From 4d49e23d6382999ed696c403c46a6b8290ca2f72 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Wed, 24 Aug 2022 21:52:46 +0200 Subject: einarbeitung der Korrekturen --- buch/papers/kra/anwendung.tex | 22 +++++++++++++++++----- buch/papers/kra/loesung.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++--------- 2 files changed, 48 insertions(+), 14 deletions(-) diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6390d4f..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} +\label{kra:subsection:feder-masse-system} Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. @@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. @@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} H &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern @@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} @@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ @@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index dbbb7f6..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -49,8 +49,33 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -61,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -70,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -83,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. -- cgit v1.2.1