From 2ea641baa5990d5439f8e626618d5ff0968f61ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 12:48:21 +0200 Subject: Revision of fourier example done. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 101 ++++++++++++++------- 1 file changed, 68 insertions(+), 33 deletions(-) diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 8e3be72..2104645 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -321,8 +321,8 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] @@ -364,8 +364,8 @@ Es folgt nun \[ \begin{aligned} \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] und somit @@ -382,24 +382,32 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -% TODO: infinite base vectors and fourier series -\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} +\subsubsection{Fourierreihe als Lösung} -% TODO: check ease of reading -\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} - -% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection - -% -% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. -% +Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun +wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell +unendlich viele Lösungen gibt. +Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen +Koeffizienten für jede Lösungsfunktion. +Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination +\[ + X(x) + = + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +aus allen möglichen Lösungen um. -Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. -Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei -$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. -Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ -unterschiedlich sein. -Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu +Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen, +da +\[ + \begin{aligned} + a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\ + b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0 + \end{aligned} +\] +gilt endet man somit bei \[ X(x) = @@ -409,10 +417,33 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] +Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen +orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines +Sturm-Liouville-Problems handelt. +Es gilt also +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0. +\end{aligned} +\] + +\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten} + +% +% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. +% -Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere -Bedingungen benötigt. -Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale +Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt. Es gilt also nun die Gleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} @@ -479,8 +510,8 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \end{aligned} \] -Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei -skalliert wurde, also gilt nun +Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale +um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -587,7 +618,7 @@ $ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass gilt. Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. -Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten +Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der konstanten Funktion $1$. Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten @@ -615,14 +646,14 @@ Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: \] Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils -über ein Vielfaches der Periode integriert wird. +über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird. Es bleibt also noch \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx = - a_0 \int_{-l}^{l}dx + a_0 \int_{-l}^{l}dx, \] -, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: +was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx @@ -651,13 +682,19 @@ Es bleibt also noch \subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Diese wird über das charakteristische Polynom +Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = 0 \] -gelöst. +der Gleichung +\[ + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) + = + 0 +\] +und löst dieses. Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung @@ -677,8 +714,6 @@ ergibt. Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. -% TODO: elaborate - \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1