From 32f1a1d818f0fe28b2ae97071e31a773ee2d028a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 19 May 2022 17:28:33 +0200 Subject: some local changes --- buch/papers/fresnel/Makefile | 14 -- buch/papers/fresnel/eulerspirale.m | 61 --------- buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf | Bin 22592 -> 0 bytes buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex | 41 ------ buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf | Bin 30018 -> 0 bytes buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex | 46 ------- buch/papers/fresnel/images/Makefile | 38 ++++++ buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg | Bin 0 -> 139884 bytes buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf | Bin 0 -> 157895 bytes buch/papers/fresnel/images/apfel.tex | 49 +++++++ buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m | 61 +++++++++ buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf | Bin 0 -> 22592 bytes buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex | 41 ++++++ buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf | Bin 0 -> 30018 bytes buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex | 46 +++++++ buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf | Bin 0 -> 10179 bytes buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex | 51 ++++++++ buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf | Bin 0 -> 19264 bytes buch/papers/fresnel/images/pfad.tex | 37 ++++++ buch/papers/fresnel/images/schale.pdf | Bin 0 -> 352570 bytes buch/papers/fresnel/images/schale.pov | 191 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/fresnel/images/schale.tex | 77 +++++++++++ buch/papers/fresnel/main.tex | 5 + buch/papers/fresnel/pfad.pdf | Bin 19126 -> 0 bytes buch/papers/fresnel/pfad.tex | 34 ----- buch/papers/fresnel/references.bib | 6 + buch/papers/fresnel/teil0.tex | 6 +- buch/papers/fresnel/teil1.tex | 11 +- buch/papers/fresnel/teil2.tex | 161 ++++++++++++++++++++++- buch/papers/fresnel/teil3.tex | 4 +- 30 files changed, 772 insertions(+), 208 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.m delete mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf delete mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex delete mode 100644 buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf delete mode 100644 buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/Makefile create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/apfel.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/pfad.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/schale.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/schale.pov create mode 100644 buch/papers/fresnel/images/schale.tex delete mode 100644 buch/papers/fresnel/pfad.pdf delete mode 100644 buch/papers/fresnel/pfad.tex diff --git a/buch/papers/fresnel/Makefile b/buch/papers/fresnel/Makefile index 11af3a7..ed74861 100644 --- a/buch/papers/fresnel/Makefile +++ b/buch/papers/fresnel/Makefile @@ -3,20 +3,6 @@ # # (c) 2022 Prof Dr Andreas Mueller # -all: fresnelgraph.pdf eulerspirale.pdf pfad.pdf - images: @echo "no images to be created in fresnel" -eulerpath.tex: eulerspirale.m - octave eulerspirale.m - -fresnelgraph.pdf: fresnelgraph.tex eulerpath.tex - pdflatex fresnelgraph.tex - -eulerspirale.pdf: eulerspirale.tex eulerpath.tex - pdflatex eulerspirale.tex - -pfad.pdf: pfad.tex - pdflatex pfad.tex - diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m deleted file mode 100644 index 84e3696..0000000 --- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m +++ /dev/null @@ -1,61 +0,0 @@ -# -# eulerspirale.m -# -# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue -# -global n; -n = 1000; -global tmax; -tmax = 10; -global N; -N = round(n*5/tmax); - -function retval = f(x, t) - x = pi * t^2 / 2; - retval = [ cos(x); sin(x) ]; -endfunction - -x0 = [ 0; 0 ]; -t = tmax * (0:n) / n; - -c = lsode(@f, x0, t); - -fn = fopen("eulerpath.tex", "w"); - -fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); -for i = (2:n) - fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); -for i = (2:n) - fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)"); -for i = (2:N) - fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)"); -for i = (2:N) - fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)"); -for i = (2:N) - fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)"); -for i = (2:N) - fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2)); -end -fprintf(fn, "\n}\n\n"); - -fclose(fn); diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf deleted file mode 100644 index 4a85a50..0000000 Binary files a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex deleted file mode 100644 index 38ef756..0000000 --- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex +++ /dev/null @@ -1,41 +0,0 @@ -% -% eulerspirale.tex -- Darstellung der Eulerspirale -% -% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\documentclass[tikz]{standalone} -\usepackage{amsmath} -\usepackage{times} -\usepackage{txfonts} -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{csvsimple} -\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} -\begin{document} -\def\skala{1} -\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] - -\input{eulerpath.tex} - -\def\s{8} - -\begin{scope}[scale=\s] -\draw[color=blue] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5); -\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnela; -\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnelb; -\fill[color=blue] (0.5,0.5) circle[radius={0.1/\s}]; -\fill[color=blue] (-0.5,-0.5) circle[radius={0.1/\s}]; -\draw (-0.5,{-0.05/\s}) -- (-0.5,{0.05/\s}); -\draw (0.5,{-0.05/\s}) -- (0.5,{-0.05/\s}); -\node at (-0.5,0) [above left] {$\frac12$}; -\node at (0.5,0) [below right] {$\frac12$}; -\node at (0,-0.5) [below right] {$\frac12$}; -\node at (0,0.5) [above left] {$\frac12$}; -\end{scope} - -\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$C(x)$}];; -\draw[->] (0,-5.8) -- (0,6.1) coordinate[label={left:$S(x)$}];; - -\end{tikzpicture} -\end{document} - diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf deleted file mode 100644 index 9ccad56..0000000 Binary files a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex deleted file mode 100644 index 20df951..0000000 --- a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -% -% fresnelgraph.tex -- Graphs of the fresnel functions -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\documentclass[tikz]{standalone} -\usepackage{amsmath} -\usepackage{times} -\usepackage{txfonts} -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{csvsimple} -\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} -\begin{document} -\def\skala{1} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] - -\input{eulerpath.tex} -\def\dx{1.3} -\def\dy{2.6} - -\draw[color=gray] (0,{0.5*\dy}) -- ({5*\dx},{0.5*\dy}); -\draw[color=gray] (0,{-0.5*\dy}) -- ({-5*\dx},{-0.5*\dy}); - -\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotright; -\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotleft; - -\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotright; -\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotleft; - -\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$x$}]; -\draw[->] (0,-2.3) -- (0,2.3) coordinate[label={$y$}]; - -\foreach \x in {1,2,3,4,5}{ - \draw ({\x*\dx},-0.05) -- ({\x*\dx},0.05); - \draw ({-\x*\dx},-0.05) -- ({-\x*\dx},0.05); - \node at ({\x*\dx},-0.05) [below] {$\x$}; - \node at ({-\x*\dx},0.05) [above] {$-\x$}; -} -\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy}); -\node at (-0.05,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; -\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy}); -\node at (0.05,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; - -\end{tikzpicture} -\end{document} - diff --git a/buch/papers/fresnel/images/Makefile b/buch/papers/fresnel/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..eb7dc57 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/Makefile @@ -0,0 +1,38 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: schale.pdf \ + fresnelgraph.pdf \ + eulerspirale.pdf \ + pfad.pdf \ + apfel.pdf \ + kruemmung.pdf + +schale.png: schale.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Oschale.png schale.pov + +schale.jpg: schale.png Makefile + convert -extract 1240x1080+340 schale.png -density 300 -units PixelsPerInch schale.jpg + +schale.pdf: schale.tex schale.jpg + pdflatex schale.tex + +eulerpath.tex: eulerspirale.m + octave eulerspirale.m + +fresnelgraph.pdf: fresnelgraph.tex eulerpath.tex + pdflatex fresnelgraph.tex + +eulerspirale.pdf: eulerspirale.tex eulerpath.tex + pdflatex eulerspirale.tex + +pfad.pdf: pfad.tex + pdflatex pfad.tex + +apfel.pdf: apfel.tex apfel.jpg eulerpath.tex + pdflatex apfel.tex + +kruemmung.pdf: kruemmung.tex + pdflatex kruemmung.tex diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg new file mode 100644 index 0000000..76e48e7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf new file mode 100644 index 0000000..69e5092 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex new file mode 100644 index 0000000..754886b --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% apfel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\input{eulerpath.tex} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\begin{scope} +\clip(-0.6,-0.6) rectangle (7,6); +\node at (3.1,2.2) [rotate=-3] {\includegraphics[width=9.4cm]{apfel.jpg}}; +\end{scope} + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\draw[color=gray!50] (0,0) rectangle (4,4); +\draw[->] (-0.5,0) -- (7.5,0) coordinate[label={$C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) coordinate[label={left:$S(t)$}]; +\begin{scope}[scale=8] +\draw[color=red,opacity=0.5,line width=1.4pt] \fresnela; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m new file mode 100644 index 0000000..84e3696 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m @@ -0,0 +1,61 @@ +# +# eulerspirale.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +# +global n; +n = 1000; +global tmax; +tmax = 10; +global N; +N = round(n*5/tmax); + +function retval = f(x, t) + x = pi * t^2 / 2; + retval = [ cos(x); sin(x) ]; +endfunction + +x0 = [ 0; 0 ]; +t = tmax * (0:n) / n; + +c = lsode(@f, x0, t); + +fn = fopen("eulerpath.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf new file mode 100644 index 0000000..db74e4b Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex new file mode 100644 index 0000000..38ef756 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +% +% eulerspirale.tex -- Darstellung der Eulerspirale +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{eulerpath.tex} + +\def\s{8} + +\begin{scope}[scale=\s] +\draw[color=blue] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5); +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnela; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnelb; +\fill[color=blue] (0.5,0.5) circle[radius={0.1/\s}]; +\fill[color=blue] (-0.5,-0.5) circle[radius={0.1/\s}]; +\draw (-0.5,{-0.05/\s}) -- (-0.5,{0.05/\s}); +\draw (0.5,{-0.05/\s}) -- (0.5,{-0.05/\s}); +\node at (-0.5,0) [above left] {$\frac12$}; +\node at (0.5,0) [below right] {$\frac12$}; +\node at (0,-0.5) [below right] {$\frac12$}; +\node at (0,0.5) [above left] {$\frac12$}; +\end{scope} + +\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$C(x)$}];; +\draw[->] (0,-5.8) -- (0,6.1) coordinate[label={left:$S(x)$}];; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf new file mode 100644 index 0000000..c658901 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex new file mode 100644 index 0000000..20df951 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% fresnelgraph.tex -- Graphs of the fresnel functions +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{eulerpath.tex} +\def\dx{1.3} +\def\dy{2.6} + +\draw[color=gray] (0,{0.5*\dy}) -- ({5*\dx},{0.5*\dy}); +\draw[color=gray] (0,{-0.5*\dy}) -- ({-5*\dx},{-0.5*\dy}); + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotright; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotleft; + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotright; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotleft; + +\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-2.3) -- (0,2.3) coordinate[label={$y$}]; + +\foreach \x in {1,2,3,4,5}{ + \draw ({\x*\dx},-0.05) -- ({\x*\dx},0.05); + \draw ({-\x*\dx},-0.05) -- ({-\x*\dx},0.05); + \node at ({\x*\dx},-0.05) [below] {$\x$}; + \node at ({-\x*\dx},0.05) [above] {$-\x$}; +} +\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy}); +\node at (-0.05,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; +\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy}); +\node at (0.05,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf new file mode 100644 index 0000000..1180116 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex new file mode 100644 index 0000000..af0a1a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% kruemmung.tex -- Krümmung einer ebenen Kurve +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (4,4); + +\def\r{3} +\def\winkel{30} + +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{0.6*\r}) arc (0:\winkel:{0.6*\r}) -- cycle; +\fill[color=blue!20] (\winkel:\r) + -- ($(\winkel:\r)+(0,{0.6*\r})$) arc (90:{90+\winkel}:{0.6*\r}) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\winkel}:{0.45*\r}) {$\Delta\varphi$}; + +\node[color=blue] at ($(\winkel:\r)+({90+0.5*\winkel}:{0.45*\r})$) + {$\Delta\varphi$}; + +\draw[line width=0.3pt] (0,0) circle[radius=\r]; + +\draw[->] (0,0) -- (0:\r); +\draw[->] (0,0) -- (\winkel:\r); + +\draw[->] (0:\r) -- ($(0:\r)+(90:0.7*\r)$); +\draw[->] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+({90+\winkel}:0.7*\r)$); +\draw[->,color=gray] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+(0,0.7*\r)$); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:\winkel:\r); +\node[color=red] at ({0.5*\winkel}:\r) [left] {$\Delta s$}; +\fill[color=red] (0:\r) circle[radius=0.05]; +\fill[color=red] (\winkel:\r) circle[radius=0.05]; + +\node at (\winkel:{0.5*\r}) [above] {$r$}; +\node at (0:{0.5*\r}) [below] {$r$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf new file mode 100644 index 0000000..df3c7af Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex new file mode 100644 index 0000000..680cd78 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +% +% pfad.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\fill[color=gray!40] (0,0) -- (2,0) arc (0:45:2) -- cycle; +\node at (22.5:1.4) {$\displaystyle\frac{\pi}4$}; + +\draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}]; + +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (7,0); +\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (7,0) arc (0:45:7); +\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] (45:7) -- (0,0); + +\node[color=red] at (3.5,0) [below] {$\gamma_1(t) = tR$}; +\node[color=blue] at (25:7) [right] {$\gamma_2(t) = Re^{it}$}; +\node[color=darkgreen] at (45:3.5) [above left] {$\gamma_3(t) = te^{i\pi/4}$}; + +\node at (7,0) [below] {$R$}; +\node at (45:7) [above] {$Re^{i\pi/4}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf new file mode 100644 index 0000000..9c21951 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pov b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov new file mode 100644 index 0000000..085a6a4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov @@ -0,0 +1,191 @@ +// +// schale.pov -- +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +#declare O = <0,0,0>; + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.036; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.5, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <10, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + color rgb<0.8,0.8,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +#declare stripcolor = rgb<0.2,0.2,0.8>; + +#declare R = 1.002; + +#macro punkt(phi,theta) +R * < cos(phi) * cos(theta), sin(theta), sin(phi) * cos(theta) > +#end + +#declare N = 24; +#declare thetaphi = 0.01; +#declare thetawidth = pi * 0.008; +#declare theta = function(phi) { phi * thetaphi } + +#declare axisdiameter = 0.007; + +cylinder { + < 0, -2, 0>, < 0, 2, 0>, axisdiameter + pigment { + color White + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +#declare curvaturecircle = 0.008; +#declare curvaturecirclecolor = rgb<0.4,0.8,0.4>; + +#declare phit = 12.8 * 2 * pi; +#declare P = punkt(phit, theta(phit)); +#declare Q = <0, R / sin(theta(phit)), 0>; + +#declare e1 = vnormalize(P - Q) / tan(theta(phit)); +#declare e2 = vnormalize(vcross(e1, <0,1,0>)) / tan(theta(phit)); +#declare psimin = -0.1 * pi; +#declare psimax = 0.1 * pi; +#declare psistep = (psimax - psimin) / 30; + +union { + #declare psi = psimin; + #declare K = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2; + #while (psi < psimax - psistep/2) + sphere { K, curvaturecircle } + #declare psi = psi + psistep; + #declare K2 = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2; + cylinder { K, K2, curvaturecircle } + #declare K = K2; + #end + sphere { K, curvaturecircle } + pigment { + color curvaturecirclecolor + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + mesh { + #declare psi = psimin; + #declare K = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2; + #while (psi < psimax - psistep/2) + #declare psi = psi + psistep; + #declare K2 = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2; + triangle { K, K2, Q } + #declare K = K2; + #end + } + pigment { + color rgbt<0.4,0.8,0.4,0.5> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + sphere { P, 0.02 } + sphere { Q, 0.02 } + cylinder { P, Q, 0.01 } + pigment { + color Red + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +#declare phisteps = 300; +#declare phistep = 2 * pi / phisteps; +#declare phimin = 0; +#declare phimax = N * 2 * pi; + +object { + mesh { + #declare phi = phimin; + #declare Poben = punkt(phi, theta(phi) + thetawidth); + #declare Punten = punkt(phi, theta(phi) - thetawidth); + triangle { O, Punten, Poben } + #while (phi < phimax - phistep/2) + #declare phi = phi + phistep; + #declare Poben2 = punkt(phi, theta(phi) + thetawidth); + #declare Punten2 = punkt(phi, theta(phi) - thetawidth); + triangle { O, Punten, Punten2 } + triangle { O, Poben, Poben2 } + triangle { Punten, Punten2, Poben } + triangle { Punten2, Poben2, Poben } + #declare Poben = Poben2; + #declare Punten = Punten2; + #end + triangle { O, Punten, Poben } + } + pigment { + color stripcolor + } + finish { + specular 0.8 + metallic + } +} + +union { + #declare phi = phimin; + #declare P = punkt(phi, theta(phi)); + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { P, 0.003 } + #declare phi = phi + phistep; + #declare P2 = punkt(phi, theta(phi)); + cylinder { P, P2, 0.003 } + #declare P = P2; + #end + sphere { P, 0.003 } + pigment { + color stripcolor + } + finish { + specular 0.8 + metallic + } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.tex b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex new file mode 100644 index 0000000..577ede4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% schlange.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} +\def\a{47} +\def\r{3.3} +\def\skala{0.95} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope}[xshift=-7.4cm,yshift=-1.2cm] + \clip (-3.6,-2.2) rectangle (3.6,5.1); + + \fill[color=blue!20] (0,0) + -- ({180-\a}:{0.4*\r}) arc ({180-\a}:180:{0.4*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ({180-\a/2}:{0.3*\r}) {$\vartheta$}; + + \fill[color=blue!20] (0,{\r/sin(\a)}) + -- ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a}:{0.3*\r})$) + arc ({270-\a}:270:{0.3*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a/2}:{0.2*\r})$) + {$\vartheta$}; + + + \draw (0,0) circle[radius=\r]; + \draw[->] (0,-3.0) -- (0,5); + \draw ({-\r-0.2},0) -- ({\r+0.2},0); + \fill (0,0) circle[radius=0.06]; + + \draw (0,0) -- ({180-\a}:\r); + \node at ({180-\a+3}:{0.65*\r}) [above right] {$1$}; + + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({180-\a}:\r) -- (0,{\r/cos(90-\a)}); + \fill[color=red] ({180-\a}:\r) circle[radius=0.08]; + \fill[color=red] (0,{\r/cos(90-\a)}) circle[radius=0.08]; + \node[color=red] at (-1.0,3.7) [left] {$r=\cot\vartheta$}; + \node[color=red] at ({180-\a}:\r) [above left] {$P$}; + \node[color=red] at (0,{\r/sin(\a)}) [right] {$Q$}; +\end{scope} + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=7.6cm]{schale.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node[color=red] at (-1.4,1.4) {$r$}; +\node[color=red] at (-2.2,-0.2) {$P$}; +\node[color=red] at (0,3.3) [right] {$Q$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex index e6ee3b5..2050fd4 100644 --- a/buch/papers/fresnel/main.tex +++ b/buch/papers/fresnel/main.tex @@ -8,6 +8,11 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Andreas Müller} +{\parindent0pt Die} Fresnel-Integrale tauchen in der Untersuchung der Beugung +in paraxialer Näherung auf, auch bekannt als die Fresnel-Approximation. +In diesem Kapitel betrachen wir jedoch nur die geometrische +Anwendung der Fresnel-Integrale als Parametrisierung der Euler-Spirale +und zeigen, dass letztere eine Klothoide ist. \input{papers/fresnel/teil0.tex} \input{papers/fresnel/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/pfad.pdf deleted file mode 100644 index ff514cc..0000000 Binary files a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/pfad.tex deleted file mode 100644 index 5439a71..0000000 --- a/buch/papers/fresnel/pfad.tex +++ /dev/null @@ -1,34 +0,0 @@ -% -% pfad.tex -- template for standalon tikz images -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\documentclass[tikz]{standalone} -\usepackage{amsmath} -\usepackage{times} -\usepackage{txfonts} -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{csvsimple} -\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} -\begin{document} -\def\skala{1} -\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] - -\draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}]; -\draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}]; - -\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (7,0); -\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (7,0) arc (0:45:7); -\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] (45:7) -- (0,0); - -\node[color=red] at (3.5,0) [below] {$\gamma_1(t) = tR$}; -\node[color=blue] at (25:7) [right] {$\gamma_2(t) = Re^{it}$}; -\node[color=darkgreen] at (45:3.5) [above left] {$\gamma_3(t) = te^{i\pi/4}$}; - -\node at (7,0) [below] {$R$}; -\node at (45:7) [above] {$Re^{i\pi/4}$}; - -\end{tikzpicture} -\end{document} - diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib index 58e9242..cf8fb21 100644 --- a/buch/papers/fresnel/references.bib +++ b/buch/papers/fresnel/references.bib @@ -44,3 +44,9 @@ title = { Fresnel Integral }, date = { 2022-05-13 } } + +@online{fresnel:schale, + url = { https://www.youtube.com/watch?v=D3tdW9l1690 }, + title = { A Strange Map Projection (Euler Spiral) - Numberphile }, + date = { 2022-05-14 } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex index 253e2f3..85b8bf7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex @@ -20,7 +20,7 @@ C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt \\ S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt \end{align*} -heissen die Fesnel-Integrale. +heissen die Fresnel-Integrale. \end{definition} Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte @@ -39,7 +39,7 @@ C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x), S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x). \end{aligned} \] -Durch eine Substution $t=bs$ erhält man +Durch eine Substitution $t=bs$ erhält man \begin{align*} C_a(x) &= @@ -91,7 +91,7 @@ $C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher werden. \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf} \caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) und $S(x)$ ({\color{blue}blau}) \label{fresnel:figure:plot}} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex index a41ddb7..c716cd7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \rhead{Euler-Spirale} \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/eulerspirale.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf} \caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung $x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt. Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$. @@ -25,7 +25,7 @@ $(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden. \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/pfad.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/pfad.pdf} \caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und $S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes \label{fresnel:figure:pfad}} @@ -182,7 +182,7 @@ muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$. Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch der Realteil verschwinden muss \[ -\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) +\sqrt{\frac{\pi}{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) \qquad \Rightarrow \qquad @@ -190,7 +190,10 @@ C_1(\infty) = S_1(\infty) = -\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}. +\frac12 +\sqrt{ +\frac{\pi}{2} +}. \] Aus \eqref{fresnel:equation:arg} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex index 22d2a89..ec8c896 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex @@ -15,10 +15,165 @@ Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist, heisst {\em Klothoide}. \end{definition} -Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau bei Autobahnkurven -angewendet. -Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit mit entlang einer Klothoide, +Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau für Autobahnkurven +verwendet. +Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Klothoide, muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern, also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen. Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise. +\subsection{Krümmung einer ebenen Kurve} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/kruemmung.pdf} +\caption{Berechnung der Krümmung einer ebenen Kurve. +\label{fresnel:figure:kruemmung}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{fresnel:figure:kruemmung} erinnert daran, dass der +Bogen eines Kreises vom Radius $r$, entlang dem sich die Richtung +der Tangente um $\Delta\varphi$ ändert, die Länge +$\Delta s = r\Delta\varphi$. +Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius, daraus kann +man ablesen, dass +\[ +\kappa = \frac{1}{r} = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}. +\] +Für eine beliebige ebene Kurve ist daher die Krümmung +\[ +\kappa = \frac{d\varphi}{ds}. +\] + +\subsection{Krümmung der Euler-Spirale} +Wir betrachten jetzt die Euler-Spirale mit der Parametrisierung +$\gamma(s) = (C_1(s),S_1(s))$. +Zunächst stellen wir fest, dass die Länge der Tangente +\[ +\dot{\gamma}(s) += +\frac{d\gamma}{ds} += +\begin{pmatrix} +\dot{C}_1(s)\\ +\dot{S}_1(s) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\ +\sin s^2 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +|\dot{\gamma}(s)| += +\sqrt{\cos^2s^2+\sin^2s^2} += +1. +\] +Insbesondere ist der Parameter $s$ der Kurve $\gamma(s)$ die +Bogenlänge. + +Der zu $\dot{\gamma}(s)$ gehörige Polarwinkel kann aus dem Vergleich +mit einem Vektor mit bekanntem Polarwinkel $\varphi$ abgelesen werden: +\[ +\begin{pmatrix} +\cos \varphi\\ +\sin \varphi +\end{pmatrix} += +\dot{\gamma}(s) += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\\sin s^2 +\end{pmatrix}, +\] +der Polarwinkel +ist daher $\varphi = s^2$. +Die Krümmung ist die Ableitung des Polarwinkels nach $s$, also +\[ +\kappa += +\frac{d\varphi}{ds} += +\frac{ds^2}{ds} += +2s, +\] +sie ist somit proportional zur Bogenlänge $s$. +Damit folgt, dass die Euler-Spirale eine Klothoide ist. + +\subsection{Eine Kugel schälen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{papers/fresnel/images/schale.pdf} +\caption{Schält man eine einen Streifen konstanter Breite beginnend am +Äquator von einer Kugel ab und breitet ihn in der Ebene aus, entsteht +eine Klothoide. +\label{fresnel:figure:schale}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/apfel.pdf} +\caption{Klothoide erhalten durch Abschälen eines Streifens von einem +Apfel (vgl.~Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}) +\label{fresnel:figure:apfel}} +\end{figure} +Schält man einen Streifen konstanter Breite beginnend parallel zum Äquator +von einer Kugel ab und breitet ihn in die Ebene aus, entsteht eine +Approximation einer Klothoide. +Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} zeigt blau den abgeschälten Streifen, +Abbildung~\ref{fresnel:figure:apfel} zeigt das Resultat dieses Versuches +an einem Apfel, das Youtube-Video \cite{fresnel:schale} des +Numberphile-Kanals illustriert das Problem anhand eines aufblasbaren +Globus. + +Windet sich die Kurve in Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} $n$ +mal um die vertikale Achse, bevor sie den Nordpol erreicht, dann kann +die Kurve mit der Funktion +\[ +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +\cos(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t/n) +\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden. +Der Tangentialvektor +\[ +\dot{\gamma}(t) += +\begin{pmatrix} +-\sin(t)\cos(t/n) - \cos(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t)\cos(t/n) - \sin(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t/n)/n +\end{pmatrix} +\] +hat die Länge +\[ +| \dot{\gamma}(t) |^2 += +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n}. +\] +Die Ableitung der Bogenlänge ist daher +\[ +\dot{s}(t) += +\sqrt{ +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n} +}. +\] + + +Der Krümmungsradius des blauen Streifens, der die Kugel im Punkt $P$ bei +geographischer $\vartheta$ berührt, hat die Länge der Tangente, die +die Kugel im Punkt $P$ berührt und im Punkt $Q$ durch die Achse der +Kugel geht (Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}). +Die Krümmung in Abhängigkeit von $\vartheta$ ist daher $\tan\vartheta$. + + + + diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex index 37e6bee..ceddbe0 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex @@ -42,8 +42,8 @@ C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) \qquad\text{und}\qquad S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) \] -erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung -verwenden. +erfüllen, kann man eine Methode zur numerischen Lösung von +Differentialgleichung verwenden. Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale} wurden auf diese Weise erzeugt. -- cgit v1.2.1