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diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex new file mode 100644 index 0000000..c968e79 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% ordnungsstatistik.tex -- Ordnungsstatistik +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Angeordnete Stichprobe} +\[ +X_{1:n} +\le +X_{2:n} +\le +\dots +\le +X_{(n-1):n} +\le +X_{n:n} +\] +$X_{k:n} = \mathstrut$der $k$-te von $n$ Werten +\end{block} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Verteilungsfunktion} +\begin{align*} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +P(X_{k:n} \le x) +\\ +&\uncover<3->{= +P\bigl( +|\{i\;|\; {\color<4>{red}X_i\le x}\}| \ge k +\bigr)} +\\ +&\uncover<5->{= +P(\text{Anzahl $A_i$}\ge k)} +\\ +&\uncover<9->{= +P(K\ge k)} +\\ +\uncover<6->{ +F_{X_i}(x)&= P(X_i\le x)}\uncover<7->{ = P(A_i)}\uncover<10->{ = p} +} +\end{align*} +\uncover<4->{$A_i=\{X_i\le x\}$}\uncover<7->{ ist ein Beroulli- Experiment +\uncover<10->{mit Eintretens- wahrscheinlichkeit $p$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Wiederholtes Bernoulli-Experiment} +$K=\mathstrut$Anzahl $k$, für die $A$ eingetreten +ist\only<11->{, ist binomialverteilt:} +\begin{align*} +\uncover<12->{P(K=k) +&= +\phantom{\sum_{i=k}^n\mathstrut} +\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} +} +\\ +\uncover<13->{ +P(K\ge k) +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} +} +\\ +\uncover<14->{ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |