From 08f2fa49aebb5880f5b510196f693f4cb68d439d Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 25 Aug 2022 22:36:30 +0200
Subject: Final corrections before pull request.
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buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 87 +---------------------
.../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 67 +++++++++--------
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--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine
Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\iffalse
-
-\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
-%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
-}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
-Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
-zustande kommen.
-
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
-Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
-wurde, noch etwas genauer angeschaut.
-Es wird also im Folgenden
-\[
- L_0
- =
- -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
-\]
-zusammen mit den Randbedingungen
-\[
- \begin{aligned}
- k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
- k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
- \end{aligned}
-\]
-verwendet.
-Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
-gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
-selbsadjungiert zu machen.
-Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
-für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
-
-\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
-
-Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in
-den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
-
-Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
-diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-
-Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu
-zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
-\[
- \langle Av, w \rangle
- =
- \langle v, Aw \rangle
-\]
-für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
-Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
-
-Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
-Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
-Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
-Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
-Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
-Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
-also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-falls er selbstadjungiert ist.
-
-\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
-
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
-Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
-
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
-erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
-des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
-
-\fi
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index 2104645..0ef1072 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
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@@ -9,11 +9,12 @@
\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}
In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
-betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
-physikalischen Phänomenes auftritt.
+betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
+dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
+als Lösung des Problems zustande kommt.
Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch
$u(t=0, x)$ gegeben ist.
Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
@@ -58,7 +59,7 @@ als Randbedingungen.
Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
$x = 0$ und $x = l$ auftreten.
-Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$.
+Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$.
Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
@@ -144,6 +145,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
Es gilt also beispielsweise wegen
\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
dass $X(0) = X(l) = 0$.
+
Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
@@ -162,7 +164,7 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
\end{equation}
gelten.
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
+Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
mit der
@@ -186,8 +188,8 @@ reguläres Sturm-Liouville-Problem.
Es werden nun $p(x)$ und die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
-in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man
-erhält
+des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
+eigesetzt und man erhält
\[
\begin{aligned}
k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -203,7 +205,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
-handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
isolierten
Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
@@ -285,14 +287,15 @@ Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends
und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
benötigt.
-Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
-allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
+allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
Es werden nun die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+
Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
Dies fürht zu
\[
@@ -315,7 +318,6 @@ sich
B \sin(\beta l)
= 0.
\]
-
$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
\[
@@ -335,11 +337,11 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
Verletzung der Randbedingungen.
-Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
werden.
-Setzt man nun die
+Setzt man die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
-in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich
\[
X^{\prime}(0)
=
@@ -358,7 +360,7 @@ folgt nun
= 0.
\]
-Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
Es folgt nun
\[
@@ -385,7 +387,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden
\subsubsection{Fourierreihe als Lösung}
Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
-wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell
+wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell
unendlich viele Lösungen gibt.
Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen
Koeffizienten für jede Lösungsfunktion.
@@ -399,15 +401,15 @@ Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination
\]
aus allen möglichen Lösungen um.
-Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen,
-da
+Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen.
+Da
\[
\begin{aligned}
a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\
b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0
\end{aligned}
\]
-gilt endet man somit bei
+gilt, endet man somit bei
\[
X(x)
=
@@ -483,13 +485,13 @@ gebildet:
Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
-Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
+Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$.
Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden.
Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
-gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
+gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen:
\[
\begin{aligned}
\hat{u}_c(0, x)
@@ -511,21 +513,22 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
\]
Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
-um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt
+um den Faktor zwei skalliert wurde.
+Es gilt also
\[
-\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
- &=
+ =
2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
- \\
+\]
+und
+\[
\int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
- &=
+ =
2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
-\end{aligned}
\]
-Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
-berechnet:
+Als nächstes wird nun das
+Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet:
\[
\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -574,13 +577,15 @@ orthogonal zueinander stehen und
\]
da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind.
-Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
+Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
\[
2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
=
a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
\]
-vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
+vereinfacht.
+
+Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
\[
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cgit v1.2.1