From 7404091c71358569437d1d633ba44d9b8202872e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Mon, 25 Oct 2021 11:07:59 +0200
Subject: elliptische Funktionen

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima     |  14 +
 buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile    |   5 +-
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 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex |  78 +++
 buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex         | 699 +++++++++++++++++++++++-
 5 files changed, 794 insertions(+), 2 deletions(-)
 create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima
 create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf
 create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima b/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima
new file mode 100644
index 0000000..86787ce
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellipse.maxima
@@ -0,0 +1,14 @@
+/* ellipse.maxima */
+
+y: b * sqrt(1 - x^2/a^2);
+
+e: sqrt(a^2-b^2);
+
+l1: sqrt((x+e)^2 + y^2);
+l2: sqrt((x-e)^2 + y^2);
+
+LHS: l1^2 + l2^2 - 4*a^2;
+RHS: 2 * l1 * l2;
+
+d2: LHS^2 - RHS^2;
+expand(ratsimp(d2));
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index ef2e6fc..afa70ba 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -3,8 +3,11 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	lemniskate.pdf
+all:	lemniskate.pdf ellipse.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
 
+ellipse.pdf:	ellipse.tex
+	pdflatex ellipse.tex
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9cdd2a1
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex
new file mode 100644
index 0000000..f6f1344
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipse.tex
@@ -0,0 +1,78 @@
+%
+% ellipse.tex -- Abbildung der Ellipsen zur Herleitung der Jacobi
+%                elliptischen Funktionen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{0.72}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+% add image content here
+\def\winkel{70}
+\def\a{5}
+\def\b{3}
+\pgfmathparse{sqrt(\a*\a-\b*\b)}
+\xdef\e{\pgfmathresult}
+
+\fill[color=gray!20] (0,0) -- plot[domain=0:\winkel,samples=100]
+	({5*cos(\x)},{3*sin(\x)})
+	-- cycle;
+\draw (0,0) -- ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:\winkel,samples=100]
+	({5*cos(\x)},{3*sin(\x)});
+\node at (5,0) [below right] {$a$};
+\node at (0,3) [above left] {$b$};
+\fill[color=red] ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)}) circle[radius=0.08];
+\draw[color=red,line width=1pt] (0,0) ellipse (5cm and 3cm);
+%\node at ({5*cos(\winkel/2)},{3*sin(\winkel/2)}) [above right] {$u$};
+
+\node at ({5*cos(\winkel)},{3*sin(\winkel)}) [above right] {$P=(x,y)$};
+
+\draw[->] (-5.2,0) -- (5.8,0);% coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.8);% coordinate[label={right:$y$}];
+
+\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (\e,0);
+\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (-\e,0);
+\node[color=darkgreen] at ({0.5*\e},0) [below] {$e$};
+\node[color=darkgreen] at ({-0.5*\e},0) [below] {$-e$};
+
+
+\fill[color=blue] ({-\e},0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (-\e,0) [below] {$F_1$};
+\fill[color=blue] ({\e},0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\e,0) [below] {$F_2$};
+
+\draw[color=blue] (0,3) -- (\e,0);
+\draw[color=blue] (0,3) -- (-\e,0);
+\node[color=blue] at ($0.5*(0,3)+0.5*(\e,0)$) [below left] {$a$};
+\node[color=blue] at ($0.5*(0,3)+0.5*(-\e,0)$) [below right] {$a$};
+\fill[color=red] (0,3) circle[radius=0.08];
+
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+
+\begin{scope}[xshift=-9.5cm]
+\fill[color=gray!20] (0,0) -- (3,0) arc (0:70:3) -- cycle;
+\node[color=red] at (35:3) [above right] {$\varphi$};
+\draw (0,0) -- (70:3);
+\node at (70:1.7) [left] {$r$};
+\draw[->] (-3.2,0) -- (3.8,0);% coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.8);% coordinate[label={right:$y$}];
+\draw[color=red,line width=1pt] (0,0) circle[radius=3];
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (3,0) arc (0:70:3);
+\fill[color=red] (70:3) circle[radius=0.08];
+\node at (70:3) [above right] {$P=(x,y)$};
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index d3e5d62..4dc533a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -3,12 +3,397 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Jacobisch elliptische Funktionen
+\section{Jacobische elliptische Funktionen
 \label{buch:elliptisch:section:jacobi}}
 \rhead{Jacobische elliptische Funktionen}
+Die elliptischen Integrale von
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:integral}
+können dazu verwendet werden, die Länge eines Ellipsenbogens aus
+den Koordinaten der Endpunkte zu berechnen.
+Die trigonometrischen Funktionen drücken dagegen umgekehrt die
+Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis aus der Länge des
+Kreisbogens aus.
+Das elliptische Integral, welches die Bogenlänge auf einer Ellipse zwischen
+den Punkten $(1,0)$ und $(x,y)$ entsprecht also eher der Funktion
+$\arcsin y=\sin^{-1}y$.
+Möchte man Funktionen konstruieren, die die Eigenschaften der 
+trigonometrischen Funktionen auf die Geometrie von Ellipsen erweitern,
+dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
+Auge fassen.
+
 
 \subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
+\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
+elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
+auf einer Ellipse.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
+\end{figure}
 % based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+
+\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
+Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
+\index{Ellipse}%
+der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
+den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
+\index{Brennpunkt}%
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
+mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
+die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
+Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
+Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
+Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
+haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
+Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
+also $a$ sein.
+Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
+\[
+b^2+e^2=a^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+e^2 = a^2-b^2
+\]
+sein muss.
+Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
+Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
+der Ellipse.
+
+\subsubsection{Ellipsengleichung}
+Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\overline{PF_1}^2
+&=
+y^2 + (x+e)^2
+\\
+\overline{PF_2}^2
+&=
+y^2 + (x-e)^2
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
+\end{equation}
+von den Brennpunkten, für die 
+\begin{equation}
+\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
+=
+2a
+\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+\end{equation}
+gelten muss.
+Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+erfüllt.
+Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
+$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
+Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
+\[
+l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
+\]
+Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
+auf die rechte Seite und quadriert.
+Man muss also verifizieren, dass
+\[
+(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
+\]
+In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
+\[
+y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
+\]
+substituieren.
+Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
+Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
+
+\subsubsection{Normierung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
+von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
+Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
+kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
+Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
+
+Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
+weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
+mindestens eine mit Halbeachse $1$.
+Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
+Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll.
+Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
+In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
+zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
+
+Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
+$\varepsilon$ auch mit
+\[
+k
+=
+\varepsilon
+=
+\frac{e}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
+\]
+die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
+Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch quadrieren und umstellen
+findet man
+\[
+k^2a^2 = a^2-1
+\quad\Rightarrow\quad
+1=a^2(k^2-1)
+\quad\Rightarrow\quad
+a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
+\]
+
+Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
+\qquad\text{oder}\qquad
+x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
+\]
+
+\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
+Die elliptischen Funktionen für einen Punkt auf der Ellipse mit Modulus $k$
+können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
+Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
+Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
+Radiusvektor zum Punkt $P$
+darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
+ausnützen möchten.
+Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
+noch unbestimmte Argument $u$.
+Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
+
+Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
+vom Modulus ab.
+Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
+wir das $k$-Argument weg.
+
+Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
+Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
+des Kreises.
+Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
+die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
+
+In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
+die Funktionen
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{sinus amplitudinis:}&
+\operatorname{sn}(u,k)&= y \\
+&\text{cosinus amplitudinis:}&
+\operatorname{cn}(u,k)&= \frac{x}{a} \\
+&\text{delta amplitudinis:}&
+\operatorname{dn}(u,k)&=\frac{r}{a}
+\end{aligned}
+\]
+Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
+\[
+\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ist.
+Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
+berechnen, also gilt
+\begin{equation}
+r^2
+=
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+x^2 + y^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
+\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+\end{equation}
+Ersetzt man
+$
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
+$, ergibt sich
+\[
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
++
+\operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+\operatorname{dn}(u,k)^2
++
+\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
+=
+1,
+\]
+woraus sich die Identität
+\[
+\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ergibt.
+Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
+\[
+a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
++1-\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
++1.
+\]
+Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
+\begin{align*}
+\operatorname{dn}(u,k)^2
+-
+k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+&=
+\frac{1}{a^2}
+=
+\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
+=
+1-k^2.
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Ableitung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
+für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
+Beziehungen
+\[
+\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
+\]
+erfüllen.
+So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
+durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
+Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
+sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
+
+Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
+Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
+Ableitungsformeln ergeben.
+Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
+ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
+$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
+Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
+\begin{align*}
+\frac{dy}{d\varphi}
+&=
+\cos\varphi
+=
+\frac{1}{a} x
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\frac{dx}{d\varphi}
+&=
+-a\sin\varphi
+=
+-a y
+=
+-a\operatorname{sn}(u,k).
+\end{align*}
+Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
+elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
+\begin{align*}
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
+=
+\cos\varphi
+=
+\frac{x}{a}
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
+=
+-\sin\varphi
+=
+-\operatorname{sn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
+&=
+\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
++
+\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
+\\
+&=
+\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
++
+\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
+\\
+&=
+\frac{x}{ar}(-ay)
++
+\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
+=
+\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
+\\
+&=
+-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
+\\
+&=
+-\frac{a^2-1}{ar}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+\\
+&=-k^2
+\frac{a}{r}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+\\
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
+\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\frac{d\varphi}{du}
+\end{align*}
+Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
+wählt, dass
+\[
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{r}{a}
+\]
+Damit haben wir die Ableitungsregeln
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+\end{align*}
+
 XXX als elliptische Integrale \\
 XXX algebraische Beziehungen \\
 XXX Additionstheoreme \\
@@ -16,10 +401,322 @@ XXX Perioden
 % use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
 
 \subsection{Elliptische Funktionen und elliptische Integrale}
+
 XXX Ableitungen \\
 XXX Werte \\
 
 \subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
+Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
+Differentialgleichungen in geschlossener Form.
+Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
+\(
+\ddot{x}(t)
+=
+p(x(t))
+\)
+mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
+
+\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
+Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
+können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
+finden.
+Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
+man
+\[
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+=
+\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
+\]
+Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
+ausgedrückt werden.
+\begin{align*}
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\biggl(
+1-\operatorname{sn}(u,k)^2
+\biggr)
+\biggl(
+1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
+\biggr)
+\\
+&=
+k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
+-(1+k^2)
+\operatorname{sn}(u,k)^2 
++1.
+\end{align*}
+Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+\\
+&=
+\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
+\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
+\\
+&=
+-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
+-
+(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2
++
+(1-k^2)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\biggl(
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+\biggr)^2
+&=
+\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+\biggl(
+1-\operatorname{dn}(u,k)^2
+\biggr)
+\biggl(
+\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1
+\biggr)
+\\
+&=
+-\operatorname{dn}(u,k)^4
+-
+2\operatorname{dn}(u,k)^2
+-k^2+1.
+\end{align*}
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2}
+\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+	& y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2)
+		&k^2&1&1 &+&+&+
+\\
+\operatorname{cn}(u,k)
+	&y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
+		&-k^2	&2k^2-1&1-k^2 &-&&+
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+	& y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2)
+		&1	&1-k^2	&-(1-k^2)&+&+&-
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
+nichtlineare Differentialgleichungen der Art
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
+Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
+muss.
+\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
+\end{table}
+
+Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen
+Differentialgleichung erster derselben Art.
+Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
+Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$,
+wenn wir eine beliebige der drei Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+oder
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+meinen.
+Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der
+Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\operatorname{zn}'(u,k)^2
+=
+\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma,
+\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+\end{equation}
+wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von
+$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
+Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
+vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen.
+Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als
+Lösung zu verwenden.
+
+
+\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
+\[
+2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k)
+=
+4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k).
+\]
+Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$,
+bleibt die nichtlineare
+Differentialgleichung
+\[
+\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2}
+=
+\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3.
+\]
+Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
+Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
+
+\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
+Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{dx}{dt}
+\biggr)^2
+=
+Ax^4+Bx^2 + C
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
+Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
+\begin{equation}
+x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
+\end{equation}
+ist.
+Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
+\[
+\dot{x}(t) 
+=
+a\operatorname{zn}'(bt,k).
+\]
+
+Indem wir diesen Lösungsansatz in die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+einsetzen, erhalten wir
+\begin{equation}
+a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
+=
+a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
++C
+\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
+\end{equation}
+Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
+Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+erfüllt.
+Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
+die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
+Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
+\[
+\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
++\frac{C}{a^2b^2}
+=
+\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
++
+\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
+\]
+Daraus ergeben sich die Gleichungen
+\begin{align}
+\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
+&
+\beta &= \frac{B}{b^2}
+&&\text{und}
+&
+\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
+Differentialgleichung}
+A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
+&
+B&=\beta b^2
+&&\text{und}&
+C &= \gamma a^2b^2
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+\end{align}
+für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
+Funktion.
+
+Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
+Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
+$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
+wird, die immer positiv sind.
+Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
+
+In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
+es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
+Es folgt, dass die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
+auch $a$ und $b$ bestimmen.
+Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
+\[
+b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
+\]
+Damit folgt dann aus der zweiten
+\[
+a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
+\]
+Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
+Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
+Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
+
+\begin{beispiel}
+Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
+Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
+dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
+werden muss.
+Die Tabelle sagt dann auch, dass 
+$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
+Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+folgt dann der Reihe nach
+\begin{align*}
+b&=\pm \sqrt{B}
+\\
+a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
+\\
+k^2
+&=
+\frac{AC}{B^2}.
+\end{align*}
+Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+erhalten kann, nämlich
+\[
+\frac{AC}{B^2}
+=
+\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
+=
+\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Da alle Parameter im 
+Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
+festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
+Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
+autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
+sind nicht von der Zeit abhängig. 
+Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
+Lösung der Differentialgleichung.
+Die allgmeine Lösung der 
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
+also die Form
+\[
+x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
+\]
+wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
+von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
+
+\subsubsection{Das mathematische Pendel}
+
 XXX Differentialgleichung \\
 XXX Mathematisches Pendel \\
 
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