From 796815b4b22a3cae2db58125be8045a72fe30471 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 2 Aug 2022 21:17:50 +0200 Subject: Update einleitung.tex Korrektur der Einleitung --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 84 ++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 54 insertions(+), 30 deletions(-) diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 7d39cf4..44c3192 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -8,23 +8,23 @@ Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. -Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung +\begin{definition} + \index{Sturm-Liouville-Gleichung} +Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 \end{equation} - und schreibt die Gleichung um in: - \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 -\end{equation}, +\end{equation} +, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. +\end{definition} -diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} - \begin{equation} \begin{aligned} \label{eq:randbedingungen} @@ -32,28 +32,22 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} - kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. -Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind,also - +Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also \begin{equation} y(a) = y(b) = 0 \end{equation} - , so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn - \begin{equation} y'(a) = y'(b) = 0 \end{equation} - -ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden -Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{ali:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. +ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden. +Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar - \begin{equation} \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y \end{equation}. @@ -61,7 +55,6 @@ Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - dies gilt für das Intervall (a,b). Somit ergibt die Gleichung - \begin{equation} \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0 \end{equation}. @@ -71,28 +64,60 @@ Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion ode Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben. +% +%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" +% + \subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. +\begin{definition} + \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} + Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: + \begin{itemize} + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. + \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein. + \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$. + \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \end{itemize} +\end{definition} +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können. -\begin{itemize} - \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. - \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein. - \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. -\end{itemize} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können. +% +%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem" +% \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} -Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h: +Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. +\begin{definition} + \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} +Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: + \begin{itemize} + \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder + \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. + \end{itemize} +\end{definition} +Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. -\begin{itemize} - \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder - \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. -\end{itemize} +\begin{beispiel} + Das Randwertproblem + \begin{equation} + \begin{aligned} + x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0