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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 8c46202..f2465f1 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -433,6 +433,7 @@ zunächst einen Faktor $x$ aus: x\cdot \biggl( 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots +\biggr) \] Um dies in die Form einer hypergeometrischen Funktion zu bringen, muss zunächst wieder der Nenner $k!$ hergestellt werden. diff --git a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex index 397615e..4bd9c0d 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex @@ -175,7 +175,7 @@ Die Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ ist die Funktion \[ \operatorname{erf} \colon -\mathbb{R}\to [0,1] +\mathbb{R}\to [-1,1] : x \mapsto @@ -189,7 +189,7 @@ x \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/060-integral/images/erf.pdf} -\caption{Graph der Fehlerunktion $\operatorname{erf}(x)$ +\caption{Graph der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ \label{buch:integrale:fig:erf}} \end{figure} Die Funktion $\operatorname{erf}$ nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an, @@ -255,6 +255,120 @@ Die Fehlerfunktion ist also eine ``gute'' spezielle Funktion, die die Berechnung von Wahrscheinlichkeitswerten von normalverteilten Zufallsvariablen vereinfacht. +\subsubsection{Fehlerfunktion als hypergeometrische Funktion} +Die Fehlerfunktion ist eine Stammfunktion von +\[ +\frac{2}{\sqrt{\pi}} +e^{-x^2} += +\frac{2}{\sqrt{\pi}} +\biggl( +1 - \frac{x^2}{1!} + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!}-\dots +\biggr). +\] +Durch gliedweises Integrieren erhaält man +\begin{align*} +\operatorname{erf}(x) +&= +\frac{2}{\sqrt{\pi}} +\biggl( +x - \frac{x^3}{1!\cdot 3} + \frac{x^5}{2!\cdot 5} - \frac{x^7}{3!\cdot 7} + \frac{x^9}{4!\cdot 9}-\dots +\biggr) +\intertext{Ein gemeinsamer Faktor $x$ kann ausgeklammert werden. +Die alternierenden Vorzeichen und die in Zweierschritten ansteigenden +Potenzen bedeuten, dass der Klammerausdruck als Reihe} +&= +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\biggl( +1 + +\frac13\cdot\frac{(-x^2)^1}{1!} ++ +\frac15\cdot\frac{(-x^2)^2}{2!} ++ +\frac17\cdot\frac{(-x^2)^3}{3!} ++ +\frac19\cdot\frac{(-x^2)^4}{4!} ++ +\dots ++ +\frac{1}{2k+1}\frac{(-x^2)^k}{k!} ++ +\dots +\biggr) +\intertext{in $-x^2$ geschrieben werden kann. +Der Koeffzient $1/(2k+1)$ muss jetzt noch mit Pochhammer-Symbolen +geschrieben werden. +Dazu wird er zunächst als $\frac12\cdot 1/(k+\frac12)$ geschrieben, +weil der Nenner dann in Einerschritten anwächst, wie dies für +Pochhammer-Symbole benötigt wird. +Das Pochhammer-Symbol $(\frac32)_k$ hat den korrekten letzten Faktor +$k+\frac12$, aber es hat viele zusätzliche Faktoren, nämlich +alle Faktoren in $(\frac12)_k$ ausser dem ersten. +Mit einem geeigneten Zähler können diese wieder zum Verschwinden +gebracht werden. +So erhält man die Darstellung +} +&= +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{2\cdot (k+\frac12)} +\frac{(-x^2)^k}{k!} += +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{k+\frac12} +\frac{(-x^2)^k}{k!} +\\ +&= +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\sum_{k=0}^\infty +\frac12 +\cdot +\frac{ +\frac32 +\cdot \frac52 +\cdot\ldots\cdot(k-\frac12) +\phantom{\mathstrut\cdot(k+\frac12)} +}{ +\frac32 +\cdot \frac52 +\cdot\ldots\cdot(k-\frac12)\cdot(k+\frac12) +} +\frac{(-x^2)^k}{k!} +\\ +&= +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +\frac12 +\cdot +\frac32 +\cdot \frac52 +\cdot\ldots\cdot(k-\frac12) +\phantom{\mathstrut\cdot(k+\frac12)} +}{ +\phantom{\frac12\cdot\mathstrut} +\frac32 +\cdot \frac52 +\cdot\ldots\cdot(k-\frac12)\cdot(k+\frac12) +} +\frac{(-x^2)^k}{k!} +\\ +&= +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}\frac{(-x^2)^k}{k!} += +\frac{2x}{\sqrt{\pi}} +\, +\mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12\\\frac32\end{matrix}; -x^2 +\biggr) +\end{align*} +der Fehlerfunktion als hypergeometrische Funktion. + +% +% Laplace-Transformation der Fehlerfunktion +% \subsection{Laplace-Transformation} Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Funktion \[ |