From 6fafc379ff7808606f7d7835f797955f4b58c56e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Sat, 6 Aug 2022 16:29:24 +0200 Subject: M --- buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf | Bin 22225335 -> 22225339 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) diff --git a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf index 0502c88..e6c5429 100644 Binary files a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf and b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 299310434e22f22ab43cfb423f91cb164cf2bab7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sun, 7 Aug 2022 12:39:33 +0200 Subject: verbesserungen --- buch/papers/parzyl/main.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 19 +++++++++---------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++- 3 files changed, 14 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 528a2e2..14c85ff 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{Parabolische Zylinderfunktionen\label{chapter:parzyl}} \lhead{Parabolische Zylinderfunktionen} \begin{refsection} -\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller} +\chapterauthor{Alain Keller und Thierry Schwaller} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4b251db..119f805 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -19,16 +19,16 @@ Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung \begin{equation} \Delta f = g \end{equation} -mit g als beliebige Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten +mit $g$ als beliebiger Funktion. +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen \begin{equation} \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} \label{parzyl:eq:max1} \end{equation} -besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. +besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen Potentials \begin{equation} @@ -38,8 +38,8 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert \begin{equation} \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, \end{equation} -was eine Possion-Gleichung ist. -An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. +was eine Poisson-Gleichung ist. +An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. @@ -51,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} @@ -67,7 +67,6 @@ und konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} - Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. @@ -106,7 +105,7 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = d \tilde{z} \\ + = d \tilde{z} \end{align} substituiert. Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} @@ -120,7 +119,7 @@ geschrieben, resultiert Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \begin{align} h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ - h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ h_{z} &= 1. \end{align} \subsection{Differentialgleichung} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index f297189..239f8c7 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -13,7 +13,10 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{equation*} W_{k,m}(z) = e^{-z/2} z^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung von -- cgit v1.2.1 From f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Mon, 8 Aug 2022 17:36:16 +0200 Subject: Chlini Schritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 32 +++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 25 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 239f8c7..02ce0f2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution -in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit +Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} @@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung - von + von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} - -Lösung Folgt\dots - - +Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +als Lösung hat. +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +\begin{equation} + \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 +\label{parzyl:eq:weberDiffEq} +\end{equation} +resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +$w$ als Lösung haben. +Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +eine sondern zwei Lösungen. +Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +Somit ist +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. -- cgit v1.2.1 From fffae23e55eae8484953d699b22f19406b1b408c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 10 Aug 2022 23:05:30 +0200 Subject: mikroschritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +++++++++++++++++++----- 1 file changed, 19 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 02ce0f2..a3e9626 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -42,8 +42,22 @@ $w$ als Lösung haben. Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit ist -\begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{equation} -eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. +Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +\begin{align} + w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{align} +als Lösungen. + +Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +\begin{align} + w_1 &= e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{4}} + - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ + w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ({\textstyle \frac{3}{4}} + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) +\end{align} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200 Subject: Added Part 3 --- buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf | Bin 22225339 -> 22768070 bytes buch/papers/parzyl/main.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 3 +- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 31 +++++++++----- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 78 +++++++++++++++++++++++++++++++++++- 6 files changed, 100 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf index e6c5429..6091e14 100644 Binary files a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf and b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf differ diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 14c85ff..fd2aea7 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -13,6 +13,6 @@ \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} \input{papers/parzyl/teil2.tex} - +\input{papers/parzyl/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 119f805..1f23d6e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -220,7 +220,7 @@ und 0 \end{equation} führt. -Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} \begin{equation} i(z) = diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a3e9626..e140796 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -51,6 +51,7 @@ als Lösungen. Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen \begin{align} + \label{parzyl:eq:solution_dgl} w_1 &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( @@ -60,4 +61,4 @@ Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) -\end{align} \ No newline at end of file +\end{align} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 3f890d0..aaea42b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -11,10 +11,10 @@ \subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte \label{parzyl:subsection:bonorum}} Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} - F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass \begin{equation} @@ -35,7 +35,7 @@ Aus dieser Bedingung folgt \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} = 0 - }_{\nabla^2U(x,y)=0} + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} \qquad \underbrace{ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} @@ -43,26 +43,35 @@ Aus dieser Bedingung folgt \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} = 0 - }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. \end{equation} -Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. -Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} - F(z) + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +\begin{equation} + F(s) = - \sqrt{z} + \sqrt{s} = \sqrt{x + iy}. \end{equation} Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - F(z) + F(s) = \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 4e44bd6..12b7519 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,6 +3,80 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{parzyl:section:teil3}} +\section{Eigenschaften +\label{parzyl:section:Eigenschaften}} \rhead{Teil 3} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden +\begin{align} + w_1(k,z) + &= + e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{4}} + - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + = + e^{-\frac{z^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{z^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!} + + + \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(k,z) + &= + ze^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{3}{4}} + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + = + ze^{-\frac{z^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{z^2}{4}} + \left ( + z + + + \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!} + + + \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!} + + + \dots + \right ). +\end{align} +Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls +\begin{equation} + k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0 +\end{equation} +und bei $w_2(k,z)$ falls +\begin{equation} + k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0. +\end{equation} + +\subsection{Ableitung} +Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k), +\end{equation} +und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +\end{equation} +Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. + -- cgit v1.2.1 From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200 Subject: Updated stuff --- buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf | Bin 22768070 -> 22768314 bytes buch/papers/parzyl/img/plane.pdf | Bin 0 -> 2072 bytes buch/papers/parzyl/teil0.tex | 81 +++++++++++++++++++++++------------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 13 +++--- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 3 +- 6 files changed, 63 insertions(+), 36 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/plane.pdf diff --git a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf index 6091e14..36b612f 100644 Binary files a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf and b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf differ diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf new file mode 100644 index 0000000..c52c336 Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 1f23d6e..3b14287 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -4,42 +4,65 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. -Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im -parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -\subsection{Laplace Gleichung} -Die partielle Differentialgleichung -\begin{equation} - \Delta f = 0 -\end{equation} -ist als Laplace-Gleichung bekannt. -Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\rhead{Einleitung} +%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. + +\subsection{Helmholtz-Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \Delta f = g + \nabla f = \lambda f \end{equation} -mit $g$ als beliebiger Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten -verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. -Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung \begin{equation} - \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} -\label{parzyl:eq:max1} + \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) + = + 0 \end{equation} -besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. -Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen -Potentials +mit Hilfe von Separation \begin{equation} - \nabla \phi = E. -\end{equation} -Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert + u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) +\end{equation} +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist \begin{equation} - \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} -was eine Poisson-Gleichung ist. -An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. + +%\subsection{Laplace Gleichung} +%Die partielle Differentialgleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = 0 +%\end{equation} +%ist als Laplace-Gleichung bekannt. +%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = g +%\end{equation} +%mit $g$ als beliebiger Funktion. +%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten +%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +%\begin{equation} +% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +%\label{parzyl:eq:max1} +%\end{equation} +%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. +%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +%Potentials +%\begin{equation} +% \nabla \phi = E. +%\end{equation} +%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +%\begin{equation} +% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +%\end{equation} +%was eine Poisson-Gleichung ist. +%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..cb929d6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} +\rhead{Lösung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index aaea42b..4af6860 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -5,12 +5,15 @@ % \section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} +\rhead{Anwendung in der Physik} - -\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte -\label{parzyl:subsection:bonorum}} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 12b7519..972fd33 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -5,7 +5,8 @@ % \section{Eigenschaften \label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Teil 3} +\rhead{Eigenschaften} + \subsection{Potenzreihenentwicklung \label{parzyl:potenz}} Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden -- cgit v1.2.1 From 8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Tue, 16 Aug 2022 22:25:46 +0200 Subject: schaffe --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 54 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..a52665b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} \begin{align} - w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) \end{align} als Lösungen. - -Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen \begin{align} \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1 &= e^{-z^2/4} \, + w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{4}} - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. +Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +\begin{equation} + D_n(z) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + + + \frac{ + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). +\end{equation} +welche die Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 +\end{equation} +löst. + +Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. +\end{equation} +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( + \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 + \right) +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} + -- cgit v1.2.1 From a5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:10:05 +0200 Subject: =?UTF-8?q?l=C3=B6sungssachen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/references.bib | 24 +++++++++++++++++++ buch/papers/parzyl/teil1.tex | 49 +++++++++++++++++++++++++++++++-------- 2 files changed, 63 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 494ff7c..40be69a 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -33,3 +33,27 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@book{parzyl:whittaker, + place={Cambridge}, + edition={4}, + series={Cambridge Mathematical Library}, + title={A Course of Modern Analysis}, + DOI={10.1017/CBO9780511608759}, + publisher={Cambridge University Press}, + author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.}, + year={1996}, + collection={Cambridge Mathematical Library}} + +@book{parzyl:abramowitz-stegun, + added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + address = {New York}, + author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.}, + edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing}, + interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c}, + intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f}, + keywords = {Handbook}, + publisher = {Dover}, + timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, + year = 1972 +} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index b02a1bf..edc6db0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung \begin{equation} D_n(z) = \frac{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} @@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} welche die Differenzialgleichung \begin{equation} @@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung \end{equation} löst. -Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} +der Differenzialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} +beschrieben. \begin{align} U(a,z) &= - \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 - \right) + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} \end{align} mit \begin{align} @@ -109,3 +131,10 @@ mit {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} +Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +ausgedrückt werden +\begin{align} + U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ + V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. +\end{align} -- cgit v1.2.1 From 1e358f56c6ad619ff5a2259ff9043af1ee8f274f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:21:27 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 18 ++---------------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 21 +++++++++++++++++++-- 2 files changed, 21 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3b14287..2844a6e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -238,26 +238,12 @@ und + \mu \right ) - i(\tau) + i(z) = 0 \end{equation} führt. -Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} -\begin{equation} - i(z) - = - A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} - + - B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} -\end{equation} -ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index edc6db0..154ee71 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,6 +6,22 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} + +\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. +Die Lösung ist somit +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )}. +\end{equation} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} @@ -78,7 +94,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} -welche die Differenzialgleichung +welche die Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 \end{equation} @@ -105,7 +121,7 @@ mit {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} -der Differenzialgleichung +der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} @@ -138,3 +154,4 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} +TODO Plot \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 2cc8141db9b3cb5e7cfa27cf6187fdf0c23f7240 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:26:46 +0200 Subject: fehlerverbesserungen --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 4 +--- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 4 ++-- 2 files changed, 3 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 2844a6e..4a6f8f4 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -97,8 +97,6 @@ Ebene gezogen werden. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -\dots - Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} @@ -107,7 +105,7 @@ kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 154ee71..83aa00e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -22,8 +22,8 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu}z \right )}. \end{equation} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit -Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} +mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} -- cgit v1.2.1 From 3e8ec5a6aea34b07f0c18aac6fa69ee21bdf89c1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:34:26 +0200 Subject: mehr fehler --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +----------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 23 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 83aa00e..a56d94b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -125,29 +125,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. -\begin{align} - U(a,z) &= - \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 - \right\} -\end{align} -mit -\begin{align} - Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ - Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 -\end{align} - -Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ -- cgit v1.2.1 From fb7badcc5d1353ad11fff486b634d25a7b26b38b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 15:44:00 +0200 Subject: les bildeurs --- buch/papers/parzyl/img/D_plot.png | Bin 0 -> 712446 bytes buch/papers/parzyl/img/v_plot.png | Bin 0 -> 637451 bytes buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 ++++++++++++++-- 3 files changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/D_plot.png create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/v_plot.png diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png new file mode 100644 index 0000000..f76e35b Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png new file mode 100644 index 0000000..b8c803e Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a56d94b..673fa7f 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -88,7 +88,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } @@ -132,4 +132,16 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot \ No newline at end of file +TODO Plot +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:dnz} +\end{figure} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:Vnz} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1