlim([0,2]) axs[0].set_ylim([1e-4,1e6]) +axs[0].tick_params(bottom = False) axs[0].grid() -axs[0].set_ylabel("$F^2_N(w)$") +axs[0].set_ylabel("$|F_N(w)|^2$") axs[1].grid() axs[1].set_ylim([0,1]) axs[1].set_ylabel("$|H(w)|$") +axs[1].set_xlabel("$w$") plt.tight_layout() plt.savefig("elliptic.pgf") plt.show() -print("zeros", a) -print("poles", b) +print("poles", a) +print("zeros", b) diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py new file mode 100644 index 0000000..10accbb --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py @@ -0,0 +1,101 @@ +# %% + +import matplotlib.pyplot as plt +import scipy.signal +import numpy as np +import matplotlib +from matplotlib.patches import Rectangle +import scipy.special +import scipyx as spx + +# import plot_params + +def last_color(): + return plt.gca().lines[-1].get_color() + +# define elliptic functions + +def ell_int(k): + """ Calculate K(k) """ + m = k**2 + return scipy.special.ellipk(m) + +def sn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[0] + +def cn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[1] + +def dn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[2] + +def cd(z, k): + sn, cn, dn, ph = spx.ellipj(z, k**2) + return cn / dn + +N = 6 +L = (N//2) * 2 +r = N - L + +k = 0.9143 + +i = np.arange(1, L+1) +ui = (2*i - 1) / N +k1 = k**N * np.prod(sn(ui*ell_int(k), k)**4) +k1 = 0.0165 +k1 = 0.0058 + + +kp = np.sqrt(1-k**2) +k1p = np.sqrt(1-k1**2) + +K = ell_int(k) +Kp = ell_int(kp) +K1 = ell_int(k1) +K1p = ell_int(k1p) + +# assert np.allclose(Kp*K1*N/K, K1p, rtol=0.001) + +zeros = K/N * (np.arange(N)*2 + 1) +poles = zeros + (1j * Kp) +# if len(poles) % 2 == 0: +# poles = np.delete(poles, len(poles)//2) + + +plt.plot(np.real(zeros), np.imag(zeros), "o") +plt.plot(np.real(poles), np.imag(poles), "x") +# plt.plot([0,K1], [0,K1p]) +# plt.plot([0,K], [0,Kp]) +plt.show() + +zeros = cd(zeros, k) +poles = cd(poles, k) + +plt.plot(np.real(zeros), np.imag(zeros), "o") +plt.plot(np.real(poles), np.imag(poles), "x") +plt.ylim([-0.1,0.1]) +plt.xlim([-2.5,2.5]) +plt.show() + +w = np.linspace(0,2, 2000) + +def make_RN(w): + y = np.prod(w[:, None] - zeros[None], axis=-1) / np.prod(w[:, None] - poles[None], axis=-1) + y /= np.prod(1 - zeros) / np.prod(1 - poles) + return y + + +RN = make_RN(w) + +plt.semilogy(w, np.abs(RN)) +plt.ylim([0.1,1000]) + +plt.plot(w, np.ones_like(w) / k1) + +plt.show() + +H = 1 / (1 + RN**2) + +plt.semilogy(w, np.abs(H)) +plt.ylim([0.00001,1]) +plt.show() diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex index b11c25d..538ac35 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} @@ -22,6 +22,19 @@ \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2); + \foreach \i in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm] + \draw[->, thick, darkgreen!50] (-1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,1.5); + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,-1.5); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,1.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,-1.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); + \end{scope} + } + % \pause \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); % \pause @@ -34,16 +47,6 @@ \foreach \i in {-2,...,1} { \begin{scope}[xshift=\i*4cm] - \begin{scope}[] - \draw[->, darkgreen] (-1, 0) -- (0,0); - \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,1.5); - \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,-1.5); - \draw[->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); - \draw[->, cyan] (2, 0) -- (1,0); - \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0); - \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0); - \draw[->, cyan] (2, 0) -- (3,0); - \end{scope} \node[zero] at (1,0) {}; \node[zero] at (3,0) {}; \end{scope} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex index 2cec75f..d0e0430 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex index 0cf2417..ffe3b9c 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -9,63 +9,59 @@ \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; - \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; - - - \begin{scope} - - \begin{scope}[xshift=0cm] - - \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); - - \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); - - \foreach \i in {-2,...,1} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \draw[->, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[->, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); - \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); - \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[->, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[->, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[->, orange!50] (0,1) -- (0,0.5); - \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1); - \draw[->, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[->, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); - \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); - \draw[->, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0); - \end{scope} - } + \begin{scope}[xshift=0cm] + + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[->, thick, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[->, thick, orange!50] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[->, thick, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[->, thick, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[->, thick, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0); + \end{scope} } - - \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); - \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0); - \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5); - - \foreach \i in {-2,...,1} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \node[zero] at ( 1, 0) {}; - \node[zero] at ( 3, 0) {}; - \node[pole] at ( 1,0.5) {}; - \node[pole] at ( 3,0.5) {}; - - \end{scope} - } + } + + \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); + \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0); + \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5); + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + + \end{scope} } - - \end{scope} + } \end{scope} + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north west] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=south east]{\small $jK^\prime$}; + \end{scope} + \node[zero] at (4,3) (n) {}; \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {}; diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex index d4187c4..47efa53 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] @@ -7,11 +7,15 @@ \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=3.5] + \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); + % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); + \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$}; + \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$}; \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$}; - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$}; - \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$}; + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$}; + \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$}; \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime_1$}; \begin{scope} @@ -34,9 +38,6 @@ % \node[] at (1.5, 0.25) {\small $N=2$}; % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$}; - \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); - % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); - \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$}; \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex index ae18519..158a5ec 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex index 2a36ee0..329cadd 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex index 20c2d82..31c40dc 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \def\nn{2} \def\a{2.5} -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex index 769602a..1232bf0 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -14,8 +14,7 @@ \draw[gray, ->] (0,0) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$}; \draw[gray, ->] (0,0) -- (2.75,0) node[anchor=west]{$\Omega$}; - \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; - \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; + \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -- (1, 0.707) (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; \node[left] at(0,1) {$1$}; diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex index 921dbfa..1d1e45e 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..5dd8fa4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=0.75, yscale=2.5] + + \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); + % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); + \node[] at (5, 0.25) {\small $N=5$}; + + \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,0.75) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-1,0) -- (11,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + \begin{scope} + + \draw[ultra thick, ->, purple] (5, 0.5) -- (10,0.5); + \draw[ultra thick, ->, blue] (10, 0.5) -- (10,0); + \draw[ultra thick, ->, cyan] (10, 0) -- (5,0); + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- (0,0); + \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- (5, 0.5); + + \foreach \i in {1,...,5} { + \begin{scope}[xshift=(\i-1)*2cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[anchor=south west] at ( 1, 0) {$n_\i$}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[anchor=south west] at ( 1, 0.5) {$p_\i$}; + \end{scope} + } + + \end{scope} + + \end{scope} + + % \begin{scope}[yshift=-1.5cm, xshift=3.75cm, xscale=0.75] + + % \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$}; + + % \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0); + % \draw[ultra thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0); + % \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0); + % \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0); + % \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0); + % \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0); + + % \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$}; + % \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$}; + % \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + % \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + % \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + % \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$}; + % \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$}; + + % \end{scope} + +\end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex index 0546fda..c34b619 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -6,66 +6,65 @@ \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8] + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; - \begin{scope} - - \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); - - \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); - - \begin{scope}[xshift=-1cm] - - \foreach \i in {-2,...,2} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \draw[<-, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[<-, cyan!50] (1, 0) -- (0,0); - \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0); - \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[<-, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[<-, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[<-, blue!50] (0,1) -- (0,0.5); - \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1); - \draw[<-, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[<-, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); - \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0); - \draw[<-, cyan!50] (3, 0) -- (4,0); - \end{scope} - } - } - % \pause - \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0); - % \pause - - - \foreach \i in {-2,...,2} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \node[zero] at ( 1, 0) {}; - \node[zero] at ( 3, 0) {}; - \node[pole] at ( 1,0.5) {}; - \node[pole] at ( 3,0.5) {}; - \end{scope} - } - } + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + - \end{scope} + \begin{scope}[xshift=-1cm] + + \foreach \i in {-2,...,2} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[<-, thick, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[<-, thick, cyan!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[<-, thick, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[<-, thick, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[<-, thick, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[<-, thick, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[<-, thick, blue!50] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[<-, thick, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[<-, thick, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[<-, thick, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[<-, thick, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0); + \draw[<-, thick, cyan!50] (3, 0) -- (4,0); + \end{scope} + } + } + + % \pause + \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0); + % \pause + + + \foreach \i in {-2,...,2} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + \end{scope} + } + } \end{scope} - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; - \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north west] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=south east]{\small $jK^\prime$}; \end{scope} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 639c87c..0a48949 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: \begin{align} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ @@ -17,7 +17,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri \end{align} übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome, wobei das Equiripple-Verhalten schon sichtbar ist. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} @@ -37,7 +37,6 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. - Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} @@ -63,7 +62,7 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt we ~dz + \frac{\pi}{2}. \end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ +Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$, \begin{equation} \frac{ -1 @@ -71,7 +70,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ \sqrt{ 1-z^2 } - } + }, \end{equation} bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. @@ -91,19 +90,19 @@ Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. -Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. -Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. +Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} \caption{ $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equiripple-Verhalten führen. Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz. Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus. } \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. -Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet. +Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6383984..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -2,23 +2,25 @@ \rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} -Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. +\label{kra:subsection:feder-masse-system} +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} - k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}. \end{equation*} Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} - x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}. \end{equation} \begin{figure} + \centering % move image to standalone because the physics package is % incompatible with underbrace \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf} @@ -27,38 +29,40 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. \begin{equation} - \label{kra:harmonischer_oszillator} + \label{kra:equation:harmonischer_oszillator} \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}} \end{split} \end{equation} Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \label{kra:equation:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k} \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}, \end{equation} daraus folgt \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad - \dot{p} = -kq + \dot{p} = -kq. \] -in Matrixschreibweise erhalten wir also +In Matrixschreibweise erhalten wir also \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -73,10 +77,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also q \\ p \end{pmatrix} + . \] Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. +Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -85,19 +90,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der \\ \begin{split} V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}. \end{split} \end{align*} Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ + H &= T + V \\ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \frac{\partial H}{\partial p_k} & = \dot{q_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} @@ -106,18 +111,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2). \end{alignedat} \right. \end{align*} In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} + \label{kra:equation:hamilton-multispringmass} \begin{pmatrix} \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ @@ -153,30 +158,38 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{pmatrix} Q \\ P \\ - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} -Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form \begin{equation*} - q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi), \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. -Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. +Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} \label{kra:fig:phasenraum} \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt \begin{pmatrix} @@ -189,27 +202,30 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ A & B \\ C & D \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} + }_{\displaystyle{\tilde{G}}} \begin{pmatrix} Q \\ P - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} -Mit einsetzten folgt +Ausgeschrieben folgt \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex index cde2e66..0503742 100644 --- a/buch/papers/kra/einleitung.tex +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -11,4 +11,4 @@ Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form \label{kra:equation:matrixriccati} \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) \end{equation} -bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:riccati} \cite{kra:ethz}. diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex index f255cc8..f31db4c 100644 --- a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] \tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] -\begin{tikzpicture}[scale=2] +\begin{tikzpicture}[scale=2, >=latex] \newcommand{\ticks}[3] { % x, y coordinates diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex index cd51ea4..be445ca 100644 --- a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -8,7 +8,7 @@ } } -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] +\begin{tikzpicture}[scale=0.6, >=latex] % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA \tikzmath{ \axh = 5.2; diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 4e0da1c..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -7,47 +7,75 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} -Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu \begin{equation} - y' = fy^2 + gy + h + y' = fy^2 + gy + h. \end{equation} +Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} +erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} - \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} - z = \frac{1}{y - y_p} + z = \frac{1}{y - y_p}, \end{equation} -durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} \end{equation} \begin{equation} - y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} \begin{equation} - -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \begin{equation} z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. -Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. +führt. +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. -\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -58,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -67,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -80,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3bf9257..eb1a152 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, -welcher zeitunabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil \begin{equation} - \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}), \end{equation} - +welcher zeitunabhängig ist. %\subsection{Laplace Gleichung} %Die partielle Differentialgleichung %\begin{equation} @@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist \label{parzyl:subsection:finibus}} Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. -Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch \begin{align} x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} @@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten -kann im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem als \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 @@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird. % + % \frac{\partial^2}{\partial z^2}. %\end{equation} -Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung \begin{equation} \Delta f(\sigma, \tau, z) = @@ -245,8 +244,9 @@ und = 0 \end{equation} -führt. - +führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch +als Webersche Differentialgleichungen bekannt. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 0e1ad1b..e6a55b2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} - +\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} @@ -22,43 +22,83 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu} \right )}. \end{equation} +\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. +\begin{satz} + Die Funktionen + \begin{equation} + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1} + \end{equation} + und damit auch die Linearkombinationen + \begin{equation} + W_{k,m}(x) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(x\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(x\right) + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2} + \end{equation} + sind Lösungen der Differentialgleichung + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} + \end{equation} + +\end{satz} \begin{definition} - Die Funktionen - \begin{equation*} - M_{k,m}(x) = - e^{-x/2} x^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} - \end{equation*} - und - \begin{equation*} - W_{k,m}(x) = \frac{ - \Gamma \left( -2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) - } - M_{-k, m} \left(x\right) - + - \frac{ - \Gamma \left( 2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) - } - M_{k, -m} \left(x\right) - \end{equation*} - gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen - der Whittaker Differentialgleichung - \begin{equation} - \frac{d^2W}{d x^2} + - \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. - \label{parzyl:eq:whitDiffEq} - \end{equation} - + Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen. \end{definition} +%\begin{definition} +% Die Funktionen +% \begin{equation*} +% M_{k,m}(x) = +% e^{-x/2} x^{m+1/2} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{2}} +% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} +% \end{equation*} +% und +% \begin{equation*} +% W_{k,m}(x) = \frac{ +% \Gamma \left( -2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) +% } +% M_{-k, m} \left(x\right) +% + +% \frac{ +% \Gamma \left( 2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) +% } +% M_{k, -m} \left(x\right) +% \end{equation*} +% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen +% der Whittaker Differentialgleichung +% \begin{equation} +% \frac{d^2W}{d x^2} + +% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. +% \label{parzyl:eq:whitDiffEq} +% \end{equation} +% +%\end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) @@ -123,6 +163,8 @@ Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} + + In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} U(a,x) &= @@ -161,7 +203,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 0cf4283..1b63c8e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,134 +3,105 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Anwendung in der Physik -\label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Anwendung in der Physik} +\section{Eigenschaften + \label{parzyl:section:Eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. -\begin{figure} - \centering - \begin{minipage}{.7\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte} - \label{parzyl:fig:leiterplatte} - \end{minipage}% - \begin{minipage}{.25\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} - \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} - \end{minipage} -\end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. - - -Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als -\begin{equation} - F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. -\end{equation} -Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen -\begin{equation} - \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} - = - \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} - \qquad - \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} - = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} -\end{equation} -gelten. -Aus dieser Bedingung folgt -\begin{equation} - \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} - \underbrace{ - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} - \qquad - \underbrace{ - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. -\end{equation} -Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. - - -Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla^2\phi(x,y) = 0. -\end{equation} -Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. - - -Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden -\begin{equation} - \phi(x,y) = U(x,y). -\end{equation} -Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld -\begin{equation} - E(x,y) = V(x,y). -\end{equation} - - -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete -komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, -welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. - - -Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist -\begin{equation} - F(s) - = - \sqrt{s} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen +$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +\begin{align} + w_1(\alpha,x) + &= + e^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \sqrt{x + iy}. -\end{equation} -Dies kann umgeformt werden zu -\begin{equation} - F(s) + e^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + + + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(\alpha,x) + &= + xe^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} - + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} - . -\end{equation} + xe^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + x + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +sind. -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, -indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} -% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} - c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. -%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -%\begin{equation} -% x = \sigma \tau, -%\end{equation} +Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. +\subsection{Ableitung} +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), +\end{equation} +und %\begin{equation} -% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). %\end{equation} -%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. -Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{align} - x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ - y &= 2c_1 c_2, -\end{align} -so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung -zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. - +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) +\end{equation} +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1b59ed9..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,102 +3,152 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Eigenschaften -\label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Eigenschaften} -\subsection{Potenzreihenentwicklung - \label{parzyl:potenz}} -%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, -%können auch als Potenzreihen geschrieben werden -Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. -Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen -$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen -\begin{align} - w_1(\alpha,x) - &= - e^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - e^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - 1 - + - \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} - + - \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -und -\begin{align} - w_2(\alpha,x) - &= - xe^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - xe^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - x - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -sind. -Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. -Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden -und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. -Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls +\section{Anwendung in der Physik + \label{parzyl:section:teil2}} +\rhead{Anwendung in der Physik} + +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} +\end{figure} + +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} - \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} -und bei $w_2(\alpha,x)$ falls +gelten. +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. +\end{equation} +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden: +\begin{equation} + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} + + +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} - \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + F(s) + = + \sqrt{s} + = + \sqrt{x + iy}. \end{equation} -Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. -Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt -$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. -\subsection{Ableitung} -Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ -können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt -\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. -Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), -\end{equation} -und + F(s) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} + + +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als %\begin{equation} -% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} %\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( - x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) - {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - \right) +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. +Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
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