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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index 931564b..5749ae0 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ - ellipse.pdf + ellipse.pdf pendel.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -33,4 +33,6 @@ unvollpath.tex: unvollstaendig.m ellipse.pdf: ellipse.tex pdflatex ellipse.tex +pendel.pdf: pendel.tex + pdflatex pendel.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf Binary files differindex fc27f21..b5eba91 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c3a267a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex new file mode 100644 index 0000000..d2ff9b6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% pendel.tex -- mathematisches Pendel +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.7,0} + +\def\winkel{25} + +\fill[color=red!20] (0,0) -- (0,-2) arc (-90:{-\winkel}:2) -- cycle; + +\node at ({0.5*(-90-\winkel)}:1) {$\vartheta$}; +\draw[color=red,shorten >= 0.25cm] (0,0) -- ({-\winkel}:3); +\node[color=red] at ({-\winkel}:1.5) [above right] {$l$}; + +\draw[->] (0,3.1) -- (0,-3.5) coordinate[label={left:$x$}]; +%\draw[->] (-3.1,0) -- (3.5,0) coordinate[label={$y$}]; + +\draw[color=blue] (0,0) -- (0,{-3*sin(\winkel)}) + -- ({3*cos(\winkel)},{-3*sin(\winkel)}); + +\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.05]; +\draw (0,0) circle[radius=0.05]; + +\draw[line width=0.2pt] (0,0) circle[radius=3]; + +\node at ($({-\winkel}:3)+(0.1,0)$) [below right] {$P$}; + +\draw[->,color=darkgreen] + ({-\winkel}:3) -- ($({-\winkel}:3)+(0,-3)$); +\draw[->,color=darkgreen] + ({-\winkel}:3) -- ($({-\winkel}:3)+({-\winkel-90}:{3*cos(\winkel)})$); +\draw[line width=0.3pt,color=darkgreen] + ($({-\winkel}:3)+(0,-3)$) + -- ($({-\winkel}:3)+({-\winkel-90}:{3*cos(\winkel)})$); + +\node[color=darkgreen] at ($({-\winkel}:3)+(0,-2)$) [right] {$g$}; + +\definecolor{darkred}{rgb}{0.6,0,0} +\fill[color=darkred] ({-\winkel}:3) circle[radius=0.25]; +\draw[color=red] ({-\winkel}:3) circle[radius=0.25]; +\node[color=white] at ({-\winkel}:3) {$m$}; + +\node at (0,0) [left] {$O$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf Binary files differindex 894091f..ea5869d 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf Binary files differindex 4da2c0c..f28495c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index 4dc533a..1f52c2a 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -716,6 +716,137 @@ wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. \subsubsection{Das mathematische Pendel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +\caption{Mathematisches Pendel +\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +\end{figure} +Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +im Punkt $P$, +der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +verbunden ist. +Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. + +Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +\( +I=ml^2 +\). +Das Drehmoment der Schwerkraft ist +\(M=gl\sin\vartheta\). +Die Bewegungsgleichung wird daher +\[ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +&= +M += +gl\sin\vartheta +\\ +ml^2\ddot{\vartheta} +&= +gl\sin\vartheta +&&\Rightarrow& +\ddot{\vartheta} +&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +\end{aligned} +\] +Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +der elliptischen Funktionen vergleichen können. + +Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +enthält. +Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +Dies führt auf +\[ +E_{\text{kinetisch}} ++ +E_{\text{potentiell}} += +\frac12I\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +E +\] +Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +Differentialgleichung +\[ +\dot{\vartheta}^2 += +- +\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) ++\frac{2E}{ml^2} +\] +finden. +In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +Lösung konstruieren. + +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +\] +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac12ml^2 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\dot{\vartheta}^2 +&= +(1-y^2) +(E -mgly^2) +\\ +\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac{1}{2} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{E}{2ml^2} +(1-y^2)\biggl( +1-\frac{2gml}{E}y^2 +\biggr). +\end{align*} +Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit $k^2 = gml/2E$. XXX Differentialgleichung \\ XXX Mathematisches Pendel \\ |