From 0344a846c083c11e9ed93ddc5898dd55c6dd1022 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 20 Apr 2022 10:30:56 +0200 Subject: lemniscate sine stuff --- buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc | 3 + buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex | 21 +- buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 208 +- buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile | 9 +- .../chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf | Bin 56975 -> 56975 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf | Bin 9914 -> 14339 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex | 15 +- buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp | 128 + buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf | Bin 0 -> 28269 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex | 88 + buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 3264 ++++++++++---------- buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 299 +- 12 files changed, 2431 insertions(+), 1604 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 538db68..b23df52 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -7,6 +7,9 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ + chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \ + chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \ + chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \ chapters/110-geometrie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index e09fa53..e05f3bd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -10,18 +10,33 @@ \rhead{} Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat -in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können. Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden. +Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion +der Bogenlänge umkehrt. +Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf +die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf +eine eher geometrische Art eingeführt werden. +Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wieder hergestellt. + \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -\section*{Übungsaufgaben} -\rhead{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} +\rhead{Übungsaufgabe} \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 46659cd..4cb2ba3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{buch:elliptisch:section:integral}} \rhead{Elliptisches Integral} Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in -Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener Form ausdrücken liess. Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als @@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische Funktionen} -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der +Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe. +Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als +hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperK} +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2 +\biggr) +\] +ausdrücken. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form +\begin{align} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +%\notag +%\\ +%& += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\bigl( +1-(k\sin\vartheta)^2 +\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta. +\notag +\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen +Reihe vereinfacht werden zu} +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta +\,d\vartheta. +\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} +\end{align} +Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach +\begin{align*} +\binom{-\frac12}{n} +&= +\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!} += +(-1)^n +\cdot +\frac{1}{n!} +\cdot +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr) += +(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!} +\end{align*} +vereinfachen. +Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält +man +\begin{align*} +K(k) +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^{2n} +\cdot +(-1)^n +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +\cdot (k^2)^n. +\end{align*} +Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$ +berechnet werden. +Mit partieller Integration kann man +\begin{align*} +\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta +&= +\int +\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow} +\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow} +\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta ++ +\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta ++ +(m-1) +\int +(1-\sin^2\vartheta) +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Wegen $\sin 0=0$ und +$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral +und der zweite wird +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta +\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +- +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^m \vartheta\,d\vartheta +\\ +m +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta +\\ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{m-1}{m} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden. +Es folgt +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{2n-1}{2n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{2n-1}{2n} +\frac{2n-3}{2n-2} +\frac{2n-5}{2n-4} +\cdots +\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{ +(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12 +}{ +n! +} +\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\frac{\pi}2. +\end{align*} +Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!} += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr), +\] +dies beweist die Behauptung. +\end{proof} @@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, also $E(0)=\frac{\pi}2$. Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperE} +Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +\[ +E(k) += +\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix}; +k^2 +\biggr). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit +Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden +werden. +\end{proof} + \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index 68322b6..a7c9e74 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -5,7 +5,7 @@ # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ - sncnlimit.pdf + sncnlimit.pdf slcl.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf: jacobi12.tex sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex pdflatex sncnlimit.tex +slcl: slcl.cpp + g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + +slcldata.tex: slcl + ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200 +slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex + pdflatex slcl.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf index 88cf119..f0e6e78 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf index 063a3e1..9e02c3c 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex index f74a81f..fe90631 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex @@ -27,13 +27,16 @@ \draw[color=red,line width=2.0pt] plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))}); -\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}]; -\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}]; +\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}]; +\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}]; \fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02]; \draw (1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$}; + \fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02]; \draw (-1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$}; \node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$}; \node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$}; @@ -41,6 +44,14 @@ \fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; \draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; +\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({sqrt(2)},0) [below right] + {$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$}; +\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({-sqrt(2)},0) [below left] + {$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$}; + + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp new file mode 100644 index 0000000..8584e94 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp @@ -0,0 +1,128 @@ +/* + * slcl.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include +#include +#include +#include +#include +#include +#include +#include +#include + +namespace slcl { + +static struct option longopts[] { +{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, +{ "a", required_argument, NULL, 'a' }, +{ "b", required_argument, NULL, 'b' }, +{ "steps", required_argument, NULL, 'n' }, +{ NULL, 0, NULL, 0 } +}; + +class plot { + typedef std::pair point_t; + typedef std::vector curve_t; + curve_t _sl; + curve_t _cl; + double _a; + double _b; + int _steps; +public: + double a() const { return _a; } + double b() const { return _b; } + int steps() const { return _steps; } +public: + plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) { + double l = sqrt(2); + double k = 1 / l; + double m = k * k; + double h = (b - a) / steps; + for (int i = 0; i <= steps; i++) { + double x = a + h * i; + double sn, cn, dn; + gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn); + _sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn)); + _cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn)); + } + } +private: + std::string point(const point_t p) const { + char buffer[128]; + snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p.first, p.second); + return std::string(buffer); + } + std::string path(const curve_t& curve) const { + std::ostringstream out; + auto i = curve.begin(); + out << point(*(i++)); + do { + out << std::endl << " -- " << point(*(i++)); + } while (i != curve.end()); + out.flush(); + return out.str(); + } +public: + std::string slpath() const { + return path(_sl); + } + std::string clpath() const { + return path(_cl); + } +}; + +/** + * \brief Main function for the slcl program + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + int longindex; + int c; + double a = 0; + double b = 10; + int steps = 100; + std::ostream *out = &std::cout; + while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:", + longopts, &longindex))) + switch (c) { + case 'a': + a = std::stod(optarg); + break; + case 'b': + b = std::stod(optarg) / sqrt(2); + break; + case 'n': + steps = std::stol(optarg); + break; + case 'o': + out = new std::ofstream(optarg); + break; + } + + plot p(a, b, steps); + (*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + (*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + + out->flush(); + //out->close(); + return EXIT_SUCCESS; +} + +} // namespace slcl + +int main(int argc, char *argv[]) { + try { + return slcl::main(argc, argv); + } catch (const std::exception& e) { + std::cerr << "terminated by exception: " << e.what(); + std::cerr << std::endl; + } catch (...) { + std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl; + } + return EXIT_FAILURE; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf new file mode 100644 index 0000000..493b5fa Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex new file mode 100644 index 0000000..08241ac --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\input{slcldata.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\def\lemniscateconstant{2.6220575542} +\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant} +\xdef\scalechange{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)} +\xdef\ts{\pgfmathresult} + +\def\dx{1} +\def\dy{3} + +\draw[line width=0.3pt] + ({\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); + +\draw[color=red!20,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)}); +\draw[color=blue!20,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)}); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath; + +\draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}]; +\draw[->] (-0.1,0) -- (13.7,0) coordinate[label={$s$}]; + +\foreach \i in {1,2,3,4,5}{ + \draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1); +} +\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$ \varpi\mathstrut$}; +\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$2\varpi\mathstrut$}; +\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$3\varpi\mathstrut$}; +\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$4\varpi\mathstrut$}; +\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$5\varpi\mathstrut$}; + +\node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy}) + [below left] {$\operatorname{sl}(s)$}; +\node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90}) + [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + +\node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy}) + [above right] {$\operatorname{cl}(s)$}; +\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90}) + [below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + +\draw (-0.1,{1*\dy}) -- (0.1,{1*\dy}); +\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy}); +\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$}; +\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$}; +\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index f1e0987..e1fbc00 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -22,1597 +22,1743 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. +%% +%% elliptische Funktionen als Trigonometrie +%% +%\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +%\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +%elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +%auf einer Ellipse. +%\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +%\end{figure} +%% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +%% https://youtu.be/DCXItCajCyo % -% ellpitische Funktionen als Trigonometrie +%% +%% Geometrie einer Ellipse +%% +%\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +%Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +%\index{Ellipse}% +%der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +%den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +%\index{Brennpunkt}% +%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +%mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +%die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +%Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +%Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +%Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +%haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +%Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +%also $a$ sein. +%Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +%\[ +%b^2+e^2=a^2 +%\qquad\Rightarrow\qquad +%e^2 = a^2-b^2 +%\] +%sein muss. +%Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +%Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +%der Ellipse. % -\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -auf einer Ellipse. -\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -\end{figure} -% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -% https://youtu.be/DCXItCajCyo - +%% +%% Die Ellipsengleichung +%% +%\subsubsection{Ellipsengleichung} +%Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\overline{PF_1}^2 +%&= +%y^2 + (x+e)^2 +%\\ +%\overline{PF_2}^2 +%&= +%y^2 + (x-e)^2 +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +%\end{equation} +%von den Brennpunkten, für die +%\begin{equation} +%\overline{PF_1}+\overline{PF_2} +%= +%2a +%\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +%\end{equation} +%gelten muss. +%Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +%\[ +%\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +%\] +%erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +%erfüllt. +%Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +%$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +%Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +%\[ +%l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +%\] +%Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +%auf die rechte Seite und quadriert. +%Man muss also verifizieren, dass +%\[ +%(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +%\] +%In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +%\[ +%y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +%\] +%substituieren. +%Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +%Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. % -% Geometrie einer Ellipse +%% +%% Normierung +%% +%\subsubsection{Normierung} +%Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +%von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +%Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +%kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +%Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. % -\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -\index{Ellipse}% -der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -\index{Brennpunkt}% -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -also $a$ sein. -Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -\[ -b^2+e^2=a^2 -\qquad\Rightarrow\qquad -e^2 = a^2-b^2 -\] -sein muss. -Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -der Ellipse. - +%Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +%weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +%mindestens eine mit Halbeachse $1$. +%Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +%Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. +%Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +%In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +%zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. % -% Die Ellipsengleichung +%Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +%$\varepsilon$ auch mit +%\[ +%k +%= +%\varepsilon +%= +%\frac{e}{a} +%= +%\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} +%= +%\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +%\] +%die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +%Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen +%findet man +%\[ +%k^2a^2 = a^2-1 +%\quad\Rightarrow\quad +%1=a^2(k^2-1) +%\quad\Rightarrow\quad +%a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +%\] % -\subsubsection{Ellipsengleichung} -Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -\overline{PF_1}^2 -&= -y^2 + (x+e)^2 -\\ -\overline{PF_2}^2 -&= -y^2 + (x-e)^2 -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -\end{equation} -von den Brennpunkten, für die -\begin{equation} -\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -= -2a -\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -\end{equation} -gelten muss. -Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -\[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -\] -erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -erfüllt. -Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -\[ -l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -\] -Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -auf die rechte Seite und quadriert. -Man muss also verifizieren, dass -\[ -(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -\] -In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -\[ -y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -\] -substituieren. -Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. - +%Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +%\[ +%\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +%\qquad\text{oder}\qquad +%x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +%\] % -% Normierung +%% +%% Definition der elliptischen Funktionen +%% +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +%\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +%an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +%\end{figure} +%\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +%Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ +%können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +%Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +%Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +%Radiusvektor zum Punkt $P$ +%darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +%ausnützen möchten. +%Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +%noch unbestimmte Argument $u$. +%Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. % -\subsubsection{Normierung} -Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. - -Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. -Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. - -Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -$\varepsilon$ auch mit -\[ -k -= -\varepsilon -= -\frac{e}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -\] -die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -findet man -\[ -k^2a^2 = a^2-1 -\quad\Rightarrow\quad -1=a^2(k^2-1) -\quad\Rightarrow\quad -a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -\] - -Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -\[ -\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -\qquad\text{oder}\qquad -x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -\] - +%Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +%vom Modulus ab. +%Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +%wir das $k$-Argument weg. % -% Definition der elliptischen Funktionen +%Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +%Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +%des Kreises. +%Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +%die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. % -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -\end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -Radiusvektor zum Punkt $P$ -darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -ausnützen möchten. -Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -noch unbestimmte Argument $u$. -Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. - -Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -vom Modulus ab. -Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -wir das $k$-Argument weg. - -Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -des Kreises. -Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. - -In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -die Funktionen -\[ -\begin{aligned} -&\text{sinus amplitudinis:}& -{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -&\text{cosinus amplitudinis:}& -{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -&\text{delta amplitudinis:}& -{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -\end{aligned} -\] -die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -dargestellt sind. -Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -\[ -\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -\] -ist. -Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -berechnen, also gilt -\begin{equation} -r^2 -= -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -x^2 + y^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -\end{equation} -Ersetzt man -$ -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -$, ergibt sich -\[ -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -+ -\operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -\operatorname{dn}(u,k)^2 -+ -\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -= -1, -\] -woraus sich die Identität -\[ -\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -\] -ergibt. -Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -\[ -a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1. -\] -Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -\begin{align*} -\operatorname{dn}(u,k)^2 -- -k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -&= -\frac{1}{a^2} -= -\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -= -1-k^2 =: k^{\prime 2}. -\end{align*} -Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -\begin{equation} -\begin{aligned} -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2}. -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\end{equation} -zusammen. -So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -ist es mit -\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -jede anderen auszudrücken. -Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -zusammengestellt. - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -&\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{cn}(u,k) -&\operatorname{dn}(u,k)\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{sn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\operatorname{cn}(u,k) -&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) -&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -durch jede andere ausdrücken. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -\end{table} - +%In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +%die Funktionen +%\[ +%\begin{aligned} +%&\text{sinus amplitudinis:}& +%{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ +%&\text{cosinus amplitudinis:}& +%{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ +%&\text{delta amplitudinis:}& +%{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, +%\end{aligned} +%\] +%die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +%dargestellt sind. +%Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +%\[ +%\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +%\] +%ist. +%Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +%berechnen, also gilt +%\begin{equation} +%r^2 +%= +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%x^2 + y^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +%\quad +%\Rightarrow +%\quad +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +%\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +%\end{equation} +%Ersetzt man +%$ +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%= +%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +%$, ergibt sich +%\[ +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +%+ +%\operatorname{sn}(u,k)^2 +%\quad +%\Rightarrow +%\quad +%\operatorname{dn}(u,k)^2 +%+ +%\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 +%= +%1, +%\] +%woraus sich die Identität +%\[ +%\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +%\] +%ergibt. +%Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +%die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +%\[ +%a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 +%= +%(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+1. +%\] +%Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +%\begin{align*} +%\operatorname{dn}(u,k)^2 +%- +%k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%&= +%\frac{1}{a^2} +%= +%\frac{a^2-a^2+1}{a^2} +%= +%1-k^2 =: k^{\prime 2}. +%\end{align*} +%Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\operatorname{sn}^2(u,k) +%+ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%1 +%\\ +%\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +%&= +%1 +%\\ +%\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%k^{\prime 2}. +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%\end{equation} +%zusammen. +%So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +%ist es mit +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +%jede anderen auszudrücken. +%Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +%zusammengestellt. % -% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -% -\subsubsection{Ableitung} -Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -Beziehungen -\[ -\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -\qquad\text{und}\qquad -\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -\] -erfüllen. -So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. - -Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -Ableitungsformeln ergeben. -Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -\begin{align*} -\frac{dy}{d\varphi} -&= -\cos\varphi -= -\frac{1}{a} x -= -\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\frac{dx}{d\varphi} -&= --a\sin\varphi -= --a y -= --a\operatorname{sn}(u,k). -\end{align*} -Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -\begin{align*} -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -= -\cos\varphi -= -\frac{x}{a} -= -\operatorname{cn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} -\operatorname{sn}(u,k) -&= -\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -= --\sin\varphi -= --\operatorname{sn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -&= -\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -= -\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -+ -\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -+ -\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -\\ -&= -\frac{x}{ar}(-ay) -+ -\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -= -\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -\\ -&= --\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -\\ -&= --\frac{a^2-1}{ar} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&=-k^2 -\frac{a}{r} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\frac{d\varphi}{du} -\end{align*} -Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -wählt, dass -\[ -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{r}{a} -\] -Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -&= -\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\end{align*} -der elliptischen Funktionen nach Jacobi. - +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +%\hline +%&\operatorname{sn}(u,k) +%&\operatorname{cn}(u,k) +%&\operatorname{dn}(u,k)\\ +%\hline +%\operatorname{sn}(u,k) +%&\operatorname{sn}(u,k) +%&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +%&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) +%&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +%&\operatorname{cn}(u,k) +%&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) +%&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +%&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +%&\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +%unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%durch jede andere ausdrücken. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +%\end{table} % -% Der Grenzfall $k=1$ +%% +%% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Ableitung} +%Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +%für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +%Beziehungen +%\[ +%\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +%\qquad\text{und}\qquad +%\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +%\] +%erfüllen. +%So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +%durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +%Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +%sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. % -\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -\end{figure} -Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\[ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2 -\operatorname{dn}^2(u,k) -= -k^{\prime2} -= -0 -\qquad\Rightarrow\qquad -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -\operatorname{dn}^2(u,1), -\] -die beiden Funktionen -$\operatorname{cn}(u,k)$ -und -$\operatorname{dn}(u,k)$ -fallen also zusammen. -Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -\begin{align*} -\operatorname{sn}'(u,1) -&= -\operatorname{cn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -1-\operatorname{sn}^2(u,1) -&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -\\ -\operatorname{cn}'(u,1) -&= -- -\operatorname{sn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -- -\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -&&\Rightarrow& -\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -\end{align*} -Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -die Lösung -\[ -\frac{y'}{1-y^2} -= -1 -\quad\Rightarrow\quad -\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{artanh}(y) = u -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -\] -Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -\begin{align*} -(\log \operatorname{cn}(u,1))' -&= -\tanh u -&&\Rightarrow& -\log\operatorname{cn}(u,1) -&= --\int\tanh u\,du -= --\log\cosh u -\\ -& -&&\Rightarrow& -\operatorname{cn}(u,1) -&= -\frac{1}{\cosh u} -= -\operatorname{sech}u. -\end{align*} -Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -dargestellt. - +%Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +%Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +%Ableitungsformeln ergeben. +%Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +%ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +%$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +%Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +%\begin{align*} +%\frac{dy}{d\varphi} +%&= +%\cos\varphi +%= +%\frac{1}{a} x +%= +%\operatorname{cn}(u,k) +%\\ +%\frac{dx}{d\varphi} +%&= +%-a\sin\varphi +%= +%-a y +%= +%-a\operatorname{sn}(u,k). +%\end{align*} +%Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +%elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +%\begin{align*} +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +%&= +%\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) +%= +%\cos\varphi +%= +%\frac{x}{a} +%= +%\operatorname{cn}(u,k) +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du} +%\operatorname{sn}(u,k) +%&= +%\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +%\\ +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +%&= +%\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} +%= +%-\sin\varphi +%= +%-\operatorname{sn}(u,k) +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +%\\ +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +%&= +%\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} +%= +%\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +%%\\ +%%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} +%+ +%\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +%%\\ +%%& +%= +%\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) +%+ +%\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +%$} +%\\ +%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%\frac{x}{ar}(-ay) +%+ +%\frac{y}{ar} \frac{x}{a} +%%\rlap{$\displaystyle +%= +%\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +%%$} +%%\\ +%%& +%= +%-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +%$} +%\\ +%&= +%-\frac{a^2-1}{ar} +%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%%\\ +%%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%-k^2 +%\frac{a}{r} +%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%$} +%\\ +%&= +%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +%\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\frac{d\varphi}{du}. +%\end{align*} +%Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +%wählt, dass +%\[ +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\operatorname{dn}(u,k) +%= +%\frac{r}{a}. +%\] +%Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln % -% Das Argument u +%\begin{satz} +%\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} +%Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +%&= +%\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} +%\end{equation} +%\end{satz} % -\subsubsection{Das Argument $u$} -Die Gleichung -\begin{equation} -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -\end{equation} -ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -die geometrische Bedeutung zu klären. -Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -\begin{equation} -\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -\end{equation} - -Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -\[ -\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -= -\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -werden, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -= -\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -= -\frac{1}{a}\cdot -\frac{a^2}{r^2} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -\] -Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{du} -= -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -\cdot -\frac{d\varphi}{du} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -\cdot -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -= -\frac{1}{a} -\cdot\frac{a}{r} -= -\frac{1}{r}, -\] -wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -verwendet haben. - -In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -von $u$ nach $t$ berechnen als -\[ -\frac{du}{dt} -= -\frac{du}{d\vartheta} -\frac{d\vartheta}{dt} -= -r -\dot{\vartheta}. -\] -Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -von $O$. -$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -\[ -u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -\] -Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -$u(P)=\vartheta(P)$ ist. - +%% +%% Der Grenzfall $k=1$ +%% +%\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +%\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +%für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +%\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +%\end{figure} +%Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +%Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%\[ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%- +%k^2 +%\operatorname{dn}^2(u,k) +%= +%k^{\prime2} +%= +%0 +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\operatorname{cn}^2(u,1) +%= +%\operatorname{dn}^2(u,1), +%\] +%die beiden Funktionen +%$\operatorname{cn}(u,k)$ +%und +%$\operatorname{dn}(u,k)$ +%fallen also zusammen. +%Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +%\begin{align*} +%\operatorname{sn}'(u,1) +%&= +%\operatorname{cn}(u,1) +%\operatorname{dn}(u,1) +%= +%\operatorname{cn}^2(u,1) +%= +%1-\operatorname{sn}^2(u,1) +%&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +%\\ +%\operatorname{cn}'(u,1) +%&= +%- +%\operatorname{sn}(u,1) +%\operatorname{dn}(u,1) +%= +%- +%\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +%&&\Rightarrow& +%\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +%\end{align*} +%Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +%die Lösung +%\[ +%\frac{y'}{1-y^2} +%= +%1 +%\quad\Rightarrow\quad +%\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +%\quad\Rightarrow\quad +%\operatorname{artanh}(y) = u +%\quad\Rightarrow\quad +%\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +%\] +%Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +%\begin{align*} +%(\log \operatorname{cn}(u,1))' +%&= +%\tanh u +%&&\Rightarrow& +%\log\operatorname{cn}(u,1) +%&= +%-\int\tanh u\,du +%= +%-\log\cosh u +%\\ +%& +%&&\Rightarrow& +%\operatorname{cn}(u,1) +%&= +%\frac{1}{\cosh u} +%= +%\operatorname{sech}u. +%\end{align*} +%Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +%dargestellt. % -% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%% Das Argument u +%% +%\subsubsection{Das Argument $u$} +%Die Gleichung +%\begin{equation} +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\operatorname{dn}(u,k) +%\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +%\end{equation} +%ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +%die geometrische Bedeutung zu klären. +%Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +%Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +%ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +%Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +%\begin{equation} +%\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +%\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +%\end{equation} % -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -udn -$\operatorname{dn}(u,k)$ -geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -\end{figure} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -\cdot & -\frac{1}{1} & -\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -1& -&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{sn}(u,k) & -\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) & -\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) & -\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -\end{table} -\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -der Nenner durch den Buchstaben q. -Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. -Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. - -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -geometrisch interpretiert. -Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. - -Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -andere auszudrücken. -Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: - -\begin{beispiel} -Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -Zunächst ist -\[ -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -\] -nach Definition. -Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -\begin{equation} -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -\end{equation} -Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -Aus der Definition und der -dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -erhält man -\begin{align*} -\operatorname{cd}^2(u,k) -&= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -\\ -\Rightarrow -\qquad -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -+ -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\operatorname{cn}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\frac{ -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -\end{align*} -Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -\[ -1-\operatorname{cn}^2(u,k) -= -\frac{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -- -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -= -\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -\] -Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -\begin{align*} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -\cdot -\frac{ -\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -} -= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -}. -\qedhere -\end{align*} -\end{beispiel} - -\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -Sie ist -\begin{align*} -\frac{d}{du} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{d}{du} -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\frac{ -\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -- -\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{ -\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -+ -\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -= -\frac{( -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -)\operatorname{dn}(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -\cdot -\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\operatorname{nc}(u,k) -\operatorname{dc}(u,k). -\end{align*} -Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -die Funktion, die abgeleitet wird. - -Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -\begin{equation} -%\small -\begin{aligned} -\operatorname{sn}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&\qquad& -\operatorname{ns}'(u,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -\\ -\operatorname{cn}'(u,k) -&= -- -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&& -\operatorname{nc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -\\ -\operatorname{dn}'(u,k) -&= --k^2 -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -&&& -\operatorname{nd}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^2 -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -\\ -\operatorname{sc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -&&& -\operatorname{cs}'(u,k) -&= -- -\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -\\ -\operatorname{cd}'(u,k) -&= --k^{\prime2} -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -&&& -\operatorname{dc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^{\prime2} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -\\ -\operatorname{ds}'(d,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -&&& -\operatorname{sd}'(d,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -\end{equation} -finden. -Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -zweiten Buchstaben haben. - -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden -% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic - - -XXX Ableitungen \\ -XXX Werte \\ - +%Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +%dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +%$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +%Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +%\[ +%\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} +%= +%\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +%werden, sie ist +%\[ +%\frac{d\vartheta}{d\varphi} +%= +%\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} +%= +%\frac{1}{a}\cdot +%\frac{a^2}{r^2} +%= +%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +%\] +%Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +%Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +%\[ +%\frac{d\vartheta}{du} +%= +%\frac{d\vartheta}{d\varphi} +%\cdot +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +%\cdot +%\operatorname{dn}(u,k) +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot\frac{a}{r} +%= +%\frac{1}{r}, +%\] +%wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +%verwendet haben. % -% Lösung von Differentialgleichungen +%In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +%von $u$ nach $t$ berechnen als +%\[ +%\frac{du}{dt} +%= +%\frac{du}{d\vartheta} +%\frac{d\vartheta}{dt} +%= +%r +%\dot{\vartheta}. +%\] +%Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +%das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +%von $O$. +%$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +%$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +%Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +%\[ +%u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +%\] +%Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +%auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +%$u(P)=\vartheta(P)$ ist. % -\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} -Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -Differentialgleichungen in geschlossener Form. -Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -\( -\ddot{x}(t) -= -p(x(t)) -\) -mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. - +%% +%% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +%\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +%$\operatorname{sn}(u,k)$, +%$\operatorname{cn}(u,k)$ +%udn +%$\operatorname{dn}(u,k)$ +%geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +%des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +%\end{figure} +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +%\hline +%\cdot & +%\frac{1}{1} & +%\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\[5pt] +%\hline +%1& +%&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +%\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +%\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +%\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{sn}(u,k) & +%\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +%&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) & +%\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +%\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) & +%\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +%\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\[5pt] +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +%Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen. +%Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen. +%\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +%\end{table} +%\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +%Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +%lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +%die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +%Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +%$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +%$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +%Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +%Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +%ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +%der Nenner durch den Buchstaben q. +%Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +%die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +%Funktionen. +%Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +%man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. % -% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +%geometrisch interpretiert. +%Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +%mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +%Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +%Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +%Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. % -\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -finden. -Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -man -\[ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -= -\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -\] -Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -\begin{align*} -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\biggl( -1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\\ -&= -k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 --(1+k^2) -\operatorname{sn}(u,k)^2 -+1. -\end{align*} -Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -\\ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -\\ -&= -\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\\ -&= --k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -- -(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+ -(1-k^2) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\biggl( -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -\biggr)^2 -&= -\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -\\ -&= -\biggl( -1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 -\biggr) -\\ -&= --\operatorname{dn}(u,k)^4 -- -2\operatorname{dn}(u,k)^2 --k^2+1. -\end{align*} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2} -\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) - &k^2&1&1 &+&+&+ -\\ -\operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) - &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ -\\ -\operatorname{dn}(u,k) - & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) - &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -nichtlineare Differentialgleichungen der Art -\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -muss. -\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -\end{table} - -Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, -wenn wir eine beliebige der drei Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -oder -$\operatorname{dn}(u,k)$ -meinen. -Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der -Differentialgleichung -\begin{equation} -\operatorname{zn}'(u,k)^2 -= -\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, -\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -\end{equation} -wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von -$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. -Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als -Lösung zu verwenden. - +%Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +%andere auszudrücken. +%Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +%übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +%nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: % -% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +%\begin{beispiel} +%Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +%ausgedrückt werden. +%Zunächst ist +%\[ +%\operatorname{sc}(u,k) +%= +%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%\] +%nach Definition. +%Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +%$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +%Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +%mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +%\begin{equation} +%\operatorname{sc}(u,k) +%= +%\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +%\end{equation} +%Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +%$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +%Aus der Definition und der +%dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%erhält man +%\begin{align*} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%&= +%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +%= +%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +%\\ +%\Rightarrow +%\qquad +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%+ +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%\frac{ +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%}{ +%1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%} +%\end{align*} +%Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +%\[ +%1-\operatorname{cn}^2(u,k) +%= +%\frac{ +%1 +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%- +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%}{ +%1 +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%} +%= +%\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +%\] +%Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +%\begin{align*} +%\operatorname{sc}(u,k) +%&= +%\frac{ +%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +%\cdot +%\frac{ +%\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{ +%k' +%\operatorname{cd}(u,k) +%} +%= +%\frac{ +%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{ +%k' +%\operatorname{cd}(u,k) +%}. +%\qedhere +%\end{align*} +%\end{beispiel} % -\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -Zusammenhang zwischen den Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -\begin{equation} -\biggl( -\frac{d y}{d u} -\biggr)^2 -= -p(u), -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -Wurzel -\begin{align} -\frac{dy}{du} -= -\sqrt{p(y)} -\notag -\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -\end{align} -Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -ist daher -\[ -y(u) = F^{-1}(u+C). -\] -Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -der unvollständigen elliptischen Integrale. - -\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -\[ -2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) -= -4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). -\] -Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, -bleibt die nichtlineare -Differentialgleichung -\[ -\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} -= -\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. -\] -Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. - +%\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +%Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +%können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +%abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +%Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +%Sie ist +%\begin{align*} +%\frac{d}{du} +%\operatorname{sc}(u,k) +%&= +%\frac{d}{du} +%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%= +%\frac{ +%\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +%- +%\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%\\ +%&= +%\frac{ +%\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%+ +%\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%= +%\frac{( +%\operatorname{sn}^2(u,k) +%+ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%)\operatorname{dn}(u,k)}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%\\ +%&= +%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +%\cdot +%\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%= +%\operatorname{nc}(u,k) +%\operatorname{dc}(u,k). +%\end{align*} +%Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +%der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +%beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +%die Funktion, die abgeleitet wird. % -% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +%Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +%\begin{equation} +%%\small +%\begin{aligned} +%\operatorname{sn}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +%&&\qquad& +%\operatorname{ns}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +%&&& +%\operatorname{nc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +%\\ +%\operatorname{dn}'(u,k) +%&= +%-k^2 +%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +%&&& +%\operatorname{nd}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%k^2 +%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +%\\ +%\operatorname{sc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +%&&& +%\operatorname{cs}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +%\\ +%\operatorname{cd}'(u,k) +%&= +%-k^{\prime2} +%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +%&&& +%\operatorname{dc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%k^{\prime2} +%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +%\\ +%\operatorname{ds}'(d,k) +%&= +%- +%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +%&&& +%\operatorname{sd}'(d,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +%\end{equation} +%finden. +%Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +%zweiten Buchstaben haben. % -\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -\begin{equation} -\biggl( -\frac{dx}{dt} -\biggr)^2 -= -Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -\begin{equation} -x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -\end{equation} -ist. -Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -\[ -\dot{x}(t) -= -a\operatorname{zn}'(bt,k). -\] - -Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -einsetzen, erhalten wir -\begin{equation} -a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -= -a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+C -\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -\end{equation} -Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -erfüllt. -Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -\[ -\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+\frac{C}{a^2b^2} -= -\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+ -\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -\] -Daraus ergeben sich die Gleichungen -\begin{align} -\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -& -\beta &= \frac{B}{b^2} -&&\text{und} -& -\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -Differentialgleichung} -A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -& -B&=\beta b^2 -&&\text{und}& -C &= \gamma a^2b^2 -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -\end{align} -für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -Funktion. - -Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -wird, die immer positiv sind. -Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. - -In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -Es folgt, dass die Gleichungen -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -auch $a$ und $b$ bestimmen. -Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -\[ -b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -\] -Damit folgt dann aus der zweiten -\[ -a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -\] -Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. - -\begin{beispiel} -Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -werden muss. -Die Tabelle sagt dann auch, dass -$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -folgt dann der Reihe nach -\begin{align*} -b&=\pm \sqrt{B} -\\ -a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -\\ -k^2 -&= -\frac{AC}{B^2}. -\end{align*} -Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -erhalten kann, nämlich -\[ -\frac{AC}{B^2} -= -\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -= -\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -Da alle Parameter im -Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -sind nicht von der Zeit abhängig. -Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -Lösung der Differentialgleichung. -Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -also die Form -\[ -x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -\] -wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. - +%\subsubsection{TODO} +%XXX algebraische Beziehungen \\ +%XXX Additionstheoreme \\ +%XXX Perioden +%% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic % -% Das mathematische Pendel % -\subsection{Das mathematische Pendel -\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -\caption{Mathematisches Pendel -\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -\end{figure} -Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -im Punkt $P$, -der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -verbunden ist. -Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. - -Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -\( -I=ml^2 -\). -Das Drehmoment der Schwerkraft ist -\(M=gl\sin\vartheta\). -Die Bewegungsgleichung wird daher -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -&= -M -= -gl\sin\vartheta -\\ -ml^2\ddot{\vartheta} -&= -gl\sin\vartheta -&&\Rightarrow& -\ddot{\vartheta} -&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -\end{aligned} -\] -Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -der elliptischen Funktionen vergleichen können. - -Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -enthält. -Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -Dies führt auf -\[ -E_{\text{kinetisch}} -+ -E_{\text{potentiell}} -= -\frac12I\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -E -\] -Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -Differentialgleichung -\[ -\dot{\vartheta}^2 -= -- -\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -+\frac{2E}{ml^2} -\] -finden. -In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -Lösung konstruieren. - -Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -$E=2lmg$. -Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -bleibt. -Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. +%XXX Ableitungen \\ +%XXX Werte \\ +%% +%% Lösung von Differentialgleichungen +%% +%\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen +%\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} +%Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +%Differentialgleichungen in geschlossener Form. +%Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +%\( +%\dot{x}(t)^2 +%= +%P(x(t)) +%\) +%mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder +%\( +%\ddot{x}(t) +%= +%p(x(t)) +%\) +%mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. % -% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +%% +%% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +%Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +%können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +%finden. +%Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +%man +%\[ +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +%= +%\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +%\] +%Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +%ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung +%\begin{align*} +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +%&= +%\bigl( +%1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\bigl( +%1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\\ +%&= +%k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +%-(1+k^2) +%\operatorname{sn}(u,k)^2 +%+1. +%\end{align*} +%Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung +%\begin{align*} +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +%&= +%\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%\\ +%&= +%\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\\ +%&= +%-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 +%+ +%(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+ +%k^{\prime 2} +%\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +%\\ +%\biggl( +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%\biggr)^2 +%&= +%\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +%\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\\ +%&= +%\bigl( +%1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\bigl( +%\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} +%\bigr) +%\\ +%&= +%-\operatorname{dn}(u,k)^4 +%+ +%(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 +%-k^{\prime 2}. +%\end{align*} % -\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. - -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\cdot -\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac14 -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{1}{4} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} -Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. - +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +%\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +%\hline +%\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ +%\hline +%\operatorname{sn}(u,k) +% & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) +% &k^2&1+k^2&1 +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) +% &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) +% & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) +% &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} +%\\ +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +%nichtlineare Differentialgleichungen der Art +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +%Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +%entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +%muss. +%\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +%\end{table} % -% Der Fall E < 2mgl +%Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle +%einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. +%Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +%Die Differentialgleichungen sind in der +%Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. % -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -\caption{% -Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -verschiedene Werte von $k^2=m$. -Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -von den trigonometrischen Funktionen ab, -es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -erreichen kann, was es für $m$ macht. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -\end{figure} - - -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - +%% +%% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen +%Funktionen} +%Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +%Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder +%durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, +%dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung +%genügen. +%Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, +%wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. +%Für +%$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ +%$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ +%und +%$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ +%wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass +%$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung +%der Form +%\begin{equation} +%\operatorname{pq}'(u,k)^2 +%= +%\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma +%\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%\end{equation} +%erfüllt, +%wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von +%$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +%Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +%ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen +%sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} +%zusammengestellt. % -% Der Fall E > 2mgl +%Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt +%werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die +%Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen +%Funktion ermitteln. % -\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -Indem wir die Gleichung - -XXX Differentialgleichung \\ -XXX Mathematisches Pendel \\ - -\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} +%% +%% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} +%Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine +%Differentialgleichung für den Kehrwert +%$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ +%ableiten. +%Dazu rechnet man +%\[ +%\operatorname{qp}'(u,k) +%= +%\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} +%= +%\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\left\{ +%\quad +%\begin{aligned} +%\operatorname{pq}(u,k) +%&= +%\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{pq}'(u,k) +%&= +%\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +%\end{aligned} +%\right. +%\] +%und setzt in die Differentialgleichung ein: +%\begin{align*} +%\biggl( +%\frac{ +%\operatorname{qp}'(u,k) +%}{ +%\operatorname{qp}(u,k) +%} +%\biggr)^2 +%&= +%\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} +%+ +%\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +%+ +%\gamma. +%\end{align*} +%Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den +%folgenden Satz. +% +%\begin{satz} +%Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +%der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +%$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung +%\begin{equation} +%(\operatorname{qp}'(u,k))^2 +%= +%\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 +%+ +%\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 +%+ +%\alpha +%\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} +%\end{equation} +%\end{satz} +% +%\begin{table} +%\centering +%\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} +%\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} +%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +%\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} +%\cline{1-4} +%\lfn{Funktion} +% & \alpha & \beta & \gamma &\\ +%\hline +%\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ +%\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ +%\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ +%\hline +%\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ +%\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ +%\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ +%\hline +% & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ +%\cline{2-5} +%\end{tabular} +%\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen +%elliptischen Funktionen. +%Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der +%ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ +%vertauscht worden sind. +%\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} +%\end{table} +% +%% +%% Differentialgleichung zweiter Ordnung +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +%Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +%\[ +%2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) +%= +%4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). +%\] +%Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, +%bleibt die nichtlineare +%Differentialgleichung +%\[ +%\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} +%= +%\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. +%\] +%Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +%Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. +% +% +% +%% +%% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +%% +%\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +%Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +%zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +%Zusammenhang zwischen den Funktionen +%$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +%und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +%Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +%\begin{equation} +%\biggl( +%\frac{d y}{d u} +%\biggr)^2 +%= +%p(u), +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%\end{equation} +%wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +%Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +%Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +%Wurzel +%\begin{align} +%\frac{dy}{du} +%= +%\sqrt{p(y)} +%\notag +%\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +%\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +%\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +%\end{align} +%Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +%von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +%das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +%Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +%Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%ist daher +%\[ +%y(u) = F^{-1}(u+C). +%\] +%Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +%der unvollständigen elliptischen Integrale. +% +% +%% +%% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +%Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +%\begin{equation} +%\biggl( +%\frac{dx}{dt} +%\biggr)^2 +%= +%Ax^4+Bx^2 + C +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%\end{equation} +%mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +%Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +%\begin{equation} +%x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +%\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +%\end{equation} +%ist. +%Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +%\[ +%\dot{x}(t) +%= +%a\operatorname{zn}'(bt,k). +%\] +% +%Indem wir diesen Lösungsansatz in die +%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%einsetzen, erhalten wir +%\begin{equation} +%a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 +%= +%a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+C +%\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +%\end{equation} +%Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +%Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%erfüllt. +%Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +%die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +%Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +%\[ +%\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+\frac{C}{a^2b^2} +%= +%\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+ +%\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +%\] +%Daraus ergeben sich die Gleichungen +%\begin{align} +%\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +%& +%\beta &= \frac{B}{b^2} +%&&\text{und} +%& +%\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +%Differentialgleichung} +%A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +%& +%B&=\beta b^2 +%&&\text{und}& +%C &= \gamma a^2b^2 +%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +%\end{align} +%für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +%Funktion. +% +%Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +%Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +%$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +%wird, die immer positiv sind. +%Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. +% +%In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +%es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +%Es folgt, dass die Gleichungen +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%auch $a$ und $b$ bestimmen. +%Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +%\[ +%b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +%\] +%Damit folgt dann aus der zweiten +%\[ +%a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +%\] +%Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +%Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +%Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. +% +%\begin{beispiel} +%Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +%Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +%dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +%werden muss. +%Die Tabelle sagt dann auch, dass +%$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +%Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%folgt dann der Reihe nach +%\begin{align*} +%b&=\pm \sqrt{B} +%\\ +%a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +%\\ +%k^2 +%&= +%\frac{AC}{B^2}. +%\end{align*} +%Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +%auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +%erhalten kann, nämlich +%\[ +%\frac{AC}{B^2} +%= +%\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} +%= +%\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +%\qedhere +%\] +%\end{beispiel} +% +%Da alle Parameter im +%Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +%festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +%Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +%Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +%autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +%sind nicht von der Zeit abhängig. +%Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +%Lösung der Differentialgleichung. +%Die allgmeine Lösung der +%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +%also die Form +%\[ +%x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +%\] +%wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +%von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -XXX Möbius-Transformation \\ -XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen +%% +%% Das mathematische Pendel +%% +%\subsection{Das mathematische Pendel +%\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +%\caption{Mathematisches Pendel +%\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +%\end{figure} +%Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +%Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +%im Punkt $P$, +%der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +%verbunden ist. +%Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. +% +%Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +%\( +%I=ml^2 +%\). +%Das Drehmoment der Schwerkraft ist +%\(M=gl\sin\vartheta\). +%Die Bewegungsgleichung wird daher +%\[ +%\begin{aligned} +%\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +%&= +%M +%= +%gl\sin\vartheta +%\\ +%ml^2\ddot{\vartheta} +%&= +%gl\sin\vartheta +%&&\Rightarrow& +%\ddot{\vartheta} +%&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +%\end{aligned} +%\] +%Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +%wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +%der elliptischen Funktionen vergleichen können. +% +%Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +%enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +%In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +%enthält. +%Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +%Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +%Dies führt auf +%\[ +%E_{\text{kinetisch}} +%+ +%E_{\text{potentiell}} +%= +%\frac12I\dot{\vartheta}^2 +%+ +%mgl(1-\cos\vartheta) +%= +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 +%+ +%mgl(1-\cos\vartheta) +%= +%E +%\] +%Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +%Differentialgleichung +%\[ +%\dot{\vartheta}^2 +%= +%- +%\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) +%+\frac{2E}{ml^2} +%\] +%finden. +%In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +%Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +%tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +%elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +%Lösung konstruieren. +% +%Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +%über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +%$E=2lmg$. +%Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +%der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +%bleibt. +%Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +%Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +%höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. +% +%% +%% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +%% +%\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +%Wir verwenden als neue Variable +%\[ +%y = \sin\frac{\vartheta}2 +%\] +%mit der Ableitung +%\[ +%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. +% +%Aus den Halbwinkelformeln finden wir +%\[ +%\cos\vartheta +%= +%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 +%= +%1-2y^2. +%\] +%Dies können wir zusammen mit der +%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +%\[ +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +%\] +%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. +% +%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +%Wir erhalten +%\begin{align*} +%\frac14 +%\cos^2\frac{\vartheta}2 +%\cdot +%\dot{\vartheta}^2 +%&= +%\frac14 +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +%\\ +%\dot{y}^2 +%&= +%\frac{1}{4} +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +%\end{align*} +%Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +%für elliptische Funktionen. +%Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +%Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +%Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +%zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +%$1$ sein muss. +% +%% +%% Der Fall E < 2mgl +%% +%\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +%\caption{% +%Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +%verschiedene Werte von $k^2=m$. +%Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +%$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +%sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +%Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +%von den trigonometrischen Funktionen ab, +%es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +%Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +%Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +%die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +%erreichen kann, was es für $m$ macht. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +%\end{figure} +% +% +%Wir verwenden als neue Variable +%\[ +%y = \sin\frac{\vartheta}2 +%\] +%mit der Ableitung +%\[ +%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. +% +%Aus den Halbwinkelformeln finden wir +%\[ +%\cos\vartheta +%= +%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 +%= +%1-2y^2. +%\] +%Dies können wir zusammen mit der +%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +%\[ +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +%\] +%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +%Wir erhalten +%\begin{align*} +%\frac12ml^2 +%\cos^2\frac{\vartheta}2 +%\dot{\vartheta}^2 +%&= +%(1-y^2) +%(E -mgly^2) +%\\ +%\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +%&= +%\frac{1}{2} +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +%\\ +%\dot{y}^2 +%&= +%\frac{E}{2ml^2} +%(1-y^2)\biggl( +%1-\frac{2gml}{E}y^2 +%\biggr). +%\end{align*} +%Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +%Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +%mit $k^2 = 2gml/E< 1$. +% +%%% +%%% Der Fall E > 2mgl +%%% +%%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +%%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +%%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +%%Indem wir die Gleichung +% +% +%%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} +% +%%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} +%%XXX Möbius-Transformation \\ +%%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index 7083b63..e766779 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -22,23 +22,46 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden. \end{figure} Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung \begin{equation} -(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2). +(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2). \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. -Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$. +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. +Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht +\begin{equation} +\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 ++ +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr)^2 += +2\frac{a^2}{2a^2}\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +- +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr). +\qquad +\Leftrightarrow +\qquad +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} +\end{equation} +wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. +In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen +Sinus und Kosinus verwendet werden soll. In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ -gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} r^4 = -2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) +r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) = -2a^2r^2\cos2\varphi +r^2\cos2\varphi \qquad\Rightarrow\qquad -r^2 = 2a^2\cos 2\varphi +r^2 = \cos 2\varphi \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar} \end{equation} als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung. @@ -46,15 +69,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke Blatt der Lemniskate. -Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung -verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$. -Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate -wird dann zu -\[ -(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2). -\] - -\subsubsection{Bogelänge} +\subsection{Bogenlänge} Die Funktionen \begin{equation} x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, @@ -76,7 +91,7 @@ r^4 \end{align*} sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. -Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen. Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und @@ -123,11 +138,16 @@ s(r) \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} \end{equation} -\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral} +% +% Als elliptisches Integral +% +\subsection{Darstellung als elliptisches Integral} Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter -$m=-1$ ist +$k^2=-1$ oder $k=i$ ist \[ -K(r,-1) +K(r,i) += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = @@ -136,11 +156,209 @@ K(r,-1) s(r). \] Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des -ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des -Parameters $m$ +elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des +Parameters $k$. + +Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet +und hat den numerischen Wert +\[ +\varpi += +2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt += +2.6220575542. +\] +$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt. +\index{lemniskatische Konstante}% +Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge +$\varpi/2$. + +% +% Bogenlängenparametrisierung +% +\subsection{Bogenlängenparametrisierung} +Die Lemniskate mit der Gleichung +\[ +(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2) +\] +(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}) +kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen +parametrisiert werden. +Dazu schreibt man +\[ +\left. +\begin{aligned} +X(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k) +\\ +Y(t) +&= +\phantom{\sqrt{2}} +\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k) +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$} +\] +und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der +Lemniskate. +Zunächst ist +\begin{align*} +X(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k)^2 +\\ +Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{sn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2+Y(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +\underbrace{ +\operatorname{dn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12} +\operatorname{sn}(t,k)^2 +}_{\displaystyle =1} +\bigr) +%\\ +%& += +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2-Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +- +\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +\bigr) +\\ +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^4 +\\ +\Rightarrow\qquad +(X(t)^2+Y(t)^2)^2 +&= +4\operatorname{cn}(t,k)^4 += +2(X(t)^2-Y(t)^2). +\end{align*} +Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung +der Lemniskate ist. +Dazu berechnen wir die Ableitungen +\begin{align*} +\dot{X}(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) ++ +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 +-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( +1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2 +\bigr) +\\ +&= +\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +\dot{X}(t)^2 +&= +2\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr)^2 +\\ +&= +{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +- +6\operatorname{sn}(t,k)^4 ++2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{Y}(t) +&= +\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k) ++ +\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k) +\\ +&= +-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) ++\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) +\\ +&= +\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\\ +\dot{Y}(t)^2 +&= +\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2 +\\ +&= +1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++6\operatorname{sn}(t,k)^4 +-2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2 +&= +1. +\end{align*} +Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ +\[ +\int_0^s +\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} +\,dt += +\int_0^s\,dt += +s, +\] +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. + +Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der +Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2 +\] +hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit +\begin{equation} +\begin{aligned} +x(t) +&= +\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}} +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k) +\\ +y(t) +&= +\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +\end{equation} + +\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} +Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des +Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete +die Bogenlänge zuordnet. -\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} -Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung @@ -150,22 +368,29 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet -und hat den numerischen Wert + +Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. +Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, +es ist \[ -\varphi +r(s)^2 = -2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt +x(s)^2 + y(s)^2 = -2.6220575542. +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +r(s) += +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k) \] -Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge -$\varpi/2$. - -Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$, -für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$ -die Länge $s$ hat. - -XXX Algebraische Beziehungen \\ -XXX Ableitungen \\ +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen +haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} -- cgit v1.2.1 From 4666311b63fb00a3f90d1c9858218e24b14360bc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 20 Apr 2022 10:31:44 +0200 Subject: add missing files --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 494 +++++++++++++ buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex | 1012 +++++++++++++++++++++++++++ buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex | 250 +++++++ 3 files changed, 1756 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex new file mode 100644 index 0000000..7eaab38 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -0,0 +1,494 @@ +% +% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% Lösung von Differentialgleichungen +% +\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen +\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} +Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +Differentialgleichungen in geschlossener Form. +Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +\( +\dot{x}(t)^2 += +P(x(t)) +\) +mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder +\( +\ddot{x}(t) += +p(x(t)) +\) +mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. + +% +% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +finden. +Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +man +\[ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 += +\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +\] +Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\bigl( +1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +-(1+k^2) +\operatorname{sn}(u,k)^2 ++1. +\end{align*} +Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung +\begin{align*} +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +\\ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +\\ +&= +\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 ++ +(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 ++ +k^{\prime 2} +\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\biggl( +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +\biggr)^2 +&= +\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +\bigl( +1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} +\bigr) +\\ +&= +-\operatorname{dn}(u,k)^4 ++ +(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 +-k^{\prime 2}. +\end{align*} + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) + & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) + &k^2&1+k^2&1 +\\ +\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) + &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) + & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) + &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +nichtlineare Differentialgleichungen der Art +\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +muss. +\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +\end{table} + +Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle +einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. +Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +Die Differentialgleichungen sind in der +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. + +% +% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen +Funktionen} +Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder +durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, +dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung +genügen. +Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, +wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. +Für +$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ +$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ +und +$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ +wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass +$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung +der Form +\begin{equation} +\operatorname{pq}'(u,k)^2 += +\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma +\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +\end{equation} +erfüllt, +wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von +$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen +sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} +zusammengestellt. + +Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt +werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die +Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen +Funktion ermitteln. + +% +% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion +% +\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} +Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine +Differentialgleichung für den Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ +ableiten. +Dazu rechnet man +\[ +\operatorname{qp}'(u,k) += +\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} += +\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\quad +\begin{aligned} +\operatorname{pq}(u,k) +&= +\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} +\\ +\operatorname{pq}'(u,k) +&= +\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +\end{aligned} +\right. +\] +und setzt in die Differentialgleichung ein: +\begin{align*} +\biggl( +\frac{ +\operatorname{qp}'(u,k) +}{ +\operatorname{qp}(u,k) +} +\biggr)^2 +&= +\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} ++ +\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} ++ +\gamma. +\end{align*} +Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den +folgenden Satz. + +\begin{satz} +Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung +\begin{equation} +(\operatorname{qp}'(u,k))^2 += +\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 ++ +\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 ++ +\alpha +\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{table} +\centering +\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} +\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} +\cline{1-4} +\lfn{Funktion} + & \alpha & \beta & \gamma &\\ +\hline +\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ +\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ +\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ +\hline +\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ +\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ +\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ +\hline + & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ +\cline{2-5} +\end{tabular} +\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen +elliptischen Funktionen. +Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der +ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ +vertauscht worden sind. +\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} +\end{table} + +% +% Differentialgleichung zweiter Ordnung +% +\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +\[ +2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) += +4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). +\] +Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, +bleibt die nichtlineare +Differentialgleichung +\[ +\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} += +\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. +\] +Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. + + + +% +% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +% +\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +Zusammenhang zwischen den Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +\begin{equation} +\biggl( +\frac{d y}{d u} +\biggr)^2 += +p(u), +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +Wurzel +\begin{align} +\frac{dy}{du} += +\sqrt{p(y)} +\notag +\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +\end{align} +Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +ist daher +\[ +y(u) = F^{-1}(u+C). +\] +Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +der unvollständigen elliptischen Integrale. + + +% +% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +% +\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\begin{equation} +\biggl( +\frac{dx}{dt} +\biggr)^2 += +Ax^4+Bx^2 + C +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +\begin{equation} +x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +\end{equation} +ist. +Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +\[ +\dot{x}(t) += +a\operatorname{zn}'(bt,k). +\] + +Indem wir diesen Lösungsansatz in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +einsetzen, erhalten wir +\begin{equation} +a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 += +a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++C +\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +\end{equation} +Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +erfüllt. +Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +\[ +\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++\frac{C}{a^2b^2} += +\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++ +\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +\] +Daraus ergeben sich die Gleichungen +\begin{align} +\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +& +\beta &= \frac{B}{b^2} +&&\text{und} +& +\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +Differentialgleichung} +A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +& +B&=\beta b^2 +&&\text{und}& +C &= \gamma a^2b^2 +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +\end{align} +für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +Funktion. + +Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +wird, die immer positiv sind. +Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. + +In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +Es folgt, dass die Gleichungen +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +auch $a$ und $b$ bestimmen. +Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +\[ +b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +\] +Damit folgt dann aus der zweiten +\[ +a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +\] +Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. + +\begin{beispiel} +Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +werden muss. +Die Tabelle sagt dann auch, dass +$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +folgt dann der Reihe nach +\begin{align*} +b&=\pm \sqrt{B} +\\ +a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +\\ +k^2 +&= +\frac{AC}{B^2}. +\end{align*} +Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +erhalten kann, nämlich +\[ +\frac{AC}{B^2} += +\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} += +\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Da alle Parameter im +Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +sind nicht von der Zeit abhängig. +Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +Lösung der Differentialgleichung. +Die allgmeine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +also die Form +\[ +x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +\] +wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex new file mode 100644 index 0000000..d600243 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -0,0 +1,1012 @@ +% +% elltrigo.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% elliptische Funktionen als Trigonometrie +% +\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +auf einer Ellipse. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +\end{figure} +% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +% https://youtu.be/DCXItCajCyo + +% +% Geometrie einer Ellipse +% +\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +\index{Ellipse}% +der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +\index{Brennpunkt}% +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +also $a$ sein. +Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +\[ +b^2+e^2=a^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +e^2 = a^2-b^2 +\] +sein muss. +Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +der Ellipse. + +% +% Die Ellipsengleichung +% +\subsubsection{Ellipsengleichung} +Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\overline{PF_1}^2 +&= +y^2 + (x+e)^2 +\\ +\overline{PF_2}^2 +&= +y^2 + (x-e)^2 +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +\end{equation} +von den Brennpunkten, für die +\begin{equation} +\overline{PF_1}+\overline{PF_2} += +2a +\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +\end{equation} +gelten muss. +Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +\[ +\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +\] +erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +erfüllt. +Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +\[ +l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +\] +Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +auf die rechte Seite und quadriert. +Man muss also verifizieren, dass +\[ +(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +\] +In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +\[ +y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +\] +substituieren. +Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. + +% +% Normierung +% +\subsubsection{Normierung} +Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. + +Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +mindestens eine mit Halbeachse $1$. +Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. +Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. + +Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +$\varepsilon$ auch mit +\[ +k += +\varepsilon += +\frac{e}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +\] +die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen +findet man +\[ +k^2a^2 = a^2-1 +\quad\Rightarrow\quad +1=a^2(k^2-1) +\quad\Rightarrow\quad +a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +\] + +Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +\[ +\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +\qquad\text{oder}\qquad +x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +\] + +% +% Definition der elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +\end{figure} +\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ +können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +Radiusvektor zum Punkt $P$ +darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +ausnützen möchten. +Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +noch unbestimmte Argument $u$. +Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. + +Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +vom Modulus ab. +Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +wir das $k$-Argument weg. + +Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +des Kreises. +Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. + +In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +die Funktionen +\[ +\begin{aligned} +&\text{sinus amplitudinis:}& +{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ +&\text{cosinus amplitudinis:}& +{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ +&\text{delta amplitudinis:}& +{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, +\end{aligned} +\] +die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +dargestellt sind. +Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +\[ +\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +\] +ist. +Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +berechnen, also gilt +\begin{equation} +r^2 += +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +x^2 + y^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +\end{equation} +Ersetzt man +$ +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +$, ergibt sich +\[ +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 ++ +\operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +\operatorname{dn}(u,k)^2 ++ +\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 += +1, +\] +woraus sich die Identität +\[ +\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +\] +ergibt. +Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +\[ +a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1-\operatorname{cn}(u,k)^2 += +(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1. +\] +Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +\begin{align*} +\operatorname{dn}(u,k)^2 +- +k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +&= +\frac{1}{a^2} += +\frac{a^2-a^2+1}{a^2} += +1-k^2 =: k^{\prime 2}. +\end{align*} +Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2}. +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\end{equation} +zusammen. +So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +ist es mit +\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +jede anderen auszudrücken. +Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +zusammengestellt. + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +&\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{cn}(u,k) +&\operatorname{dn}(u,k)\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{sn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\operatorname{cn}(u,k) +&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) +&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +durch jede andere ausdrücken. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +\end{table} + +% +% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +% +\subsubsection{Ableitung} +Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +Beziehungen +\[ +\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +\qquad\text{und}\qquad +\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +\] +erfüllen. +So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. + +Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +Ableitungsformeln ergeben. +Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +\begin{align*} +\frac{dy}{d\varphi} +&= +\cos\varphi += +\frac{1}{a} x += +\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\frac{dx}{d\varphi} +&= +-a\sin\varphi += +-a y += +-a\operatorname{sn}(u,k). +\end{align*} +Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +\begin{align*} +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) += +\cos\varphi += +\frac{x}{a} += +\operatorname{cn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} +\operatorname{sn}(u,k) +&= +\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} += +-\sin\varphi += +-\operatorname{sn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +&= +\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} += +\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} ++ +\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +%\\ +%& += +\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) ++ +\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +$} +\\ +& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar}(-ay) ++ +\frac{y}{ar} \frac{x}{a} +%\rlap{$\displaystyle += +\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +%$} +%\\ +%& += +-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +$} +\\ +&= +-\frac{a^2-1}{ar} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +-k^2 +\frac{a}{r} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +$} +\\ +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\frac{d\varphi}{du}. +\end{align*} +Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +wählt, dass +\[ +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{r}{a}. +\] +Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} +Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +&= +\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} +\end{equation} +\end{satz} + +% +% Der Grenzfall $k=1$ +% +\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +\end{figure} +Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\[ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2 +\operatorname{dn}^2(u,k) += +k^{\prime2} += +0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\operatorname{cn}^2(u,1) += +\operatorname{dn}^2(u,1), +\] +die beiden Funktionen +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +fallen also zusammen. +Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +\begin{align*} +\operatorname{sn}'(u,1) +&= +\operatorname{cn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +\operatorname{cn}^2(u,1) += +1-\operatorname{sn}^2(u,1) +&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +\\ +\operatorname{cn}'(u,1) +&= +- +\operatorname{sn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +- +\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +&&\Rightarrow& +\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +\end{align*} +Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +die Lösung +\[ +\frac{y'}{1-y^2} += +1 +\quad\Rightarrow\quad +\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{artanh}(y) = u +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +\] +Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +\begin{align*} +(\log \operatorname{cn}(u,1))' +&= +\tanh u +&&\Rightarrow& +\log\operatorname{cn}(u,1) +&= +-\int\tanh u\,du += +-\log\cosh u +\\ +& +&&\Rightarrow& +\operatorname{cn}(u,1) +&= +\frac{1}{\cosh u} += +\operatorname{sech}u. +\end{align*} +Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +dargestellt. + +% +% Das Argument u +% +\subsubsection{Das Argument $u$} +Die Gleichung +\begin{equation} +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +\end{equation} +ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +die geometrische Bedeutung zu klären. +Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +\begin{equation} +\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +\end{equation} + +Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +\[ +\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} += +\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +werden, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{d\varphi} += +\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} += +\frac{1}{a}\cdot +\frac{a^2}{r^2} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +\] +Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{du} += +\frac{d\vartheta}{d\varphi} +\cdot +\frac{d\varphi}{du} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +\cdot +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} += +\frac{1}{a} +\cdot\frac{a}{r} += +\frac{1}{r}, +\] +wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +verwendet haben. + +In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +von $u$ nach $t$ berechnen als +\[ +\frac{du}{dt} += +\frac{du}{d\vartheta} +\frac{d\vartheta}{dt} += +r +\dot{\vartheta}. +\] +Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +von $O$. +$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +\[ +u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +\] +Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +$u(P)=\vartheta(P)$ ist. + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +udn +$\operatorname{dn}(u,k)$ +geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +\end{figure} +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +\cdot & +\frac{1}{1} & +\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +1& +&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{sn}(u,k) & +\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) & +\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) & +\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +\end{tabular} +\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +\end{table} + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +der Nenner durch den Buchstaben q. +Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +Funktionen. +Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. + +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +geometrisch interpretiert. +Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. + +Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +andere auszudrücken. +Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: + +\begin{beispiel} +Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +ausgedrückt werden. +Zunächst ist +\[ +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +\] +nach Definition. +Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +\begin{equation} +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +\end{equation} +Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +Aus der Definition und der +dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +erhält man +\begin{align*} +\operatorname{cd}^2(u,k) +&= +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} += +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +\\ +\Rightarrow +\qquad +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) ++ +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\operatorname{cn}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\frac{ +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} +\end{align*} +Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +\[ +1-\operatorname{cn}^2(u,k) += +\frac{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +- +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} += +\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +\] +Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +\begin{align*} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +\cdot +\frac{ +\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +} += +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +}. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +Sie ist +\begin{align*} +\frac{d}{du} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{d}{du} +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\frac{ +\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +- +\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{ +\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) ++ +\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} += +\frac{( +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +)\operatorname{dn}(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +\cdot +\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\operatorname{nc}(u,k) +\operatorname{dc}(u,k). +\end{align*} +Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +die Funktion, die abgeleitet wird. + +Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +\begin{equation} +%\small +\begin{aligned} +\operatorname{sn}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&\qquad& +\operatorname{ns}'(u,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +\\ +\operatorname{cn}'(u,k) +&= +- +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&& +\operatorname{nc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +\\ +\operatorname{dn}'(u,k) +&= +-k^2 +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +&&& +\operatorname{nd}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^2 +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +\\ +\operatorname{sc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +&&& +\operatorname{cs}'(u,k) +&= +- +\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +\\ +\operatorname{cd}'(u,k) +&= +-k^{\prime2} +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +&&& +\operatorname{dc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^{\prime2} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +\\ +\operatorname{ds}'(d,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +&&& +\operatorname{sd}'(d,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +\end{equation} +finden. +Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +zweiten Buchstaben haben. + +\subsubsection{TODO} +XXX algebraische Beziehungen \\ +XXX Additionstheoreme \\ +XXX Perioden +% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex new file mode 100644 index 0000000..d61bcf6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex @@ -0,0 +1,250 @@ +% +% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\subsection{Das mathematische Pendel +\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +\caption{Mathematisches Pendel +\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +\end{figure} +Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +im Punkt $P$, +der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +verbunden ist. +Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. + +Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +\( +I=ml^2 +\). +Das Drehmoment der Schwerkraft ist +\(M=gl\sin\vartheta\). +Die Bewegungsgleichung wird daher +\[ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +&= +M += +gl\sin\vartheta +\\ +ml^2\ddot{\vartheta} +&= +gl\sin\vartheta +&&\Rightarrow& +\ddot{\vartheta} +&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +\end{aligned} +\] +Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +der elliptischen Funktionen vergleichen können. + +Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +enthält. +Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +Dies führt auf +\[ +E_{\text{kinetisch}} ++ +E_{\text{potentiell}} += +\frac12I\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +E +\] +Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +Differentialgleichung +\[ +\dot{\vartheta}^2 += +- +\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) ++\frac{2E}{ml^2} +\] +finden. +In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +Lösung konstruieren. + +Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +$E=2lmg$. +Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +bleibt. +Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + +% +% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +% +\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +\] +Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. + +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac14 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\cdot +\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac14 +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{1}{4} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\end{align*} +Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +für elliptische Funktionen. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +$1$ sein muss. + +% +% Der Fall E < 2mgl +% +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +\caption{% +Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +verschiedene Werte von $k^2=m$. +Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +von den trigonometrischen Funktionen ab, +es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +erreichen kann, was es für $m$ macht. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +\end{figure} + + +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +\] +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac12ml^2 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\dot{\vartheta}^2 +&= +(1-y^2) +(E -mgly^2) +\\ +\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac{1}{2} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{E}{2ml^2} +(1-y^2)\biggl( +1-\frac{2gml}{E}y^2 +\biggr). +\end{align*} +Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit $k^2 = 2gml/E< 1$. + +%% +%% Der Fall E > 2mgl +%% +%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +%Indem wir die Gleichung + + +%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} + +%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} +%XXX Möbius-Transformation \\ +%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen -- cgit v1.2.1 From e1b65ea3e46bf60fec0d6503b701a84f68138a24 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 21 Apr 2022 22:36:54 +0200 Subject: add lecture notes for session 5 --- buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf | Bin 28269 -> 28233 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex | 20 +- buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 1738 -------------------- buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 2 +- .../MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf | Bin 0 -> 5607117 bytes 5 files changed, 11 insertions(+), 1749 deletions(-) create mode 100644 vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf index 493b5fa..c15051b 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex index 08241ac..0af1027 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex @@ -47,35 +47,35 @@ -- ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); -\draw[color=red!20,line width=1.4pt] +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)}); -\draw[color=blue!20,line width=1.4pt] +\draw[color=blue!40,line width=1.4pt] plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)}); \draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath; \draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath; \draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}]; -\draw[->] (-0.1,0) -- (13.7,0) coordinate[label={$s$}]; +\draw[->] (-0.1,0) -- (13.6,0) coordinate[label={$s$}]; \foreach \i in {1,2,3,4,5}{ \draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1); } -\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$ \varpi\mathstrut$}; -\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$2\varpi\mathstrut$}; -\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$3\varpi\mathstrut$}; -\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$4\varpi\mathstrut$}; -\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$5\varpi\mathstrut$}; +\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{\varpi}2\mathstrut$}; +\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\varpi\mathstrut$}; +\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$\frac{3\varpi}2\mathstrut$}; +\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$2\varpi\mathstrut$}; +\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{5\varpi}2\mathstrut$}; \node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy}) [below left] {$\operatorname{sl}(s)$}; \node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90}) - [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$}; \node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy}) [above right] {$\operatorname{cl}(s)$}; \node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90}) - [below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + [below left] 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-%% -%\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -%Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -%\index{Ellipse}% -%der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -%den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -%\index{Brennpunkt}% -%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -%mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -%die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -%Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -%Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -%Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -%haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -%Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -%also $a$ sein. -%Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -%\[ -%b^2+e^2=a^2 -%\qquad\Rightarrow\qquad -%e^2 = a^2-b^2 -%\] -%sein muss. -%Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -%Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -%der Ellipse. -% -%% -%% Die Ellipsengleichung -%% -%\subsubsection{Ellipsengleichung} -%Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\overline{PF_1}^2 -%&= -%y^2 + (x+e)^2 -%\\ -%\overline{PF_2}^2 -%&= -%y^2 + (x-e)^2 -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -%\end{equation} -%von den Brennpunkten, für die -%\begin{equation} -%\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -%= -%2a -%\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -%\end{equation} -%gelten muss. -%Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -%\[ -%\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -%\] -%erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -%erfüllt. -%Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -%$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -%Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -%\[ -%l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -%\] -%Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -%auf die rechte Seite und quadriert. -%Man muss also verifizieren, dass -%\[ -%(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -%\] -%In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -%\[ -%y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -%\] -%substituieren. -%Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -%Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. -% -%% -%% Normierung -%% -%\subsubsection{Normierung} -%Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -%von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -%Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -%kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -%Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. -% -%Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -%weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -%mindestens eine mit Halbeachse $1$. -%Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -%Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -%Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -%In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -%zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. -% -%Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -%$\varepsilon$ auch mit -%\[ -%k -%= -%\varepsilon -%= -%\frac{e}{a} -%= -%\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -%= -%\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -%\] -%die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -%Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -%findet man -%\[ -%k^2a^2 = a^2-1 -%\quad\Rightarrow\quad -%1=a^2(k^2-1) -%\quad\Rightarrow\quad -%a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -%\] -% -%Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -%\[ -%\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -%\qquad\text{oder}\qquad -%x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -%\] -% -%% -%% Definition der elliptischen Funktionen -%% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -%\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -%an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -%\end{figure} -%\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -%Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -%können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -%Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -%Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -%Radiusvektor zum Punkt $P$ -%darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -%ausnützen möchten. -%Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -%noch unbestimmte Argument $u$. -%Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. -% -%Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -%vom Modulus ab. -%Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -%wir das $k$-Argument weg. -% -%Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -%Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -%des Kreises. -%Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -%die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. -% -%In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -%die Funktionen -%\[ -%\begin{aligned} -%&\text{sinus amplitudinis:}& -%{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -%&\text{cosinus amplitudinis:}& -%{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -%&\text{delta amplitudinis:}& -%{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -%\end{aligned} -%\] -%die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -%dargestellt sind. -%Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -%\[ -%\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -%\] -%ist. -%Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -%berechnen, also gilt -%\begin{equation} -%r^2 -%= -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%x^2 + y^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -%\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -%\end{equation} -%Ersetzt man -%$ -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%= -%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -%$, ergibt sich -%\[ -%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -%+ -%\operatorname{sn}(u,k)^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%\operatorname{dn}(u,k)^2 -%+ -%\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -%= -%1, -%\] -%woraus sich die Identität -%\[ -%\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -%\] -%ergibt. -%Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -%die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -%\[ -%a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -%= -%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -%= -%(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+1. -%\] -%Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -%\begin{align*} -%\operatorname{dn}(u,k)^2 -%- -%k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -%&= -%\frac{1}{a^2} -%= -%\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -%= -%1-k^2 =: k^{\prime 2}. -%\end{align*} -%Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\operatorname{sn}^2(u,k) -%+ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%1 -%\\ -%\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -%&= -%1 -%\\ -%\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%k^{\prime 2}. -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%\end{equation} -%zusammen. -%So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -%ist es mit -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -%jede anderen auszudrücken. -%Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -%zusammengestellt. -% -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -%\hline -%&\operatorname{sn}(u,k) -%&\operatorname{cn}(u,k) -%&\operatorname{dn}(u,k)\\ -%\hline -%\operatorname{sn}(u,k) -%&\operatorname{sn}(u,k) -%&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -%&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) -%&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -%&\operatorname{cn}(u,k) -%&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) -%&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -%&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -%&\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -%unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%durch jede andere ausdrücken. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -%\end{table} -% -%% -%% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Ableitung} -%Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -%für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -%Beziehungen -%\[ -%\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -%\qquad\text{und}\qquad -%\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -%\] -%erfüllen. -%So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -%durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -%Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -%sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. -% -%Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -%Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -%Ableitungsformeln ergeben. -%Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -%ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -%$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -%Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -%\begin{align*} -%\frac{dy}{d\varphi} -%&= -%\cos\varphi -%= -%\frac{1}{a} x -%= -%\operatorname{cn}(u,k) -%\\ -%\frac{dx}{d\varphi} -%&= -%-a\sin\varphi -%= -%-a y -%= -%-a\operatorname{sn}(u,k). -%\end{align*} -%Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -%elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -%\begin{align*} -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -%&= -%\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -%= -%\cos\varphi -%= -%\frac{x}{a} -%= -%\operatorname{cn}(u,k) -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du} -%\operatorname{sn}(u,k) -%&= -%\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -%\\ -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -%&= -%\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -%= -%-\sin\varphi -%= -%-\operatorname{sn}(u,k) -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -%\\ -%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -%&= -%\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -%= -%\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -%%\\ -%%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -%+ -%\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -%%\\ -%%& -%= -%\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -%+ -%\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -%$} -%\\ -%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%\frac{x}{ar}(-ay) -%+ -%\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -%%\rlap{$\displaystyle -%= -%\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -%%$} -%%\\ -%%& -%= -%-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -%$} -%\\ -%&= -%-\frac{a^2-1}{ar} -%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -%%\\ -%%& -%\rlap{$\displaystyle\mathstrut -%= -%-k^2 -%\frac{a}{r} -%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -%$} -%\\ -%&= -%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%&&\Rightarrow& -%\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -%\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\frac{d\varphi}{du}. -%\end{align*} -%Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -%wählt, dass -%\[ -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\operatorname{dn}(u,k) -%= -%\frac{r}{a}. -%\] -%Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -% -%\begin{satz} -%\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} -%Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen -%\begin{equation} -%\begin{aligned} -%\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -%&= -%\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} -%\end{equation} -%\end{satz} -% -%% -%% Der Grenzfall $k=1$ -%% -%\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -%\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -%für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -%\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -%\end{figure} -%Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -%Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%\[ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%- -%k^2 -%\operatorname{dn}^2(u,k) -%= -%k^{\prime2} -%= -%0 -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\operatorname{cn}^2(u,1) -%= -%\operatorname{dn}^2(u,1), -%\] -%die beiden Funktionen -%$\operatorname{cn}(u,k)$ -%und -%$\operatorname{dn}(u,k)$ -%fallen also zusammen. -%Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -%\begin{align*} -%\operatorname{sn}'(u,1) -%&= -%\operatorname{cn}(u,1) -%\operatorname{dn}(u,1) -%= -%\operatorname{cn}^2(u,1) -%= -%1-\operatorname{sn}^2(u,1) -%&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -%\\ -%\operatorname{cn}'(u,1) -%&= -%- -%\operatorname{sn}(u,1) -%\operatorname{dn}(u,1) -%= -%- -%\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -%&&\Rightarrow& -%\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -%\end{align*} -%Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -%die Lösung -%\[ -%\frac{y'}{1-y^2} -%= -%1 -%\quad\Rightarrow\quad -%\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -%\quad\Rightarrow\quad -%\operatorname{artanh}(y) = u -%\quad\Rightarrow\quad -%\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -%\] -%Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -%\begin{align*} -%(\log \operatorname{cn}(u,1))' -%&= -%\tanh u -%&&\Rightarrow& -%\log\operatorname{cn}(u,1) -%&= -%-\int\tanh u\,du -%= -%-\log\cosh u -%\\ -%& -%&&\Rightarrow& -%\operatorname{cn}(u,1) -%&= -%\frac{1}{\cosh u} -%= -%\operatorname{sech}u. -%\end{align*} -%Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -%dargestellt. -% -%% -%% Das Argument u -%% -%\subsubsection{Das Argument $u$} -%Die Gleichung -%\begin{equation} -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\operatorname{dn}(u,k) -%\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -%\end{equation} -%ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -%die geometrische Bedeutung zu klären. -%Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -%Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -%ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -%Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -%\begin{equation} -%\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -%\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -%\end{equation} -% -%Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -%dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -%$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -%Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -%\[ -%\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -%= -%\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -%werden, sie ist -%\[ -%\frac{d\vartheta}{d\varphi} -%= -%\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -%= -%\frac{1}{a}\cdot -%\frac{a^2}{r^2} -%= -%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -%\] -%Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -%Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -%\[ -%\frac{d\vartheta}{du} -%= -%\frac{d\vartheta}{d\varphi} -%\cdot -%\frac{d\varphi}{du} -%= -%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -%\cdot -%\operatorname{dn}(u,k) -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot -%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%= -%\frac{1}{a} -%\cdot\frac{a}{r} -%= -%\frac{1}{r}, -%\] -%wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -%verwendet haben. -% -%In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -%von $u$ nach $t$ berechnen als -%\[ -%\frac{du}{dt} -%= -%\frac{du}{d\vartheta} -%\frac{d\vartheta}{dt} -%= -%r -%\dot{\vartheta}. -%\] -%Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -%das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -%von $O$. -%$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -%$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -%Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -%\[ -%u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -%\] -%Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -%auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -%$u(P)=\vartheta(P)$ ist. -% -%% -%% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen -%% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -%\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -%$\operatorname{sn}(u,k)$, -%$\operatorname{cn}(u,k)$ -%udn -%$\operatorname{dn}(u,k)$ -%geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -%des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -%\end{figure} -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -%\hline -%\cdot & -%\frac{1}{1} & -%\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\[5pt] -%\hline -%1& -%&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -%\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -%\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -%\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{sn}(u,k) & -%\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -%&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) & -%\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -%\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) & -%\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -%\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -%\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -%\\[5pt] -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -%Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen. -%Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -%Jacobischen elliptischen Funktionen. -%\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -%\end{table} -%\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -%Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -%lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -%die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -%Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -%$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -%$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -%die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -%Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -%Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -%ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -%der Nenner durch den Buchstaben q. -%Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -%die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -%Funktionen. -%Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -%man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. -% -%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -%geometrisch interpretiert. -%Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -%mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -%Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -%Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -%Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. -% -%Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -%andere auszudrücken. -%Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -%übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -%nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: -% -%\begin{beispiel} -%Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -%ausgedrückt werden. -%Zunächst ist -%\[ -%\operatorname{sc}(u,k) -%= -%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%\] -%nach Definition. -%Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -%$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -%Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -%mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -%\begin{equation} -%\operatorname{sc}(u,k) -%= -%\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -%\end{equation} -%Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -%$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -%Aus der Definition und der -%dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -%erhält man -%\begin{align*} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%&= -%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -%= -%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -%\\ -%\Rightarrow -%\qquad -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%+ -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%&= -%\frac{ -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%}{ -%1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%} -%\end{align*} -%Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -%\[ -%1-\operatorname{cn}^2(u,k) -%= -%\frac{ -%1 -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%- -%k^{\prime 2} -%\operatorname{cd}^2(u,k) -%}{ -%1 -%- -%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -%} -%= -%\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -%\] -%Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -%\begin{align*} -%\operatorname{sc}(u,k) -%&= -%\frac{ -%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -%\cdot -%\frac{ -%\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{ -%k' -%\operatorname{cd}(u,k) -%} -%= -%\frac{ -%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -%}{ -%k' -%\operatorname{cd}(u,k) -%}. -%\qedhere -%\end{align*} -%\end{beispiel} -% -%\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -%Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -%können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -%abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -%Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -%Sie ist -%\begin{align*} -%\frac{d}{du} -%\operatorname{sc}(u,k) -%&= -%\frac{d}{du} -%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%= -%\frac{ -%\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -%- -%\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%\\ -%&= -%\frac{ -%\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%+ -%\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -%}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%= -%\frac{( -%\operatorname{sn}^2(u,k) -%+ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%)\operatorname{dn}(u,k)}{ -%\operatorname{cn}^2(u,k) -%} -%\\ -%&= -%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -%\cdot -%\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -%= -%\operatorname{nc}(u,k) -%\operatorname{dc}(u,k). -%\end{align*} -%Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -%der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -%beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -%die Funktion, die abgeleitet wird. -% -%Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -%\begin{equation} -%%\small -%\begin{aligned} -%\operatorname{sn}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -%&&\qquad& -%\operatorname{ns}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -%\\ -%\operatorname{cn}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -%&&& -%\operatorname{nc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -%\\ -%\operatorname{dn}'(u,k) -%&= -%-k^2 -%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -%&&& -%\operatorname{nd}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%k^2 -%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -%\\ -%\operatorname{sc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -%&&& -%\operatorname{cs}'(u,k) -%&= -%- -%\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -%\\ -%\operatorname{cd}'(u,k) -%&= -%-k^{\prime2} -%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -%&&& -%\operatorname{dc}'(u,k) -%&= -%\phantom{-} -%k^{\prime2} -%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -%\\ -%\operatorname{ds}'(d,k) -%&= -%- -%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -%&&& -%\operatorname{sd}'(d,k) -%&= -%\phantom{-} -%\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -%\end{aligned} -%\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -%\end{equation} -%finden. -%Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -%zweiten Buchstaben haben. -% -%\subsubsection{TODO} -%XXX algebraische Beziehungen \\ -%XXX Additionstheoreme \\ -%XXX Perioden -%% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic -% -% -%XXX Ableitungen \\ -%XXX Werte \\ -%% -%% Lösung von Differentialgleichungen -%% -%\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen -%\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} -%Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -%Differentialgleichungen in geschlossener Form. -%Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -%\( -%\dot{x}(t)^2 -%= -%P(x(t)) -%\) -%mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder -%\( -%\ddot{x}(t) -%= -%p(x(t)) -%\) -%mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. -% -%% -%% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -%Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -%können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -%finden. -%Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -%man -%\[ -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -%= -%\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -%\] -%Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -%ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung -%\begin{align*} -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -%&= -%\bigl( -%1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\bigl( -%1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\\ -%&= -%k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 -%-(1+k^2) -%\operatorname{sn}(u,k)^2 -%+1. -%\end{align*} -%Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung -%\begin{align*} -%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -%&= -%-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -%\\ -%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -%&= -%\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -%\\ -%&= -%\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\\ -%&= -%-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -%+ -%(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 -%+ -%k^{\prime 2} -%\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%&= -%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -%\\ -%\biggl( -%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -%\biggr)^2 -%&= -%\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -%\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -%\\ -%&= -%\bigl( -%1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -%\bigr) -%\bigl( -%\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} -%\bigr) -%\\ -%&= -%-\operatorname{dn}(u,k)^4 -%+ -%(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 -%-k^{\prime 2}. -%\end{align*} -% -%\begin{table} -%\centering -%\renewcommand{\arraystretch}{1.7} -%\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} -%\hline -%\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ -%\hline -%\operatorname{sn}(u,k) -% & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) -% &k^2&1+k^2&1 -%\\ -%\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) -% &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} -%\\ -%\operatorname{dn}(u,k) -% & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) -% &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} -%\\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -%nichtlineare Differentialgleichungen der Art -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -%Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -%entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -%muss. -%\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -%\end{table} -% -%Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle -%einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -%Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -%Die Differentialgleichungen sind in der -%Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. -% -%% -%% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen -%% -%\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen -%Funktionen} -%Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -%Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder -%durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, -%dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung -%genügen. -%Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, -%wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. -%Für -%$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ -%$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ -%und -%$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ -%wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass -%$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung -%der Form -%\begin{equation} -%\operatorname{pq}'(u,k)^2 -%= -%\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma -%\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%\end{equation} -%erfüllt, -%wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von -%$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -%Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -%ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen -%sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} -%zusammengestellt. -% -%Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt -%werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die -%Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen -%Funktion ermitteln. -% -%% -%% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} -%Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine -%Differentialgleichung für den Kehrwert -%$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ -%ableiten. -%Dazu rechnet man -%\[ -%\operatorname{qp}'(u,k) -%= -%\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} -%= -%\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\left\{ -%\quad -%\begin{aligned} -%\operatorname{pq}(u,k) -%&= -%\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} -%\\ -%\operatorname{pq}'(u,k) -%&= -%\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} -%\end{aligned} -%\right. -%\] -%und setzt in die Differentialgleichung ein: -%\begin{align*} -%\biggl( -%\frac{ -%\operatorname{qp}'(u,k) -%}{ -%\operatorname{qp}(u,k) -%} -%\biggr)^2 -%&= -%\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} -%+ -%\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} -%+ -%\gamma. -%\end{align*} -%Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den -%folgenden Satz. -% -%\begin{satz} -%Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -%der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert -%$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung -%\begin{equation} -%(\operatorname{qp}'(u,k))^2 -%= -%\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 -%+ -%\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 -%+ -%\alpha -%\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} -%\end{equation} -%\end{satz} -% -%\begin{table} -%\centering -%\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} -%\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} -%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} -%\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} -%\cline{1-4} -%\lfn{Funktion} -% & \alpha & \beta & \gamma &\\ -%\hline -%\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ -%\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ -%\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ -%\hline -%\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ -%\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ -%\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ -%\hline -% & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ -%\cline{2-5} -%\end{tabular} -%\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen -%elliptischen Funktionen. -%Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der -%ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ -%vertauscht worden sind. -%\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} -%\end{table} -% -%% -%% Differentialgleichung zweiter Ordnung -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -%Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -%\[ -%2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) -%= -%4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). -%\] -%Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, -%bleibt die nichtlineare -%Differentialgleichung -%\[ -%\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} -%= -%\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. -%\] -%Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -%Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. -% -% -% -%% -%% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale -%% -%\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -%Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -%zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -%Zusammenhang zwischen den Funktionen -%$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -%und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -%Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -%\begin{equation} -%\biggl( -%\frac{d y}{d u} -%\biggr)^2 -%= -%p(u), -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%\end{equation} -%wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -%Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -%Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -%Wurzel -%\begin{align} -%\frac{dy}{du} -%= -%\sqrt{p(y)} -%\notag -%\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -%\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -%\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -%\end{align} -%Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -%von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -%das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -%Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -%Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%ist daher -%\[ -%y(u) = F^{-1}(u+C). -%\] -%Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -%der unvollständigen elliptischen Integrale. -% -% -%% -%% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -%% -%\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -%Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -%\begin{equation} -%\biggl( -%\frac{dx}{dt} -%\biggr)^2 -%= -%Ax^4+Bx^2 + C -%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%\end{equation} -%mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -%Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -%\begin{equation} -%x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -%\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -%\end{equation} -%ist. -%Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -%\[ -%\dot{x}(t) -%= -%a\operatorname{zn}'(bt,k). -%\] -% -%Indem wir diesen Lösungsansatz in die -%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -%einsetzen, erhalten wir -%\begin{equation} -%a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -%= -%a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+C -%\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -%\end{equation} -%Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -%Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -%erfüllt. -%Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -%die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -%Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -%\[ -%\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+\frac{C}{a^2b^2} -%= -%\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -%+ -%\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -%+ -%\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -%\] -%Daraus ergeben sich die Gleichungen -%\begin{align} -%\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -%& -%\beta &= \frac{B}{b^2} -%&&\text{und} -%& -%\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -%Differentialgleichung} -%A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -%& -%B&=\beta b^2 -%&&\text{und}& -%C &= \gamma a^2b^2 -%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -%\end{align} -%für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -%Funktion. -% -%Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -%Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -%$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -%wird, die immer positiv sind. -%Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. -% -%In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -%es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -%Es folgt, dass die Gleichungen -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%auch $a$ und $b$ bestimmen. -%Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -%\[ -%b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -%\] -%Damit folgt dann aus der zweiten -%\[ -%a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -%\] -%Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -%Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -%Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. -% -%\begin{beispiel} -%Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -%Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -%dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -%werden muss. -%Die Tabelle sagt dann auch, dass -%$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -%Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -%folgt dann der Reihe nach -%\begin{align*} -%b&=\pm \sqrt{B} -%\\ -%a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -%\\ -%k^2 -%&= -%\frac{AC}{B^2}. -%\end{align*} -%Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -%auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -%erhalten kann, nämlich -%\[ -%\frac{AC}{B^2} -%= -%\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -%= -%\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -%\qedhere -%\] -%\end{beispiel} -% -%Da alle Parameter im -%Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -%festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -%Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -%Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -%autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -%sind nicht von der Zeit abhängig. -%Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -%Lösung der Differentialgleichung. -%Die allgmeine Lösung der -%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -%also die Form -%\[ -%x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -%\] -%wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -%von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -%% -%% Das mathematische Pendel -%% -%\subsection{Das mathematische Pendel -%\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -%\caption{Mathematisches Pendel -%\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -%\end{figure} -%Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -%Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -%im Punkt $P$, -%der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -%verbunden ist. -%Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. -% -%Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -%\( -%I=ml^2 -%\). -%Das Drehmoment der Schwerkraft ist -%\(M=gl\sin\vartheta\). -%Die Bewegungsgleichung wird daher -%\[ -%\begin{aligned} -%\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -%&= -%M -%= -%gl\sin\vartheta -%\\ -%ml^2\ddot{\vartheta} -%&= -%gl\sin\vartheta -%&&\Rightarrow& -%\ddot{\vartheta} -%&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -%\end{aligned} -%\] -%Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -%wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -%der elliptischen Funktionen vergleichen können. -% -%Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -%enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -%In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -%enthält. -%Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -%Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -%Dies führt auf -%\[ -%E_{\text{kinetisch}} -%+ -%E_{\text{potentiell}} -%= -%\frac12I\dot{\vartheta}^2 -%+ -%mgl(1-\cos\vartheta) -%= -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -%+ -%mgl(1-\cos\vartheta) -%= -%E -%\] -%Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -%Differentialgleichung -%\[ -%\dot{\vartheta}^2 -%= -%- -%\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -%+\frac{2E}{ml^2} -%\] -%finden. -%In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -%Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -%tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -%elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -%Lösung konstruieren. -% -%Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -%über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -%$E=2lmg$. -%Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -%der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -%bleibt. -%Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -%Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -%höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. -% -%% -%% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen -%% -%\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -%Wir verwenden als neue Variable -%\[ -%y = \sin\frac{\vartheta}2 -%\] -%mit der Ableitung -%\[ -%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. -% -%Aus den Halbwinkelformeln finden wir -%\[ -%\cos\vartheta -%= -%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -%= -%1-2y^2. -%\] -%Dies können wir zusammen mit der -%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -%\[ -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -%\] -%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. -% -%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -%Wir erhalten -%\begin{align*} -%\frac14 -%\cos^2\frac{\vartheta}2 -%\cdot -%\dot{\vartheta}^2 -%&= -%\frac14 -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -%\\ -%\dot{y}^2 -%&= -%\frac{1}{4} -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -%\end{align*} -%Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -%für elliptische Funktionen. -%Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -%Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -%Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -%zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -%$1$ sein muss. -% -%% -%% Der Fall E < 2mgl -%% -%\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -%\caption{% -%Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -%verschiedene Werte von $k^2=m$. -%Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -%$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -%sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -%Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -%von den trigonometrischen Funktionen ab, -%es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -%Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -%Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -%die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -%erreichen kann, was es für $m$ macht. -%\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -%\end{figure} -% -% -%Wir verwenden als neue Variable -%\[ -%y = \sin\frac{\vartheta}2 -%\] -%mit der Ableitung -%\[ -%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -%\] -%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. -% -%Aus den Halbwinkelformeln finden wir -%\[ -%\cos\vartheta -%= -%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -%= -%1-2y^2. -%\] -%Dies können wir zusammen mit der -%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -%\[ -%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -%\] -%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -%Wir erhalten -%\begin{align*} -%\frac12ml^2 -%\cos^2\frac{\vartheta}2 -%\dot{\vartheta}^2 -%&= -%(1-y^2) -%(E -mgly^2) -%\\ -%\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -%&= -%\frac{1}{2} -%(1-y^2) -%\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -%\\ -%\dot{y}^2 -%&= -%\frac{E}{2ml^2} -%(1-y^2)\biggl( -%1-\frac{2gml}{E}y^2 -%\biggr). -%\end{align*} -%Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -%Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -%mit $k^2 = 2gml/E< 1$. -% -%%% -%%% Der Fall E > 2mgl -%%% -%%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -%%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -%%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -%%Indem wir die Gleichung -% -% -%%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} -% -%%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -%%XXX Möbius-Transformation \\ -%%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index e766779..0df27a7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -387,7 +387,7 @@ r(s) \begin{figure} \centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} \caption{ Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen diff --git a/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf b/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf new file mode 100644 index 0000000..8537524 Binary files /dev/null and b/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf differ -- cgit v1.2.1 From f9842b34a2b78bc340b861cc57aa29ccfbb13fd1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 24 Apr 2022 15:35:47 +0200 Subject: Makefile fixes, lecture notes week 8 --- buch/Makefile | 4 ++-- buch/aufgaben3.tex | 4 ++-- buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/050-differential/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/060-integral/Makefile.inc | 6 +----- buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/090-pde/Makefile.inc | 2 +- buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc | 6 +++--- buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex | 19 ++++++++++++------- buch/common/macros.tex | 4 +++- buch/common/test-common.tex | 1 + buch/common/test3.tex | 1 + .../B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf | Bin 0 -> 3984055 bytes 19 files changed, 35 insertions(+), 30 deletions(-) create mode 100644 vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf diff --git a/buch/Makefile b/buch/Makefile index 00fcf42..af0e1e2 100755 --- a/buch/Makefile +++ b/buch/Makefile @@ -55,13 +55,13 @@ SeminarSpezielleFunktionen.ind: SeminarSpezielleFunktionen.idx # tests: test1.pdf test2.pdf test3.pdf -test1.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex +test1.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex $(TEXFILES) $(pdflatex) common/test1.tex test2.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben2.tex $(pdflatex) common/test2.tex -test3.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex +test3.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex $(CHAPTERFILES) $(pdflatex) common/test3.tex # diff --git a/buch/aufgaben3.tex b/buch/aufgaben3.tex index a39fc19..16288ec 100644 --- a/buch/aufgaben3.tex +++ b/buch/aufgaben3.tex @@ -4,6 +4,6 @@ % (c) 2022 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST % -%\item -%\input chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex +\item +\input chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc index a870448..5840050 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc @@ -4,5 +4,5 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/000-einleitung/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index a4505cb..27ccdae 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc index d6b3c7f..4d8f58b 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/020-exponential/zins.tex \ chapters/020-exponential/log.tex \ chapters/020-exponential/lambertw.tex \ diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index 0bf775f..d4940dc 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex \ chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex \ chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index a222b1c..cd54c80 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/040-rekursion/gamma.tex \ chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \ chapters/040-rekursion/integral.tex \ diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc index b72a275..7151c07 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/050-differential/beispiele.tex \ chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex \ chapters/050-differential/bessel.tex \ diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index e19cb0c..d85caad 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -4,13 +4,9 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ - chapters/060-integral/orthogonal.tex \ - chapters/060-integral/legendredgl.tex \ - chapters/060-integral/sturm.tex \ - chapters/060-integral/gaussquadratur.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 286ab2e..8f58489 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex \ diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc index c153dc4..a762e63 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/075-fourier/bessel.tex \ chapters/075-fourier/2d.tex \ chapters/075-fourier/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc index affaa94..779cd80 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex \ chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex \ chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex \ diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc index c64af06..5b52d27 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/090-pde/gleichung.tex \ chapters/090-pde/separation.tex \ chapters/090-pde/rechteck.tex \ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index b23df52..639cb8f 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -4,12 +4,12 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \ chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \ chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ - chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \ - chapters/110-geometrie/chapter.tex + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex \ + chapters/110-elliptisch/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index 8e4b39f..67d5148 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -28,9 +28,11 @@ for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form $\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben. \item Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die -Geschwindigkeit verschwindet. +Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet. Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von -\ref{buch:1101:basic-dgl} ab. +%\ref{buch:1101:basic-dgl} +Teilaufgabe c) +ab. Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$ die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt, während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen @@ -66,13 +68,16 @@ wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen. \label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$ und -$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion -$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung -von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in -\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. +$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für +die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung +von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt +\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}), +für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. \item Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in -\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung, +Teilaufgabe h) +%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} +erhaltenen Differentialgleichung, um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben. \end{teilaufgaben} diff --git a/buch/common/macros.tex b/buch/common/macros.tex index 7c82180..bb6e9b0 100644 --- a/buch/common/macros.tex +++ b/buch/common/macros.tex @@ -23,7 +23,9 @@ \vfill\pagebreak} \newenvironment{teilaufgaben}{ \begin{enumerate} -\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi})} +%\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi} }{\end{enumerate}} % Aufgabe \newcounter{problemcounter}[chapter] diff --git a/buch/common/test-common.tex b/buch/common/test-common.tex index 289e59c..3f49701 100644 --- a/buch/common/test-common.tex +++ b/buch/common/test-common.tex @@ -30,6 +30,7 @@ \usepackage{standalone} \usepackage{environ} \usepackage{tikz} +\usepackage{xr} \input{../common/linsys.tex} \newcounter{beispiel} \newenvironment{beispiele}{ diff --git a/buch/common/test3.tex b/buch/common/test3.tex index 8b24262..22d6b63 100644 --- a/buch/common/test3.tex +++ b/buch/common/test3.tex @@ -4,6 +4,7 @@ % (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST % \input{common/test-common.tex} +\externaldocument{buch} \begin{document} {\parindent0pt\hbox to\hsize{% diff --git a/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf b/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf new file mode 100644 index 0000000..9f06bdc Binary files /dev/null and b/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf differ -- cgit v1.2.1 From bc23a25ab1aaa67f78998d34d8bf75afbe70606d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Apr 2022 21:54:35 +0200 Subject: fix typos --- buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex | 20 +++++++++++++------- 1 file changed, 13 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index 67d5148..694f18a 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -267,15 +267,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist = \alpha \dot{X}(t(\tau)) -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau} +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau} = -\dot{X}(t(\tau)). +\dot{X}(t(\tau)) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2 += +\dot{X}(t(\tau))^2. \] Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist \[ -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2} +\biggl( \frac{dY}{d\tau} +\biggr)^2 = (1-Y^2)(1-k^2Y^2). \] @@ -283,7 +289,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man \[ \alpha^2 = -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2} \] wählt. Diese Differentialgleichug hat die Lösung @@ -299,9 +305,9 @@ x(t) x_- X(t) = x_- \operatorname{sn}\biggl( -t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} } +t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} } ,k -\biggr) +\biggr). \end{align*} Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als \[ -- cgit v1.2.1 From c771727f3d404d7d79f36b3871e540a8539edfcf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:03:05 +0200 Subject: wip copying my handwritten stuff to LaTex --- buch/papers/zeta/Makefile.inc | 7 +- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 165 +++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/zeta/einleitung.tex | 11 ++ buch/papers/zeta/main.tex | 32 ++---- buch/papers/zeta/teil0.tex | 22 ---- buch/papers/zeta/teil1.tex | 55 ---------- buch/papers/zeta/teil2.tex | 40 ------- buch/papers/zeta/teil3.tex | 40 ------- buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex | 53 +++++++++ 9 files changed, 239 insertions(+), 186 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex create mode 100644 buch/papers/zeta/einleitung.tex delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil3.tex create mode 100644 buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc index 11c7697..14babe2 100644 --- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc +++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc @@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta = \ papers/zeta/packages.tex \ papers/zeta/main.tex \ papers/zeta/references.bib \ - papers/zeta/teil0.tex \ - papers/zeta/teil1.tex \ - papers/zeta/teil2.tex \ - papers/zeta/teil3.tex + papers/zeta/einleitung.tex \ + papers/zeta/analytic_continuation.tex \ + papers/zeta/zeta_gamma.tex \ diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex new file mode 100644 index 0000000..943647a --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -0,0 +1,165 @@ +\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung} +\rhead{Analytische Fortsetzung} + +%TODO missing Text + +\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} +Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als +\begin{equation}\label{zeta:equation:eta} + \eta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, +\end{equation} +wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist. +Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind. + +Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. +Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: +\begin{align} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} + \\ + \frac{1}{2^{s-1}} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2} + \\ + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) + \zeta(s) + &= + \frac{1}{1^s} + \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}} + + \frac{1}{3^s} + \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} + \ldots + && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}} + \\ + &= \eta(s) + \\ + \zeta(s) + &= + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). +\end{align} + +\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz} +Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}. +Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als +\begin{equation} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + = + \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt. +\end{equation} +Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten +\begin{align} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + &= + \int_0^{\infty} + (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \sum_{n=1}^{\infty} + e^{-\pi n^2 x} + dx. \label{zeta:equation:integral1} +\end{align} +Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. +%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal +Es gilt +\begin{equation}\label{zeta:equation:psi} + \psi(x) + = + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. +\end{equation} + +Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als +\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2} + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx, +\end{equation} +wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten +\begin{align} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \left( + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + + \frac{1}{2} + \left( + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + dx + + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx. +\end{align} +Dabei kann das zweite integral gelöst werden als +\begin{equation} + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx + = + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} + + diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..3b70531 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung} +\rhead{Einleitung} + +Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als +\begin{equation}\label{zeta:equation1} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s}. +\end{equation} + diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex index 1d9e059..e0ea8e1 100644 --- a/buch/papers/zeta/main.tex +++ b/buch/papers/zeta/main.tex @@ -3,34 +3,16 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:zeta}} -\lhead{Thema} +\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}} +\lhead{Riemannsche Zetafunktion} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Raphael Unterer} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +%TODO Einleitung -\input{papers/zeta/teil0.tex} -\input{papers/zeta/teil1.tex} -\input{papers/zeta/teil2.tex} -\input{papers/zeta/teil3.tex} +\input{papers/zeta/einleitung.tex} +\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex} +\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex deleted file mode 100644 index 56c0b1b..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex deleted file mode 100644 index 4017ee8..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{zeta:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{zeta:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{zeta:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{zeta:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex deleted file mode 100644 index 9e8a96e..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{zeta:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex deleted file mode 100644 index 6610cc3..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{zeta:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..59c8744 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} +\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion} + +Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her. + +%TODO ref Gamma +Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion +\begin{align} + \Gamma(s) + &= + \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt + \\ + &= + \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du + && + \text{Division durch }n^s + \\ + \frac{\Gamma(s)}{n^s} + &= + \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du + && + \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} + \\ + \Gamma(s) \zeta(s) + &= + \int_0^{\infty} u^{s-1} + \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu} + du. + \label{zeta:equation:zeta_gamma1} +\end{align} +Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten +\begin{align} + \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n} + &= + \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n} + - + 1 + \\ + &= + \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1 + \\ + &= + \frac{1}{e^u - 1}. +\end{align} +Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir +\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final} + \zeta(s) + = + \frac{1}{\Gamma(s)} + \int_0^{\infty} + \frac{u^{s-1}}{e^u -1} + du. +\end{equation} -- cgit v1.2.1 From e26f12668c78fab5f0d8c5c9625396fd34970c82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:39:22 +0200 Subject: Erster Entwurf der analytischen Fortsetzung geschrieben --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 107 +++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 103 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 943647a..f5de6e7 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -110,7 +110,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al dx, \end{equation} wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. -Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten \begin{align} \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} @@ -148,9 +148,9 @@ Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - dx. + dx. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} -Dabei kann das zweite integral gelöst werden als +Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als \begin{equation} \frac{1}{2} \int_0^1 @@ -161,5 +161,104 @@ Dabei kann das zweite integral gelöst werden als = \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} - +Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. +Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$. +Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$. +Dies ergibt +\begin{align} + \int_{\infty}^{1} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{-du}{u^2} + &= + \int_{1}^{\infty} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{du}{u^2} + \\ + &= + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, +\end{align} +wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. +Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. +Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten +\begin{equation} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} +Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich +\begin{align} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \nonumber + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{-1}{s(1-s)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{\frac{1-s}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}} + \right) + \frac{\psi(x)}{x} + dx, +\end{align} +zu erhalten. +Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird. +Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als +\begin{equation}\label{zeta:equation:functional} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + = + \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} + \zeta(1-s). +\end{equation} -- cgit v1.2.1 From 2041283fe8afc6c80451208e239913f52f767d93 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:46:13 +0200 Subject: minor fix --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index f5de6e7..bb95b92 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -194,7 +194,7 @@ Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx, + dx + \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} @@ -220,7 +220,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx, + dx + \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} -- cgit v1.2.1 From 32093bf360c25dded5b3b02f97c5fe8d93dfcd2a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 3 May 2022 21:38:35 +0200 Subject: some fixes --- buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex | 8 +++++--- buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex | 2 +- 2 files changed, 6 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index acfdb1a..2e43cec 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index c9c9cc6..35054ab 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien. \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ -und $w(x)=0$. +und $w(x)=1$. Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen \bgroup \renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -- cgit v1.2.1 From 3259e5f02e8a1b8e9fd22038bbbbec2929f8105c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 4 May 2022 08:18:47 +0200 Subject: remove template paper --- buch/papers/common/addpapers.tex | 1 - buch/papers/common/paperlist | 1 - 2 files changed, 2 deletions(-) diff --git a/buch/papers/common/addpapers.tex b/buch/papers/common/addpapers.tex index dd2b07a..eb353d7 100644 --- a/buch/papers/common/addpapers.tex +++ b/buch/papers/common/addpapers.tex @@ -3,7 +3,6 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\input{papers/000template/main.tex} \input{papers/lambertw/main.tex} \input{papers/fm/main.tex} \input{papers/parzyl/main.tex} diff --git a/buch/papers/common/paperlist b/buch/papers/common/paperlist index d4e5c20..f607279 100644 --- a/buch/papers/common/paperlist +++ b/buch/papers/common/paperlist @@ -1,4 +1,3 @@ -000template lambertw fm parzyl -- cgit v1.2.1 From a866d7cd6672474e9376617aadc91424b9ba3506 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 May 2022 22:37:45 +0200 Subject: add Fresnel presentation --- vorlesungen/04_fresnel/common.tex | 2 +- vorlesungen/04_fresnel/slides.tex | 5 +- vorlesungen/slides/fresnel/Makefile | 9 +++ vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc | 5 +- vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex | 5 +- vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m | 34 ++++++++++++ vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex | 72 ++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex | 61 +++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++++ 10 files changed, 363 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/Makefile create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex diff --git a/vorlesungen/04_fresnel/common.tex b/vorlesungen/04_fresnel/common.tex index 418b7a5..1134b71 100644 --- a/vorlesungen/04_fresnel/common.tex +++ b/vorlesungen/04_fresnel/common.tex @@ -10,7 +10,7 @@ } \beamertemplatenavigationsymbolsempty \title[Klothoide]{Klothoide} -\author[N.~Eswararajah]{Nilakshan Eswararajah} +\author[A.~Müller]{Andreas Müller} \date[]{9.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex index 5a7cce2..32f7233 100644 --- a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex +++ b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex @@ -3,4 +3,7 @@ % % (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{fresnel/test.tex} +\folie{fresnel/integrale.tex} +\folie{fresnel/numerik.tex} +\folie{fresnel/kruemmung.tex} +\folie{fresnel/klothoide.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile new file mode 100644 index 0000000..77ad9a2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: eulerpath.tex + +eulerpath.tex: eulerspirale.m + octave eulerspirale.m diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc index c17b654..4ab3b2f 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc @@ -4,4 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterfresnel = \ - ../slides/fresnel/test.tex + ../slides/fresnel/integrale.tex \ + ../slides/fresnel/kruemmung.tex \ + ../slides/fresnel/klothoide.tex \ + ../slides/fresnel/numerik.tex diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex index dc5d031..ad0c011 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex @@ -3,4 +3,7 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\folie{fresnel/test.tex} +\folie{fresnel/integrale.tex} +\folie{fresnel/kruemmung.tex} +\folie{fresnel/klothoide.tex} +\folie{fresnel/numerik.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m new file mode 100644 index 0000000..312541a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m @@ -0,0 +1,34 @@ +# +# eulerspirale.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +# +global n; +n = 10000; +global tmax; +tmax = 10; + +function retval = f(x, t) + retval = [ cos(t*t); sin(t*t) ]; +endfunction + +x0 = [ 0; 0 ]; +t = tmax * (0:n) / n; + +c = lsode(@f, x0, t); + +fn = fopen("eulerpath.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n"); + +fclose(fn); diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex new file mode 100644 index 0000000..7798932 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% fresnel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\input{../slides/fresnel/eulerpath.tex} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Fresnel-Integrale} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Fresnel-Integrale: +\begin{align*} +S(t) +&= +\int_0^t \sin(\tau^2)\,d\tau +\\ +C(t) +&= +\int_0^t \cos(\tau^2)\,d\tau +\end{align*} +\uncover<2->{% +Können nicht in geschlossener Form ausgewertet werden. +} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Kurve} +\[ +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +S(t)\\C(t) +\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Euler-Spirale} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=2.7] + +\draw[->] (-1.05,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$C(t)$}]; +\draw[->] (0,-1.05) -- (0,1.05) coordinate[label={right:$S(t)$}]; + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \fresnela; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \fresnelb; + +\fill[color=blue] ({sqrt(3.14159/8)},{sqrt(3.14159/8)}) circle[radius=0.02]; +\fill[color=blue] ({-sqrt(3.14159/8)},{-sqrt(3.14159/8)}) circle[radius=0.02]; + +\draw (1,-0.03) -- (1,0.03); +\node at (1,-0.03) [below] {$1$}; +\draw (-1,-0.03) -- (-1,0.03); +\node at (-1,0.03) [above] {$-1$}; +\draw (-0.03,1) -- (0.03,1); +\node at (-0.03,1) [left] {$1$}; +\draw (-0.03,-1) -- (0.03,-1); +\node at (0.03,-1) [right] {$-1$}; +\node at (0,0) [below right] {$0$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex new file mode 100644 index 0000000..dcf52be --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% klothoide.tex -- Klothoide +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Klothoide} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Krümmung der Euler-Spirale} +\begin{align*} +\frac{d}{dt}\gamma(t) +&= +\begin{pmatrix} +\cos t^2\\ +\sin t^2 +\end{pmatrix} +\intertext{\uncover<2->{Bogenlänge:}} +\uncover<2->{ +|\dot{\gamma}(t)| +&= +\sqrt{\cos^2 t^2 + \sin^2 t^2} += +1 +} +\intertext{\uncover<3->{Polarwinkel:}} +\uncover<3->{ +\varphi&=t^2 +\intertext{\uncover<4->{Krümmung:}} +\uncover<4->{ +\frac{d\varphi}{dt} +&= +2t +} +} +\end{align*} +\uncover<5->{% +$\Rightarrow$ Krümmung ist proportional zur Bogenlänge +} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Definition} +Eine Kurve, deren Krümmung proportional zur Bogenlänge ist, heisst +{\em Klothoid} +\end{block}} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Anwendung} +Strassenbau: Um mit konstanter Geschwindigkeit auf einer +Klothoidenkurve zu fahren, muss man das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit +drehen +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex new file mode 100644 index 0000000..e75611b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +% +% kruemmung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Krümmung einer Kurve} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Krümmungsradius} +Bogen und Radius: +\[ +s=r\cdot\Delta\varphi +\uncover<2->{ +\quad +\Rightarrow +\quad +r += +\frac{s}{\Delta\varphi} +} +\] +\end{block} +\vspace*{-12pt} +\uncover<3->{ +\begin{block}{Krümmung} +Je grösser der Krümmungsradius, desto kleiner die Krümmung: +\[ +\kappa = \frac{1}{r} +\] +\end{block}} +\vspace*{-12pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Definition} +Änderungsgeschwindigkeit des Polarwinkels der Tangente +\[ +\kappa += +\frac{1}{r} +\uncover<6->{= +\frac{\Delta\varphi}{s}} +\uncover<7->{= +\frac{d\varphi}{dt}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (4,4); + +\def\r{3} +\def\winkel{30} + +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:\r) arc (0:\winkel:\r) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\winkel}:{0.5*\r}) {$\Delta\varphi$}; + +\draw[line width=0.3pt] (0,0) circle[radius=\r]; + +\draw[->] (0,0) -- (0:\r); +\draw[->] (0,0) -- (\winkel:\r); + +\uncover<4->{ +\draw[->] (0:\r) -- ($(0:\r)+(90:0.7*\r)$); +\draw[->] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+({90+\winkel}:0.7*\r)$); +} + +\draw[color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:\winkel:\r); +\node[color=red] at ({0.5*\winkel}:\r) [left] {$s$}; +\fill[color=red] (0:\r) circle[radius=0.05]; +\fill[color=red] (\winkel:\r) circle[radius=0.05]; + +\node at (\winkel:{0.5*\r}) [above] {$r$}; +\node at (0:{0.5*\r}) [below] {$r$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\uncover<4->{% +Für $\varphi$ kann man auch den Polarwinkel des Tangentialvektors nehmen +} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex new file mode 100644 index 0000000..5c6f96d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +% +% numerik.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Numerik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Taylor-Reihe} +\begin{align*} +\sin t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} +\\ +%\int \sin t^2\,dt +\uncover<2->{ +S(t) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{4k+3}}{(2k+1)!(4n+3)} +} +\\ +\cos t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!} +\\ +%\int \sin t^2\,dt +\uncover<3->{ +C(t) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{4k+1}}{(2k)!(4k+1)} +} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{ +\begin{block}{Differentialgleichung} +\[ +\dot{\gamma}(t) += +\begin{pmatrix} +\sin t^2\\ \cos t^2 +\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Hypergeometrische Reihen} +\begin{align*} +\uncover<6->{% +S(t) +&= +\frac{\pi z^3}{6}\, +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr) +} +\\ +\uncover<7->{ +C(t) +&= +z\, +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From db0fcc225416e260284ffa3a1da5919a2b1ac5a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 9 May 2022 11:03:14 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Fresnel-Pr=C3=A4sentation?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vorlesungen/04_fresnel/common.tex | 4 +- vorlesungen/04_fresnel/slides.tex | 1 + vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc | 3 +- vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg | Bin 0 -> 1125584 bytes vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png | Bin 0 -> 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-9,8 +9,8 @@ \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} } \beamertemplatenavigationsymbolsempty -\title[Klothoide]{Klothoide} -\author[A.~Müller]{Andreas Müller} +\title[Klothoide]{Fresnel-Integrale und Klothoide} +\author[A.~Müller]{Prof.~Dr.~Andreas Müller} \date[]{9.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex index 32f7233..a46fe9e 100644 --- a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex +++ b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex @@ -7,3 +7,4 @@ \folie{fresnel/numerik.tex} \folie{fresnel/kruemmung.tex} \folie{fresnel/klothoide.tex} +\folie{fresnel/apfel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc index 4ab3b2f..b6d11f0 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc @@ -7,4 +7,5 @@ chapterfresnel = \ ../slides/fresnel/integrale.tex \ ../slides/fresnel/kruemmung.tex \ ../slides/fresnel/klothoide.tex \ - ../slides/fresnel/numerik.tex + ../slides/fresnel/numerik.tex \ + ../slides/fresnel/apfel.tex diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg new file mode 100644 index 0000000..96b975d Binary files /dev/null and b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg differ diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png new file mode 100644 index 0000000..f413852 Binary files /dev/null and b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png differ diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex new file mode 100644 index 0000000..090c3d5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% apfel.tex -- Apfelschale als Klothoide +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\input{../slides/fresnel/eulerpath.tex} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Apfelschale} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} +\clip(-1,-1) rectangle (7,6); +\uncover<2->{ +\node at (3.1,2.2) [rotate=-3] + {\includegraphics[width=9.4cm]{../slides/fresnel/apfel.png}}; +} +\end{scope} +\draw[color=gray!50] (0,0) rectangle (4,4); +\draw[->] (-0.5,0) -- (7.5,0) coordinate[label={$C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) coordinate[label={left:$S(t)$}]; +\uncover<3->{ +\begin{scope}[scale=8] +\draw[color=red,opacity=0.5,line width=1.4pt] \fresnela; +\end{scope} +} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex index ad0c011..916a3a9 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex @@ -7,3 +7,4 @@ \folie{fresnel/kruemmung.tex} \folie{fresnel/klothoide.tex} \folie{fresnel/numerik.tex} +\folie{fresnel/apfel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex new file mode 100644 index 0000000..ecd0b2b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex @@ -0,0 +1,4012 @@ +\def\fresnela{ (0,0) + -- (0.0100,0.0000) + -- (0.0200,0.0000) + -- (0.0300,0.0000) + -- (0.0400,0.0000) + -- (0.0500,0.0001) + -- (0.0600,0.0001) + -- (0.0700,0.0002) + -- (0.0800,0.0003) + -- (0.0900,0.0004) + -- (0.1000,0.0005) + -- (0.1100,0.0007) + -- (0.1200,0.0009) + -- (0.1300,0.0012) + -- (0.1400,0.0014) + -- (0.1500,0.0018) + -- (0.1600,0.0021) + -- (0.1700,0.0026) + -- (0.1800,0.0031) + -- (0.1899,0.0036) + -- (0.1999,0.0042) + -- (0.2099,0.0048) + -- (0.2199,0.0056) + -- (0.2298,0.0064) + -- (0.2398,0.0072) + -- (0.2498,0.0082) + -- (0.2597,0.0092) + -- (0.2696,0.0103) + -- (0.2796,0.0115) + -- (0.2895,0.0128) + -- (0.2994,0.0141) + -- (0.3093,0.0156) + -- (0.3192,0.0171) + -- (0.3290,0.0188) + -- (0.3389,0.0205) + -- (0.3487,0.0224) + -- (0.3585,0.0244) + -- (0.3683,0.0264) + -- (0.3780,0.0286) + -- (0.3878,0.0309) + -- (0.3975,0.0334) + -- (0.4072,0.0359) + -- (0.4168,0.0386) + -- (0.4264,0.0414) + -- (0.4359,0.0443) + -- (0.4455,0.0474) + -- (0.4549,0.0506) + -- (0.4644,0.0539) + -- (0.4738,0.0574) + -- (0.4831,0.0610) + -- (0.4923,0.0647) + -- (0.5016,0.0686) + -- (0.5107,0.0727) + -- (0.5198,0.0769) + -- (0.5288,0.0812) + -- (0.5377,0.0857) + -- (0.5466,0.0904) + -- (0.5553,0.0952) + -- (0.5640,0.1001) + -- (0.5726,0.1053) + -- (0.5811,0.1105) + -- (0.5895,0.1160) + -- (0.5978,0.1216) + -- (0.6059,0.1273) + -- (0.6140,0.1333) + -- (0.6219,0.1393) + -- (0.6298,0.1456) + -- (0.6374,0.1520) + -- (0.6450,0.1585) + -- (0.6524,0.1653) + -- (0.6597,0.1721) + -- (0.6668,0.1792) + -- (0.6737,0.1864) + -- (0.6805,0.1937) + -- (0.6871,0.2012) + -- (0.6935,0.2089) + -- (0.6998,0.2167) + -- (0.7058,0.2246) + -- (0.7117,0.2327) + -- (0.7174,0.2410) + -- (0.7228,0.2493) + -- (0.7281,0.2579) + -- (0.7331,0.2665) + -- (0.7379,0.2753) + -- (0.7425,0.2841) + -- (0.7469,0.2932) + -- (0.7510,0.3023) + -- (0.7548,0.3115) + -- (0.7584,0.3208) + -- (0.7617,0.3303) + -- (0.7648,0.3398) + -- (0.7676,0.3494) + -- (0.7702,0.3590) + -- (0.7724,0.3688) + -- (0.7744,0.3786) + -- (0.7760,0.3885) + -- (0.7774,0.3984) + -- (0.7785,0.4083) + -- (0.7793,0.4183) + -- (0.7797,0.4283) + -- (0.7799,0.4383) + -- (0.7797,0.4483) + -- (0.7793,0.4582) + -- (0.7785,0.4682) + -- (0.7774,0.4782) + -- (0.7759,0.4880) + -- (0.7741,0.4979) + -- (0.7721,0.5077) + -- (0.7696,0.5174) + -- (0.7669,0.5270) + -- (0.7638,0.5365) + -- (0.7604,0.5459) + -- (0.7567,0.5552) + -- (0.7526,0.5643) + -- (0.7482,0.5733) + -- (0.7436,0.5821) + -- (0.7385,0.5908) + -- (0.7332,0.5993) + -- (0.7276,0.6075) + -- (0.7217,0.6156) + -- (0.7154,0.6234) + -- (0.7089,0.6310) + -- (0.7021,0.6383) + -- (0.6950,0.6454) + -- (0.6877,0.6522) + -- (0.6801,0.6587) + -- (0.6722,0.6648) + -- (0.6641,0.6707) + -- (0.6558,0.6763) + -- (0.6473,0.6815) + -- (0.6386,0.6863) + -- (0.6296,0.6908) + -- (0.6205,0.6950) + -- 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({-3.6800*\dx},{-0.5637*\dy}) + -- ({-3.6900*\dx},{-0.5698*\dy}) + -- ({-3.7000*\dx},{-0.5750*\dy}) + -- ({-3.7100*\dx},{-0.5791*\dy}) + -- ({-3.7200*\dx},{-0.5822*\dy}) + -- ({-3.7300*\dx},{-0.5841*\dy}) + -- ({-3.7400*\dx},{-0.5849*\dy}) + -- ({-3.7500*\dx},{-0.5845*\dy}) + -- ({-3.7600*\dx},{-0.5830*\dy}) + -- ({-3.7700*\dx},{-0.5803*\dy}) + -- ({-3.7800*\dx},{-0.5764*\dy}) + -- ({-3.7900*\dx},{-0.5715*\dy}) + -- ({-3.8000*\dx},{-0.5656*\dy}) + -- ({-3.8100*\dx},{-0.5588*\dy}) + -- ({-3.8200*\dx},{-0.5512*\dy}) + -- ({-3.8300*\dx},{-0.5428*\dy}) + -- ({-3.8400*\dx},{-0.5338*\dy}) + -- ({-3.8500*\dx},{-0.5244*\dy}) + -- ({-3.8600*\dx},{-0.5147*\dy}) + -- ({-3.8700*\dx},{-0.5047*\dy}) + -- ({-3.8800*\dx},{-0.4947*\dy}) + -- ({-3.8900*\dx},{-0.4848*\dy}) + -- ({-3.9000*\dx},{-0.4752*\dy}) + -- ({-3.9100*\dx},{-0.4660*\dy}) + -- ({-3.9200*\dx},{-0.4573*\dy}) + -- ({-3.9300*\dx},{-0.4492*\dy}) + -- ({-3.9400*\dx},{-0.4420*\dy}) + -- ({-3.9500*\dx},{-0.4357*\dy}) + -- ({-3.9600*\dx},{-0.4303*\dy}) + -- ({-3.9700*\dx},{-0.4261*\dy}) + -- ({-3.9800*\dx},{-0.4230*\dy}) + -- ({-3.9900*\dx},{-0.4211*\dy}) + -- ({-4.0000*\dx},{-0.4205*\dy}) + -- ({-4.0100*\dx},{-0.4211*\dy}) + -- ({-4.0200*\dx},{-0.4230*\dy}) + -- ({-4.0300*\dx},{-0.4261*\dy}) + -- ({-4.0400*\dx},{-0.4304*\dy}) + -- ({-4.0500*\dx},{-0.4358*\dy}) + -- ({-4.0600*\dx},{-0.4422*\dy}) + -- ({-4.0700*\dx},{-0.4495*\dy}) + -- ({-4.0800*\dx},{-0.4576*\dy}) + -- ({-4.0900*\dx},{-0.4665*\dy}) + -- ({-4.1000*\dx},{-0.4758*\dy}) + -- ({-4.1100*\dx},{-0.4855*\dy}) + -- ({-4.1200*\dx},{-0.4955*\dy}) + -- ({-4.1300*\dx},{-0.5054*\dy}) + -- ({-4.1400*\dx},{-0.5153*\dy}) + -- ({-4.1500*\dx},{-0.5249*\dy}) + -- ({-4.1600*\dx},{-0.5341*\dy}) + -- ({-4.1700*\dx},{-0.5426*\dy}) + -- ({-4.1800*\dx},{-0.5504*\dy}) + -- ({-4.1900*\dx},{-0.5573*\dy}) + -- ({-4.2000*\dx},{-0.5632*\dy}) + -- ({-4.2100*\dx},{-0.5680*\dy}) + -- ({-4.2200*\dx},{-0.5716*\dy}) + -- ({-4.2300*\dx},{-0.5739*\dy}) + -- ({-4.2400*\dx},{-0.5749*\dy}) + -- ({-4.2500*\dx},{-0.5746*\dy}) + -- ({-4.2600*\dx},{-0.5730*\dy}) + -- ({-4.2700*\dx},{-0.5700*\dy}) + -- ({-4.2800*\dx},{-0.5658*\dy}) + -- ({-4.2900*\dx},{-0.5604*\dy}) + -- ({-4.3000*\dx},{-0.5540*\dy}) + -- ({-4.3100*\dx},{-0.5466*\dy}) + -- ({-4.3200*\dx},{-0.5383*\dy}) + -- ({-4.3300*\dx},{-0.5294*\dy}) + -- ({-4.3400*\dx},{-0.5199*\dy}) + -- ({-4.3500*\dx},{-0.5101*\dy}) + -- ({-4.3600*\dx},{-0.5001*\dy}) + -- ({-4.3700*\dx},{-0.4902*\dy}) + -- ({-4.3800*\dx},{-0.4804*\dy}) + -- ({-4.3900*\dx},{-0.4711*\dy}) + -- ({-4.4000*\dx},{-0.4623*\dy}) + -- ({-4.4100*\dx},{-0.4542*\dy}) + -- ({-4.4200*\dx},{-0.4471*\dy}) + -- ({-4.4300*\dx},{-0.4410*\dy}) + -- ({-4.4400*\dx},{-0.4360*\dy}) + -- ({-4.4500*\dx},{-0.4323*\dy}) + -- ({-4.4600*\dx},{-0.4299*\dy}) + -- ({-4.4700*\dx},{-0.4289*\dy}) + -- ({-4.4800*\dx},{-0.4293*\dy}) + -- ({-4.4900*\dx},{-0.4311*\dy}) + -- ({-4.5000*\dx},{-0.4343*\dy}) + -- ({-4.5100*\dx},{-0.4387*\dy}) + -- ({-4.5200*\dx},{-0.4444*\dy}) + -- ({-4.5300*\dx},{-0.4512*\dy}) + -- ({-4.5400*\dx},{-0.4590*\dy}) + -- ({-4.5500*\dx},{-0.4676*\dy}) + -- ({-4.5600*\dx},{-0.4768*\dy}) + -- ({-4.5700*\dx},{-0.4864*\dy}) + -- ({-4.5800*\dx},{-0.4964*\dy}) + -- ({-4.5900*\dx},{-0.5064*\dy}) + -- ({-4.6000*\dx},{-0.5162*\dy}) + -- ({-4.6100*\dx},{-0.5257*\dy}) + -- ({-4.6200*\dx},{-0.5346*\dy}) + -- ({-4.6300*\dx},{-0.5427*\dy}) + -- ({-4.6400*\dx},{-0.5500*\dy}) + -- ({-4.6500*\dx},{-0.5562*\dy}) + -- ({-4.6600*\dx},{-0.5611*\dy}) + -- ({-4.6700*\dx},{-0.5648*\dy}) + -- ({-4.6800*\dx},{-0.5670*\dy}) + -- ({-4.6900*\dx},{-0.5678*\dy}) + -- ({-4.7000*\dx},{-0.5671*\dy}) + -- ({-4.7100*\dx},{-0.5650*\dy}) + -- ({-4.7200*\dx},{-0.5615*\dy}) + -- ({-4.7300*\dx},{-0.5566*\dy}) + -- ({-4.7400*\dx},{-0.5504*\dy}) + -- ({-4.7500*\dx},{-0.5432*\dy}) + -- ({-4.7600*\dx},{-0.5350*\dy}) + -- ({-4.7700*\dx},{-0.5261*\dy}) + -- ({-4.7800*\dx},{-0.5166*\dy}) + -- ({-4.7900*\dx},{-0.5067*\dy}) + -- ({-4.8000*\dx},{-0.4968*\dy}) + -- ({-4.8100*\dx},{-0.4869*\dy}) + -- ({-4.8200*\dx},{-0.4773*\dy}) + -- ({-4.8300*\dx},{-0.4682*\dy}) + -- ({-4.8400*\dx},{-0.4600*\dy}) + -- ({-4.8500*\dx},{-0.4526*\dy}) + -- ({-4.8600*\dx},{-0.4464*\dy}) + -- ({-4.8700*\dx},{-0.4414*\dy}) + -- ({-4.8800*\dx},{-0.4378*\dy}) + -- ({-4.8900*\dx},{-0.4357*\dy}) + -- ({-4.9000*\dx},{-0.4351*\dy}) + -- ({-4.9100*\dx},{-0.4360*\dy}) + -- ({-4.9200*\dx},{-0.4384*\dy}) + -- ({-4.9300*\dx},{-0.4423*\dy}) + -- ({-4.9400*\dx},{-0.4476*\dy}) + -- ({-4.9500*\dx},{-0.4541*\dy}) + -- ({-4.9600*\dx},{-0.4618*\dy}) + -- ({-4.9700*\dx},{-0.4703*\dy}) + -- ({-4.9800*\dx},{-0.4795*\dy}) + -- ({-4.9900*\dx},{-0.4892*\dy}) +} + diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m index 312541a..84e3696 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m @@ -4,12 +4,15 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue # global n; -n = 10000; +n = 1000; global tmax; tmax = 10; +global N; +N = round(n*5/tmax); function retval = f(x, t) - retval = [ cos(t*t); sin(t*t) ]; + x = pi * t^2 / 2; + retval = [ cos(x); sin(x) ]; endfunction x0 = [ 0; 0 ]; @@ -23,12 +26,36 @@ fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); for i = (2:n) fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); end -fprintf(fn, "\n}\n"); +fprintf(fn, "\n}\n\n"); fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); for i = (2:n) fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); end -fprintf(fn, "\n}\n"); +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); fclose(fn); diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex index 7798932..906aec1 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex @@ -1,10 +1,11 @@ % -% fresnel.tex -- slide template +% integrale.tex -- Definition der Fresnel Integrale % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \bgroup \input{../slides/fresnel/eulerpath.tex} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} @@ -15,57 +16,103 @@ \begin{block}{Definition} Fresnel-Integrale: \begin{align*} -S(t) +\color{red}S(t) &= -\int_0^t \sin(\tau^2)\,d\tau +\int_0^t \sin\biggl(\frac{\pi\tau^2}2\biggr)\,d\tau \\ -C(t) +\color{blue}C(t) &= -\int_0^t \cos(\tau^2)\,d\tau +\int_0^t \cos\biggl(\frac{\pi\tau^2}2\biggr)\,d\tau \end{align*} -\uncover<2->{% +\uncover<3->{% Können nicht in geschlossener Form ausgewertet werden. } \end{block} -\uncover<3->{% -\begin{block}{Kurve} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Euler-Spirale} \[ -\gamma(t) +\gamma_a(t) = \begin{pmatrix} -S(t)\\C(t) +C_a(t)\\S_a(t) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\displaystyle +\int_0^t \cos (a\tau^2)\,d\tau\\[8pt] +\displaystyle +\int_0^t \sin (a\tau^2)\,d\tau \end{pmatrix} \] \end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<4->{% -\begin{block}{Euler-Spirale} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<2-4>{% \begin{center} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=2.7] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1] +\def\dx{0.6} +\def\dy{1.5} -\draw[->] (-1.05,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$C(t)$}]; -\draw[->] (0,-1.05) -- (0,1.05) coordinate[label={right:$S(t)$}]; +\begin{scope} + \draw[color=gray!50] (0,{0.5*\dy}) -- (3,{0.5*\dy}); + \draw[color=gray!50] (0,{-0.5*\dy}) -- (-3,{-0.5*\dy}); + \draw[->] (-3,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$t$}]; + \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate[label={left:$S(t)$}]; + \draw (-0.1,{0.5*\dy}) -- (0.1,{0.5*\dy}); + \node at (-0.1,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; + \draw (-0.1,{-0.5*\dy}) -- (0.1,{-0.5*\dy}); + \node at (0.1,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + \draw[color=red,line width=1.4pt] \Splotright; + \draw[color=red,line width=1.4pt] \Splotleft; +\end{scope} -\draw[color=red,line width=1.4pt] \fresnela; -\draw[color=red,line width=1.4pt] \fresnelb; +\begin{scope}[yshift=-3.4cm] + \draw[color=gray!50] (0,{0.5*\dy}) -- (3,{0.5*\dy}); + \draw[color=gray!50] (0,{-0.5*\dy}) -- (-3,{-0.5*\dy}); + \draw[->] (-3,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$t$}]; + \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate[label={left:$C(t)$}]; + \draw (-0.1,{0.5*\dy}) -- (0.1,{0.5*\dy}); + \node at (-0.1,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; + \draw (-0.1,{-0.5*\dy}) -- (0.1,{-0.5*\dy}); + \node at (0.1,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] \Cplotright; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] \Cplotleft; +\end{scope} -\fill[color=blue] ({sqrt(3.14159/8)},{sqrt(3.14159/8)}) circle[radius=0.02]; -\fill[color=blue] ({-sqrt(3.14159/8)},{-sqrt(3.14159/8)}) circle[radius=0.02]; +\end{tikzpicture} +\end{center} +}}{} +\uncover<5->{% +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=3.5] + +\draw[color=gray!50] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5); + +\draw[->] (-0.8,0) -- (0.9,0) coordinate[label={$\color{blue}C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.8) -- (0,0.9) coordinate[label={right:$\color{red}S(t)$}]; + +\draw[color=darkgreen,line width=1.0pt] \fresnela; +\draw[color=darkgreen,line width=1.0pt] \fresnelb; + +\fill[color=orange] (0.5,0.5) circle[radius=0.02]; +\fill[color=orange] (-0.5,-0.5) circle[radius=0.02]; -\draw (1,-0.03) -- (1,0.03); -\node at (1,-0.03) [below] {$1$}; -\draw (-1,-0.03) -- (-1,0.03); -\node at (-1,0.03) [above] {$-1$}; -\draw (-0.03,1) -- (0.03,1); -\node at (-0.03,1) [left] {$1$}; -\draw (-0.03,-1) -- (0.03,-1); -\node at (0.03,-1) [right] {$-1$}; -\node at (0,0) [below right] {$0$}; +\draw (0.5,-0.02) -- (0.5,0.02); +\node at (0.5,-0.02) [below right] {$\frac12$}; + +\draw (-0.5,-0.02) -- (-0.5,0.02); +\node at (-0.5,0.02) [above left] {$-\frac12$}; + +\draw (-0.01,0.5) -- (0.02,0.5); +\node at (-0.02,0.5) [above left] {$\frac12$}; + +\draw (-0.02,-0.5) -- (0.02,-0.5); +\node at (0.02,-0.5) [below right] {$-\frac12$}; \end{tikzpicture} \end{center} -\end{block}} +} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex index dcf52be..bf43644 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex @@ -13,15 +13,17 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Krümmung der Euler-Spirale} \begin{align*} -\frac{d}{dt}\gamma(t) +\frac{d}{dt}\gamma_1(t) &= +\dot{\gamma}_1(t) += \begin{pmatrix} \cos t^2\\ \sin t^2 \end{pmatrix} \intertext{\uncover<2->{Bogenlänge:}} \uncover<2->{ -|\dot{\gamma}(t)| +|\dot{\gamma}_1(t)| &= \sqrt{\cos^2 t^2 + \sin^2 t^2} = @@ -47,13 +49,18 @@ $\Rightarrow$ Krümmung ist proportional zur Bogenlänge \uncover<6->{% \begin{block}{Definition} Eine Kurve, deren Krümmung proportional zur Bogenlänge ist, heisst -{\em Klothoid} +{\em Klothoide} \end{block}} \uncover<7->{% \begin{block}{Anwendung} +\begin{itemize} +\item<8-> Strassenbau: Um mit konstanter Geschwindigkeit auf einer -Klothoidenkurve zu fahren, muss man das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit +Klothoide zu fahren, muss man das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen +\item<9-> +Apfel + Sparschäler +\end{itemize} \end{block}} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex index e75611b..06f6b9b 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% kruemmung.tex -- slide template +% kruemmung.tex -- Kruemmung % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex index 5c6f96d..0bd4d5a 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% numerik.tex -- slide template +% numerik.tex -- numerische Berechnung der Fresnel Integrale % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % @@ -13,27 +13,38 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Taylor-Reihe} \begin{align*} -\sin t^2 +\sin t^{\uncover<2->{\color<2>{red}2}} &= \sum_{k=0}^\infty -(-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} +(-1)^k \frac{t^{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<1>{2k+1}}{} +\only<2->{\color<2>{red}4k+2} +} +}{ +(2k+1)! +} \\ %\int \sin t^2\,dt -\uncover<2->{ -S(t) +\uncover<4->{ +S_1(t) &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{4k+3}}{(2k+1)!(4n+3)} } \\ -\cos t^2 +\cos t^{\uncover<3->{\color<3>{red}2}} &= \sum_{k=0}^\infty -(-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!} +(-1)^k \frac{t^{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<-2>{2k}}{} +\only<3->{\color<3>{red}4k}} +}{ +(2k)! +} \\ %\int \sin t^2\,dt -\uncover<3->{ -C(t) +\uncover<5->{ +C_1(t) &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{4k+1}}{(2k)!(4k+1)} @@ -42,23 +53,34 @@ C(t) \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<4->{ +\uncover<6->{ \begin{block}{Differentialgleichung} \[ -\dot{\gamma}(t) +\dot{\gamma}_1(t) = \begin{pmatrix} -\sin t^2\\ \cos t^2 +\cos t^2\\ \sin t^2 \end{pmatrix} +\uncover<7->{ +\; +\to +\; +\gamma_1(t) += +\begin{pmatrix} +C_1(t)\\S_1(t) +\end{pmatrix} +} \] \end{block}} -\uncover<5->{% +\uncover<8->{% \begin{block}{Hypergeometrische Reihen} \begin{align*} -\uncover<6->{% +\uncover<9->{% S(t) &= -\frac{\pi z^3}{6}\, +\frac{\pi z^3}{6} +\cdot \mathstrut_1F_2\biggl( \begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} ; @@ -66,10 +88,11 @@ S(t) \biggr) } \\ -\uncover<7->{ +\uncover<10->{ C(t) &= -z\, +z +\cdot \mathstrut_1F_2\biggl( \begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} ; @@ -79,5 +102,23 @@ z\, \end{block}} \end{column} \end{columns} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Komplexe Fehlerfunktion} +\[ +\left. +\begin{matrix} +S(z)\\ +C(z) +\end{matrix} +\right\} += +\frac{1\pm i}{4} +\left( +\operatorname{erf}\biggl({\frac{1+i}2}\sqrt{\pi}z\biggr) +\mp i +\operatorname{erf}\biggl({\frac{1-i}2}\sqrt{\pi}z\biggr) +\right) +\] +\end{block}} \end{frame} \egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex deleted file mode 100644 index 6c2f25b..0000000 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -% -% template.tex -- slide template -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\bgroup -\begin{frame}[t] -\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} -\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Template für Klothoide} -\vspace{-20pt} -\begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} -\end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} -\end{column} -\end{columns} -\end{frame} -\egroup -- cgit v1.2.1 From a7a12c313b1a4fb528337eb354668e69d6d20942 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 11 May 2022 22:13:59 +0200 Subject: dreiecksgraphik --- buch/papers/nav/images/Makefile | 11 ++++++ buch/papers/nav/images/dreieck.tex | 68 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/macros.tex | 54 ++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/pk.m | 55 ++++++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 188 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/images/Makefile create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/macros.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/pk.m diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a0d7b34 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -0,0 +1,11 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# + +dreieck.pdf: dreieck.tex dreieckdata.tex macros.tex + pdflatex dreieck.tex + +dreieckdata.tex: pk.m + octave pk.m diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..55f6a81 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\skala{1} + +\def\punkt#1#2{ + \fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08]; +} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{dreieckdata.tex} +\input{macros.tex} + +\def\punktbeschriftung{ + \node at (A) [above] {$A$}; + \node at (B) [left] {$B$}; + \node at (C) [right] {$C$}; + \node at (P) [below] {$P$}; +} + +\winkelKappa{gray} + +\winkelAlpha{red} +\winkelGamma{blue} +\winkelBeta{darkgreen} + +\winkelOmega{gray} +\winkelBetaEins{brown} + +\seiteC{black} +\seiteB{black} +\seiteA{black} + +\seiteL{gray} +\seitePB{gray} +\seitePC{gray} + +\draw[line width=1.4pt] \kanteAB; +\draw[line width=1.4pt] \kanteAC; +\draw[color=gray] \kanteAP; +\draw[line width=1.4pt] \kanteBC; +\draw[color=gray] \kanteBP; +\draw[color=gray] \kanteCP; + +\punkt{(A)}{black}; +\punkt{(B)}{black}; +\punkt{(C)}{black}; +\punkt{(P)}{gray}; + +\punktbeschriftung + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.tex b/buch/papers/nav/images/macros.tex new file mode 100644 index 0000000..69a620d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/macros.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +\def\winkelAlpha#1{ + \begin{scope} + \clip (A) circle[radius=1.1]; + \fill[color=#1!20] \kanteAB -- \kanteCA -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(A)+(222:0.82)$) {$\alpha$}; +} + +\def\winkelOmega#1{ + \begin{scope} + \clip (A) circle[radius=0.7]; + \fill[color=#1!20] \kanteAP -- \kanteCA -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(A)+(285:0.50)$) {$\omega$}; +} + +\def\winkelGamma#1{ + \begin{scope} + \clip (C) circle[radius=1.0]; + \fill[color=#1!20] \kanteCA -- \kanteBC -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(C)+(155:0.60)$) {$\gamma$}; +} + +\def\winkelKappa#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=1.2]; + \fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteAB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(15:1.00)$) {$\kappa$}; +} + +\def\winkelBeta#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=0.8]; + \fill[color=#1!20] \kanteBC -- \kanteAB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(35:0.40)$) {$\beta$}; +} + +\def\winkelBetaEins#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=0.8]; + \fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteCB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(330:0.60)$) {$\beta_1$}; +} + +\def\seiteC#1{ \node[color=#1] at (-1.9,5.9) {$c$}; } +\def\seiteB#1{ \node[color=#1] at (3.2,6.5) {$b$}; } +\def\seiteL#1{ \node[color=#1] at (-0.2,4.5) {$l$}; } +\def\seiteA#1{ \node[color=#1] at (2,3) {$a$}; } +\def\seitePB#1{ \node[color=#1] at (-2.1,1) {$p_b$}; } +\def\seitePC#1{ \node[color=#1] at (2.5,1.5) {$p_c$}; } diff --git a/buch/papers/nav/images/pk.m b/buch/papers/nav/images/pk.m new file mode 100644 index 0000000..6e89e9a --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/pk.m @@ -0,0 +1,55 @@ +# +# pk.m -- Punkte und Kanten für sphärisches Dreieck +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +A = [ 1, 8 ]; +B = [ -3, 3 ]; +C = [ 4, 4 ]; +P = [ 0, 0 ]; + +global fn; +fn = fopen("dreieckdata.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\coordinate (P) at (%.4f,%.4f);\n", P(1,1), P(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.4f,%.4f);\n", A(1,1), A(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.4f,%.4f);\n", B(1,1), B(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.4f,%.4f);\n", C(1,1), C(1,2)); + +function retval = seite(A, B, l, nameA, nameB) + global fn; + d = fliplr(B - A); + d(1, 2) = -d(1, 2); + # Zentrum + C = 0.5 * (A + B) + l * d; + # Radius: + r = hypot(C(1,1)-A(1,1), C(1,2)-A(1,2)) + # Winkel von + winkelvon = atan2(A(1,2)-C(1,2),A(1,1)-C(1,1)); + # Winkel bis + winkelbis = atan2(B(1,2)-C(1,2),B(1,1)-C(1,1)); + if (abs(winkelvon - winkelbis) > pi) + if (winkelbis < winkelvon) + winkelbis = winkelbis + 2 * pi + else + winkelvon = winkelvon + 2 * pi + end + end + # Kurve + fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n", + nameA, nameB, + A(1,1), A(1,2), winkelvon * 180 / pi, winkelbis * 180 / pi, r); + fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n", + nameB, nameA, + B(1,1), B(1,2), winkelbis * 180 / pi, winkelvon * 180 / pi, r); +endfunction + +seite(A, B, -1, "A", "B"); +seite(A, C, 1, "A", "C"); +seite(A, P, -1, "A", "P"); +seite(B, C, -2, "B", "C"); +seite(B, P, -1, "B", "P"); +seite(C, P, 2, "C", "P"); + +fclose(fn); -- cgit v1.2.1 From 1067af52a6b066174b7306e96766e9e4e11cbac7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 11 May 2022 22:14:11 +0200 Subject: dreiecksdaten --- buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex | 16 ++++++++++++++++ 1 file changed, 16 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex new file mode 100644 index 0000000..c0fb720 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +\coordinate (P) at (0.0000,0.0000); +\coordinate (A) at (1.0000,8.0000); +\coordinate (B) at (-3.0000,3.0000); +\coordinate (C) at (4.0000,4.0000); +\def\kanteAB{(1.0000,8.0000) arc (114.77514:167.90524:7.1589)} +\def\kanteBA{(-3.0000,3.0000) arc (167.90524:114.77514:7.1589)} +\def\kanteAC{(1.0000,8.0000) arc (63.43495:10.30485:5.5902)} +\def\kanteCA{(4.0000,4.0000) arc (10.30485:63.43495:5.5902)} +\def\kanteAP{(1.0000,8.0000) arc (146.30993:199.44003:9.0139)} +\def\kantePA{(0.0000,0.0000) arc (199.44003:146.30993:9.0139)} +\def\kanteBC{(-3.0000,3.0000) arc (-95.90614:-67.83365:14.5774)} +\def\kanteCB{(4.0000,4.0000) arc (-67.83365:-95.90614:14.5774)} +\def\kanteBP{(-3.0000,3.0000) arc (-161.56505:-108.43495:4.7434)} +\def\kantePB{(0.0000,0.0000) arc (-108.43495:-161.56505:4.7434)} +\def\kanteCP{(4.0000,4.0000) arc (-30.96376:-59.03624:11.6619)} +\def\kantePC{(0.0000,0.0000) arc (-59.03624:-30.96376:11.6619)} -- cgit v1.2.1