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diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex index 9414e42..1be1b4f 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} } \beamertemplatenavigationsymbolsempty -\title[Dreieckstest]{Dreieckstest} +\title[Ordnungsstatistik]{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} \author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} \date[]{30.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex index 211a105..19b7417 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex @@ -6,3 +6,7 @@ \folie{dreieck/stichprobe.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/orderplot.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc index 0575397..bbc19b6 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc @@ -4,6 +4,11 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterdreieck = \ + ../slides/dreieck/stichprobe.tex \ ../slides/dreieck/minmax.tex \ ../slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex \ + ../slides/dreieck/orderplot.tex \ + ../slides/dreieck/dichte.tex \ + ../slides/dreieck/beta.tex \ + ../slides/dreieck/betaplot.tex \ ../slides/dreieck/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..fc3606a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +% +% beta.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +\begin{align*} +\varphi(x) +&= +{\color{blue}N} x^{k-1} (1-x)^{n-k} +\\ +&\uncover<8->{ += +\beta_{k,n-k+1}(x) +} +\end{align*} +\end{block} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Risch-Algorithmus} +Die Beta-Verteilungen haben ausser in Spezialfällen +keine Stammfunktion in geschlossener Form. +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.56\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{definition} +Beta-Verteilung +\[ +\beta_{a,b}(x) += +\begin{cases} +\displaystyle +\uncover<7->{ +{\color{blue} +\frac{1}{B(a,b)} +} +} +x^{a-1}(1-x)^{b-1} +&0\le x\le 1 +\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\] +\end{definition}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Normierung} +\begin{align*} +{\color{blue}\frac{1}{{N}}} +&\uncover<4->{= +\int_{-\infty}^\infty \beta_{a,b}(x)\,dx} +\\ +&\uncover<5->{= +\int_{0}^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx} +\\ +&\uncover<6->{= +B(a,b)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..ee932e8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% +% betaplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilungen} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex] + +\only<1>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<2>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-0) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<3>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex index 2c91eb5..0f58c4c 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex @@ -6,3 +6,6 @@ \folie{dreieck/test.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex new file mode 100644 index 0000000..168523a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +% +% dichte.tex -- Wahrscheinlichkeitsdichte +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wahrscheinlichkeitsdichte} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\[ +\varphi_{X_{k:n}}(x) += +\frac{d}{dx} F_{X_{k:n}}(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.60\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Gleichverteilung} +\[ +{\color{darkgreen}F(x)}=\begin{cases} +0&x \le 0\\ +x&0\le x \le 1,\\ +1&x\ge 1 +\end{cases} +\quad +\uncover<5->{ +{\color{red}\varphi(x)} += +\begin{cases} +1&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +nach einiger Rechnung: +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +{\color<3->{red}\varphi_X(x)}\,k\binom{n}{k}{\color<3->{darkgreen}F_X(x)}^{k-1} +(1-{\color<3->{darkgreen}F_X(x)})^{n-k} +\intertext{\uncover<4->{für Gleichverteilung}} +\uncover<6->{ +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\begin{cases} +\displaystyle +{\color<7->{blue}k\binom{n}{k}}{\color{darkgreen}x}^{k-1}(1-{\color{darkgreen}x})^{n-k} +&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\qquad\uncover<7->{\text{({\color{blue}Normierung})}} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex index 9ef8d1a..ff3a231 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex @@ -17,48 +17,66 @@ Verteilungsfunktion von Z=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<3->{ F_Z(x) &= -P(Z\le x) +P(Z\le x)} \\ +\uncover<4->{ &= P(X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n\le x) +} \\ +\uncover<5->{ &= P(X_1\le x)\cdot \ldots\cdot P(X_n\le x) +} \\ +\uncover<6->{ &= F_X(x)^n +} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Minimum} Verteilungsfunktion von \[ Z=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<7->{ F_Z(x) &= P(Z\le x) +} \\ +\uncover<8->{ &=P(\overline{ X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n \le x }) +} \\ +\uncover<9->{ &= 1-P( X_1> x\wedge\dots\wedge X_n > x ) +} \\ +\uncover<10->{ &= 1-(P(X_1>x)\cdot\ldots\cdot P(X_n>x)) +} \\ +\uncover<11->{ &= 1-(1-F_X(x))^n +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex new file mode 100644 index 0000000..7cf10c6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% orderplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace*{-18pt} +\begin{center} +\includegraphics[width=10cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex index 6346953..c968e79 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex @@ -8,11 +8,76 @@ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Angeordnete Stichprobe} +\[ +X_{1:n} +\le +X_{2:n} +\le +\dots +\le +X_{(n-1):n} +\le +X_{n:n} +\] +$X_{k:n} = \mathstrut$der $k$-te von $n$ Werten +\end{block} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.44\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Verteilungsfunktion} +\begin{align*} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +P(X_{k:n} \le x) +\\ +&\uncover<3->{= +P\bigl( +|\{i\;|\; {\color<4>{red}X_i\le x}\}| \ge k +\bigr)} +\\ +&\uncover<5->{= +P(\text{Anzahl $A_i$}\ge k)} +\\ +&\uncover<9->{= +P(K\ge k)} +\\ +\uncover<6->{ +F_{X_i}(x)&= P(X_i\le x)}\uncover<7->{ = P(A_i)}\uncover<10->{ = p} +} +\end{align*} +\uncover<4->{$A_i=\{X_i\le x\}$}\uncover<7->{ ist ein Beroulli- Experiment +\uncover<10->{mit Eintretens- wahrscheinlichkeit $p$} +\end{block}} \end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Wiederholtes Bernoulli-Experiment} +$K=\mathstrut$Anzahl $k$, für die $A$ eingetreten +ist\only<11->{, ist binomialverteilt:} +\begin{align*} +\uncover<12->{P(K=k) +&= +\phantom{\sum_{i=k}^n\mathstrut} +\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} +} +\\ +\uncover<13->{ +P(K\ge k) +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} +} +\\ +\uncover<14->{ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +} +\end{align*} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex index da3a20e..4b2eff0 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex @@ -12,21 +12,22 @@ \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Zufallsvariable} -Gegeben eine Zufallsvariable $X$ mit +Gegeben eine Zufallsvariable $X$ \uncover<5->{mit Verteilungsfunktion \[ F_X(x) = P(X\le x) -\] -und +\]} +\uncover<6->{und Wahrscheinlichkeitsdichte \[ \varphi_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) -\] +\]} \end{block} +\uncover<7->{% \begin{block}{Gleichverteilung} \[ F(x) = \begin{cases} @@ -34,6 +35,7 @@ F(x) = \begin{cases} x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 1<x \end{cases} +\uncover<8->{ \qquad\Rightarrow\qquad \varphi(x) = @@ -41,19 +43,21 @@ x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 0\le x \le 1\\ 0&\qquad\text{sonst}. \end{cases} +} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Stichprobe} $n$ Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ \begin{itemize} -\item +\item<3-> alle $X_i$ haben die gleiche Verteilung wie $X$ -\item +\item<4-> die $X_i$ sind unabhängig \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |