From 7404091c71358569437d1d633ba44d9b8202872e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Oct 2021 11:07:59 +0200 Subject: elliptische Funktionen --- buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima | 14 + buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile | 5 +- buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf | Bin 0 -> 17658 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex | 78 +++ buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 699 +++++++++++++++++++++++- 5 files changed, 794 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima b/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima new file mode 100644 index 0000000..86787ce --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima @@ -0,0 +1,14 @@ +/* ellipse.maxima */ + +y: b * sqrt(1 - x^2/a^2); + +e: sqrt(a^2-b^2); + +l1: sqrt((x+e)^2 + y^2); +l2: sqrt((x-e)^2 + y^2); + +LHS: l1^2 + l2^2 - 4*a^2; +RHS: 2 * l1 * l2; + +d2: LHS^2 - RHS^2; +expand(ratsimp(d2)); diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index ef2e6fc..afa70ba 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -3,8 +3,11 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: lemniskate.pdf +all: lemniskate.pdf ellipse.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex +ellipse.pdf: ellipse.tex + pdflatex ellipse.tex + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf new file mode 100644 index 0000000..9cdd2a1 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex new file mode 100644 index 0000000..f6f1344 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% ellipse.tex -- Abbildung der Ellipsen zur Herleitung der Jacobi +% elliptischen Funktionen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{0.72} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +% add image content here +\def\winkel{70} +\def\a{5} +\def\b{3} +\pgfmathparse{sqrt(\a*\a-\b*\b)} +\xdef\e{\pgfmathresult} + +\fill[color=gray!20] (0,0) -- plot[domain=0:\winkel,samples=100] + ({5*cos(\x)},{3*sin(\x)}) + -- cycle; +\draw (0,0) -- ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)}); +\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:\winkel,samples=100] + ({5*cos(\x)},{3*sin(\x)}); +\node at (5,0) [below right] {$a$}; +\node at (0,3) [above left] {$b$}; +\fill[color=red] ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)}) circle[radius=0.08]; +\draw[color=red,line width=1pt] (0,0) ellipse (5cm and 3cm); +%\node at ({5*cos(\winkel/2)},{3*sin(\winkel/2)}) [above right] {$u$}; + +\node at ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)}) [above right] {$P=(x,y)$}; + +\draw[->] (-5.2,0) -- (5.8,0);% coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.8);% coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (\e,0); +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (-\e,0); +\node[color=darkgreen] at ({0.5*\e},0) [below] {$e$}; +\node[color=darkgreen] at ({-0.5*\e},0) [below] {$-e$}; + + +\fill[color=blue] ({-\e},0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (-\e,0) [below] {$F_1$}; +\fill[color=blue] ({\e},0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\e,0) [below] {$F_2$}; + +\draw[color=blue] (0,3) -- (\e,0); +\draw[color=blue] (0,3) 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man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins +Auge fassen. + \subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +auf einer Ellipse. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +\end{figure} % based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals + +\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +\index{Ellipse}% +der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +\index{Brennpunkt}% +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +also $a$ sein. +Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +\[ +b^2+e^2=a^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +e^2 = a^2-b^2 +\] +sein muss. +Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +der Ellipse. + +\subsubsection{Ellipsengleichung} +Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\overline{PF_1}^2 +&= +y^2 + (x+e)^2 +\\ +\overline{PF_2}^2 +&= +y^2 + (x-e)^2 +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +\end{equation} +von den Brennpunkten, für die +\begin{equation} +\overline{PF_1}+\overline{PF_2} += +2a +\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +\end{equation} +gelten muss. +Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +\[ +\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +\] +erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +erfüllt. +Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +\[ +l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +\] +Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +auf die rechte Seite und quadriert. +Man muss also verifizieren, dass +\[ +(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +\] +In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +\[ +y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +\] +substituieren. +Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. + +\subsubsection{Normierung} +Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. + +Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +mindestens eine mit Halbeachse $1$. +Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll. +Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. + +Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +$\varepsilon$ auch mit +\[ +k += +\varepsilon += +\frac{e}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +\] +die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch quadrieren und umstellen +findet man +\[ +k^2a^2 = a^2-1 +\quad\Rightarrow\quad +1=a^2(k^2-1) +\quad\Rightarrow\quad +a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +\] + +Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +\[ +\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +\qquad\text{oder}\qquad +x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +\] + +\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +Die elliptischen Funktionen für einen Punkt auf der Ellipse mit Modulus $k$ +können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +Radiusvektor zum Punkt $P$ +darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +ausnützen möchten. +Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +noch unbestimmte Argument $u$. +Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. + +Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +vom Modulus ab. +Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +wir das $k$-Argument weg. + +Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +des Kreises. +Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. + +In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +die Funktionen +\[ +\begin{aligned} +&\text{sinus amplitudinis:}& +\operatorname{sn}(u,k)&= y \\ +&\text{cosinus amplitudinis:}& +\operatorname{cn}(u,k)&= \frac{x}{a} \\ +&\text{delta amplitudinis:}& +\operatorname{dn}(u,k)&=\frac{r}{a} +\end{aligned} +\] +Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +\[ +\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +\] +ist. +Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +berechnen, also gilt +\begin{equation} +r^2 += +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +x^2 + y^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +\end{equation} +Ersetzt man +$ +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +$, ergibt sich +\[ +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 ++ +\operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +\operatorname{dn}(u,k)^2 ++ +\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 += +1, +\] +woraus sich die Identität +\[ +\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +\] +ergibt. +Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +\[ +a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1-\operatorname{cn}(u,k)^2 += +(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1. +\] +Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +\begin{align*} +\operatorname{dn}(u,k)^2 +- +k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +&= +\frac{1}{a^2} += +\frac{a^2-a^2+1}{a^2} += +1-k^2. +\end{align*} + +\subsubsection{Ableitung} +Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +Beziehungen +\[ +\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +\qquad\text{und}\qquad +\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +\] +erfüllen. +So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. + +Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +Ableitungsformeln ergeben. +Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +\begin{align*} +\frac{dy}{d\varphi} +&= +\cos\varphi += +\frac{1}{a} x += +\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\frac{dx}{d\varphi} +&= +-a\sin\varphi += +-a y += +-a\operatorname{sn}(u,k). +\end{align*} +Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +\begin{align*} +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) += +\cos\varphi += +\frac{x}{a} += +\operatorname{cn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} +\operatorname{sn}(u,k) +&= +\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} += +-\sin\varphi += +-\operatorname{sn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +&= +\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} ++ +\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +\\ +&= +\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) ++ +\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +\\ +&= +\frac{x}{ar}(-ay) ++ +\frac{y}{ar} \frac{x}{a} += +\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +\\ +&= +-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +\\ +&= +-\frac{a^2-1}{ar} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +\\ +&=-k^2 +\frac{a}{r} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +\\ +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\frac{d\varphi}{du} +\end{align*} +Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +wählt, dass +\[ +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{r}{a} +\] +Damit haben wir die Ableitungsregeln +\begin{align*} +\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +&= +\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +\end{align*} + XXX als elliptische Integrale \\ XXX algebraische Beziehungen \\ XXX Additionstheoreme \\ @@ -16,10 +401,322 @@ XXX Perioden % use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic \subsection{Elliptische Funktionen und elliptische Integrale} + XXX Ableitungen \\ XXX Werte \\ \subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} +Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +Differentialgleichungen in geschlossener Form. +Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +\( +\ddot{x}(t) += +p(x(t)) +\) +mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. + +\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +finden. +Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +man +\[ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 += +\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +\] +Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +ausgedrückt werden. +\begin{align*} +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\biggl( +1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +\biggr) +\biggl( +1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +\biggr) +\\ +&= +k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +-(1+k^2) +\operatorname{sn}(u,k)^2 ++1. +\end{align*} +Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung +\begin{align*} +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +\\ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +\\ +&= +\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) +\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) +\\ +&= +-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 +- +(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 ++ +(1-k^2) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\biggl( +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +\biggr)^2 +&= +\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +\biggl( +1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +\biggr) +\biggl( +\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 +\biggr) +\\ +&= +-\operatorname{dn}(u,k)^4 +- +2\operatorname{dn}(u,k)^2 +-k^2+1. +\end{align*} +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2} +\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) + & y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2) + &k^2&1&1 &+&+&+ +\\ +\operatorname{cn}(u,k) + &y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) + &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ +\\ +\operatorname{dn}(u,k) + & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) + &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +nichtlineare Differentialgleichungen der Art +\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +muss. +\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +\end{table} + +Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen +Differentialgleichung erster derselben Art. +Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, +wenn wir eine beliebige der drei Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +oder +$\operatorname{dn}(u,k)$ +meinen. +Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der +Differentialgleichung +\begin{equation} +\operatorname{zn}'(u,k)^2 += +\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, +\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +\end{equation} +wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von +$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. +Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als +Lösung zu verwenden. + + +\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +\[ +2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) += +4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). +\] +Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, +bleibt die nichtlineare +Differentialgleichung +\[ +\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} += +\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. +\] +Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. + +\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\begin{equation} +\biggl( +\frac{dx}{dt} +\biggr)^2 += +Ax^4+Bx^2 + C +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +\begin{equation} +x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +\end{equation} +ist. +Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +\[ +\dot{x}(t) += +a\operatorname{zn}'(bt,k). +\] + +Indem wir diesen Lösungsansatz in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +einsetzen, erhalten wir +\begin{equation} +a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 += +a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++C +\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +\end{equation} +Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +erfüllt. +Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +\[ +\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++\frac{C}{a^2b^2} += +\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++ +\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +\] +Daraus ergeben sich die Gleichungen +\begin{align} +\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +& +\beta &= \frac{B}{b^2} +&&\text{und} +& +\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +Differentialgleichung} +A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +& +B&=\beta b^2 +&&\text{und}& +C &= \gamma a^2b^2 +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +\end{align} +für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +Funktion. + +Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +wird, die immer positiv sind. +Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. + +In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +Es folgt, dass die Gleichungen +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +auch $a$ und $b$ bestimmen. +Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +\[ +b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +\] +Damit folgt dann aus der zweiten +\[ +a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +\] +Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. + +\begin{beispiel} +Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +werden muss. +Die Tabelle sagt dann auch, dass +$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +folgt dann der Reihe nach +\begin{align*} +b&=\pm \sqrt{B} +\\ +a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +\\ +k^2 +&= +\frac{AC}{B^2}. +\end{align*} +Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +erhalten kann, nämlich +\[ +\frac{AC}{B^2} += +\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} += +\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Da alle Parameter im +Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +sind nicht von der Zeit abhängig. +Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +Lösung der Differentialgleichung. +Die allgmeine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +also die Form +\[ +x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +\] +wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. + +\subsubsection{Das mathematische Pendel} + XXX Differentialgleichung \\ XXX Mathematisches Pendel \\ -- cgit v1.2.1