From 205b65bcb0891d941b60f295876b40121cfe871e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 18 Dec 2021 17:17:17 +0100
Subject: more info about gamma function

---
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 .../chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile |   5 +-
 .../080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf     | Bin 0 -> 14664 bytes
 .../080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex     |  54 +++++
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 15 files changed, 706 insertions(+), 12 deletions(-)
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 create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex
 create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
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 create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index 0da5fe4..714e10e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -8,4 +8,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/040-rekursion/gamma.tex				\
 	chapters/040-rekursion/linear.tex				\
 	chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex			\
+	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex			\
+	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex			\
 	chapters/040-rekursion/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
index d648cbb..3467a71 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
@@ -19,5 +19,6 @@
 \begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
 \uebungsaufgabe{1}
+\uebungsaufgabe{2}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 36937c7..9bbbd13 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -574,17 +574,13 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
 Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 337 Auswertungen des Integranden.
 
-%
-% Spiegelformel
-%
-\subsection{Die Spiegelungsformel}
-
 %
 % Beta-Integrale
 %
 \subsection{Die Beta-Funktion}
 
 \begin{definition}
+\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
 Das Beta-Integral ist das Integral
 \[
 B(x,y)
@@ -745,10 +741,260 @@ s^{x-1}
 Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
 \begin{equation}
 B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
+\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
 \end{equation}
 berechnet werden.
 \end{satz}
 
+\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
+Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+untersuchen wir den Fall $y=1-x$.
+In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit
+\begin{equation}
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+B(x,1-x) 
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
+\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+\end{equation}
+Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von
+\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten,
+kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion
+an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden
+$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen.
+Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach:
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12})^2
+=
+\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt
+=
+\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt.
+\]
+Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus
+\[
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}}
+2\sin s\cos s
+\,ds
+=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^2 s\,ds
+=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds
+=
+\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds,
+\]
+wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben.
+Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich
+des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet
+das zweite Integral.
+Somit folgt
+\begin{equation}
+\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
+\label{buch:rekursion:gamma:gamma12}
+\end{equation}
+Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat
+sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}}
+gemacht:
+{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?}
+Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man
+$(-\frac12)!$ als Wert
+\[
+(-{\textstyle\frac12})!
+=
+\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1)
+=
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\sqrt{\frac{\pi}2}
+\]
+der Gamma-Funktion interpretiert.
+
+\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
+Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
+ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
+Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative
+Form zu bringen.
+Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
+wird damit
+\begin{align*}
+B(x,y)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
+\\
+&=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1}
+\cdot \sin s\cos s\,ds
+\\
+&=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds.
+\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma},
+die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet
+man die Formel}
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds
+&=
+\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)}
+\end{align*}
+für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen.
+
+Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral
+$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab:
+\begin{align}
+B(x,y)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+\int_0^\infty
+\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}}
+\frac{1}{(s+1)^{y-1}}
+\frac{ds}{(s+1)^2}
+\notag
+\\
+&=
+\int_0^\infty
+\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds,
+\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf}
+\end{align}
+wobei wir
+\[
+\frac{dt}{ds}
+=
+\frac{d}{ds}
+\frac{s}{s+1}
+=
+\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2}
+=
+\frac{1}{(s+1)^2}
+\]
+verwendet haben.
+Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
+% XXX Ort ergänzen
+dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
+herzuleiten.
+
+Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
+mit $dt=\frac12 ds$.
+Damit wird das Beta-Integral
+\begin{equation}
+B(x,y)
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
+=
+\frac12
+\int_{-1}^1
+\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1}
+\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1}
+\,ds
+=
+2^{1-x-y}
+\int_{-1}^1
+(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1}
+\,ds.
+\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
+Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
+Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
+
+\begin{satz}[Legendre]
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
+=
+2^{1-2x}\sqrt{\pi}
+\Gamma(2x)
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der
+Gamma-Funktion als
+\[
+B(x,x)
+=
+\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
+\]
+schreibt.
+Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen.
+
+Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
+kann man das Beta-Integral zu
+\begin{align*}
+B(x,x)
+&=
+2^{1-2x}
+\int_{-1}^1
+(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1}
+\,ds
+=
+2^{1-2x}
+\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
+\end{align*}
+vereinfachen.
+Der Integrand ist gerade, es folgt
+\[
+B(x,x)
+=
+2^{1-2x}
+\cdot 2
+\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds.
+\]
+Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form
+eines Beta-Integrals gebracht werden:
+\begin{align*}
+2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
+&=
+\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}}
+=
+\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt
+=
+B({\textstyle\frac12},x).
+\end{align*}
+In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$
+verwendet.
+Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen
+schreiben, nämlich als
+\[
+B({\textstyle\frac12},x)
+=
+\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}.
+\]
+Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt
+\begin{align*}
+\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
+&=
+\frac1{2^{2x-1}}
+\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}
+\\
+\Rightarrow\qquad
+\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
+&=
+2^{1-2x}
+\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x)
+=
+2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x),
+\end{align*}
+wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben.
+\end{proof}
+
+Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi},
+\]
+in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert.
+
 \subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
 Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
 \begin{equation}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..b70626c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,52 @@
+Berechnen Sie
+\begin{teilaufgaben}
+\item $\Gamma(\frac{5}2)$
+\item $\displaystyle \frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)}$
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Mit Hilfe der Funktionalgleichung findet man
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac52})
+=
+\frac32
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac32})
+=
+\frac32
+\cdot
+\frac12
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\frac{3}{4}\sqrt{\pi}.
+\]
+\item
+Ebenfalls unter Verwendung der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion 
+findet man
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac{16}3})
+=
+\frac{13}3
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac{13}3})
+=
+\frac{13}3
+\cdot
+\frac{10}3
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac{10}3})
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)}
+=
+\frac{13}3\cdot\frac{10}3
+=
+\frac{130}{9}
+\approx
+14.4444.
+\qedhere
+\]
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex
new file mode 100644
index 0000000..a747ecb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$.
+
+\begin{loesung}
+Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n)
+=
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n-1)
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index 891f488..a702182 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -9,4 +9,8 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex		\
+	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex		\
+	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
new file mode 100644
index 0000000..aab0d6b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+%
+% anwendungen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Anwendungen
+\label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}}
+
+\input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
index 877d1b1..b7b5325 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -35,17 +35,19 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
 \input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex}
 
 \section{TODO}
 \begin{itemize}
 \item Aurgument-Prinzip
 \end{itemize}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{1}
+\uebungsaufgabe{2}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
new file mode 100644
index 0000000..e77c8d6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
@@ -0,0 +1,223 @@
+%
+% gammareflektion.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Reflektionsformel für die Gamma-Funktion
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion}}
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+stellt eine Beziehung zwischen dem Produkt $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+von zwei Werten der Gamma-Funktion in Punkten der komplexen Ebene,
+die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$
+auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her.
+
+\begin{satz}
+Für $0<x<1$ gilt
+\begin{equation}
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\frac{\pi}{\sin\pi x}.
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf}
+\caption{Pfad zur Auswertung des
+Integrals~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+mit Hilfe des Residuensatzes.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:gammapfad}}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+In der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+wurde bereits ein Zusammenhang zwischen $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+und einem Beta-Integral hergestellt, konkret
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+B(x,1-x)
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
+\]
+Mit der Substitution $t=s/(s+1)$, die bereits für die Herleitung der
+Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} verwendet wurde, ergibt sich
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\int_0^\infty 
+\frac{s^{x-1}}{s+1}
+\,ds.
+\]
+Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir den Cauchy-Integralsatz,
+um das Integral
+\begin{equation}
+I
+=
+\oint_\gamma \frac{z^{x-1}}{1-z}\,dz
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+\end{equation}
+zu berechnen.
+Darin hat die Funktion im Zähler des Integranden $f(z)=z^{x-1}$ 
+nur ausserhalb der negativen reellen Achse einen wohldefinierten Wert.
+In Polarkoordinaten $z=re^{i\varphi}$ verwenden wir
+den Hauptwert $z^{x-1}=r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}$.
+Aus dem Cauchy-Integralsatz lesen wir den Wert
+\[
+I = 2\pi i
+\]
+ab.
+
+Das Integral \eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+kann zerlegt werden in die Integrale
+\begin{align*}
+I
+&=
+I_R+I_++I_\varepsilon+I_-,
+\end{align*}
+wobei $I_R$ das Integral über den äusseren Kreis vom Radius $R$ ist,
+$I_\varepsilon$ das Integral im Gegenuhrzeigersinn über den inneren Kreis
+vom Radius $\varepsilon$.
+Die Terme $I_{\pm}$ sind die Integrale entlang der negativen
+reellen Achse, wobei das Pluszeichen für den oberen $-R$ nach
+$-\varepsilon$ gelten soll.
+
+Für die beiden Integrale $I_R$ und $I_\varepsilon$ wird die Parametrisierung
+$\varphi\mapsto z(\varphi) = re^{i\varphi}$ mit $dz=ire^{i\varphi}\,d\varphi$
+verwendet.
+Das Integral über den Kreis vom Radius $r$ im Gegenuhrzeigersinn ist
+\begin{align*}
+I_r
+&=
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-re^{i\varphi}} ire^{i\varphi}\,d\varphi
+=
+i\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^xe^{ix\varphi}}{1-re^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\end{align*}
+Die beiden Teile $I_R$ und $I_\varepsilon$ können wie folgt noch
+weiter vereinfacht werden:
+\begin{align*}
+\\
+I_R
+&=
+iR^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{ix\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\\
+I_{\varepsilon}
+&=
+-
+i
+\varepsilon^x
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{e^{ix\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+\,d\varphi,
+\end{align*}
+wobei das negative Zeichen bei $I_\varepsilon$ daher rührt, dass der
+kleine Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
+Für grosse Werte von $R$ ist das erste Integral beschränkt, aber wegen
+$x-1<0$ konvergiert der Vorfaktor $R^{x-1}$ gegen 0 für $R\to\infty$.
+Ähnlich ist das zweite Integral für kleine $\varepsilon$ beschränkt, aber
+$\varepsilon^x$ konvergiert gegen $0$ für  $\varepsilon\to 0$.
+Wir können daher
+\begin{align*}
+\lim_{R\to\infty}
+I_R
+&=
+\lim_{R\to\infty}
+R^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{i(x-1)\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+ie^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=0
+\\
+\text{und}
+\qquad
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+I_\varepsilon
+&=
+-
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{\varepsilon^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+i\varepsilon e^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=
+0
+\end{align*}
+folgern.
+
+Die anderen zwei Integrale verwenden die Parametrisierung
+$z(s) = -s = se^{\pm i\pi}$ mit $dz = e^{\pm i\pi}\,ds$.
+Damit werden sie
+\begin{align*}
+I_+
+&=
+\int_{R}^{\varepsilon}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)\pi}}{1-se^{i\pi}}
+e^{i\pi}
+\,ds
+=
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}e^{ix\pi}}{1+s}
+\,ds
+\\
+I_-
+&=
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)(-\pi)}}{1-se^{-i\pi}}
+e^{-i\pi}
+\,ds
+=
+-
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{-ix\pi}}{1+s}
+\,ds.
+\intertext{Die beiden Integrale stimmen bis auf den von $t$ unabhängigen
+Faktor $e^{\pm ix\pi}$ überein, sie können daher zusammegefasst werden zu}
+I_++I_-
+&=
+(e^{ix\pi}-e^{-ix\pi})
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+=
+\frac{e^{ix\pi}-e^{-ix\pi}}{2i}
+\cdot
+2i \int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+\\
+&=
+2i
+\sin(\pi x)
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds.
+\end{align*}
+Durch Grenzübergang $R\to\infty$ und $\varepsilon \to 0$ wird dies zu
+\[
+I
+=
+2i\sin(\pi x) \int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\]
+Zusammen mit dem früher bestimmten Wert $I=2\pi i$ folgt 
+\[
+2\pi i
+= 
+2i\sin(\pi x)
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{\pi}{\sin \pi x}
+=
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}1+s\,ds
+=
+\Gamma(x)\Gamma(1-x).
+\]
+Damit ist der Satz bewiesen.
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
index 66e6d0f..1ddd585 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 all:	nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \
-	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf
+	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf
 
 nonanalytic.pdf:	nonanalytic.tex
 	pdflatex nonanalytic.tex
@@ -24,3 +24,6 @@ forts.pdf:	forts.tex
 logforts.pdf:	logforts.tex
 	pdflatex logforts.tex
 
+gammapfad.pdf:	gammapfad.tex
+	pdflatex gammapfad.tex
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13a6fc1
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex
new file mode 100644
index 0000000..cf24c95
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% gammapfad.tex -- Pfad zum Beweis der Reflektionsformel der Gamma-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[->] (-2.55,0) -- (2.7,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.7,0) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\def\repsilon{0.3}
+\def\R{2.5}
+\def\d{0.04}
+
+\pgfmathparse{asin(\d/sqrt(\R*\R-\d*\d))}
+\xdef\A{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{asin(\d/sqrt(\repsilon*\repsilon-\d*\d))}
+\xdef\a{\pgfmathresult}
+
+\draw[->] (0,0) -- (70:\R);
+\node at (70:{0.7*\R}) [right] {$R$};
+\draw[->] (0,0) -- (-40:\repsilon);
+\node at (-40:\repsilon) [below right] {$\varepsilon$};
+
+\draw[color=darkred,line width=1.4pt] 
+	({\A-180}:\R) arc ({\A-180}:{180-\A}:\R)
+	--
+	({-sqrt(\R*\R-\d*\d)},\d)
+	--
+	%({-sqrt(\repsilon*\repsilon-\d*\d)},\d)
+	({180-\a}:\repsilon) arc ({180-\a}:{\a-180}:\repsilon)
+	--
+	({-sqrt(\R*\R-\d*\d)},-\d)
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=blue] (1,0) circle[radius=0.04];
+\node[color=blue] at (1,0) [above] {$1$};
+
+\node[color=darkred] at (120:\R) [above left] {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..8bc276f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+Verwenden Sie die Eulersche Spiegelungsformel um 
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+\]
+zu berechnen.
+
+\begin{loesung}
+Zunächst beachten wir, dass
+\[
+1 - \frac{1+2k}2
+=
+\frac{1-2k}2.
+\]
+Dies bedeutet, dass
+\[
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+=
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(1-\frac{1+2k}2\biggr)
+=
+\frac{\pi}{
+\sin\pi\frac{1+2k}2
+}
+=
+\frac{\pi}{\sin(2k+1)\frac{\pi}2}
+\]
+nach der Eulerschen Spiegelungsformel.
+Das Argument der Sinus-Funktion ist ein ungerades Vielfaches 
+von $\frac{\pi}2$, die Sinus-Funktion hat dort die Werte $\pm 1$,
+genauer
+\[
+\sin(2k+1)\frac{\pi}2
+=
+(-1)^k.
+\]
+Damit wird die gesuchte Summe:
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\frac{\pi}{(-1)^k}
+=
+-\pi+\pi-\pi+\dots+(-1)^n\pi
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad\text{$n$ gerade}\\
+-\pi&\qquad\text{$n$ ungerade}.
+\end{cases}
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..48e9bdc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+Verwenden Sie die Legendresche Verdoppelungsformel und
+die Eulersche Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion,
+um $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)$ zu berechnen und
+verifizieren Sie, dass beide Wege das gleiche Resultat geben.
+
+\begin{loesung}
+Aus der Spiegelungsformel für $x=\frac14$ folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}4}
+=
+\frac{\pi}{1/\sqrt{2}}
+=
+\pi\sqrt{2}.
+\]
+Andererseits ist $\frac34=\frac14+\frac12$, so dass aus der Legendreschen
+Verdoppelungsformel folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+2^{1-2\cdot \frac14}\sqrt{\pi}\Gamma(2\cdot {\textstyle\frac14})
+=
+\sqrt{2}
+\sqrt{\pi}\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\sqrt{2}
+\pi.
+\]
+Offensichtlich stimmen die beiden Resultate überein.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/common/packages.tex b/buch/common/packages.tex
index 233f6ba..342bf7b 100644
--- a/buch/common/packages.tex
+++ b/buch/common/packages.tex
@@ -19,6 +19,7 @@
 \usepackage{fancyhdr}
 \usepackage{textcomp}
 \usepackage{txfonts}
+\usepackage{nicefrac}
 \newcommand\hmmax{0}
 \newcommand\bmmax{0}
 \usepackage{bm}
-- 
cgit v1.2.1