From a1a811ef08f16f61382f4f7eecc45fd71bd1e1d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Mon, 15 Aug 2022 00:50:56 +0200 Subject: gegengelesene Fehler angepasst --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 10 +++++----- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 2 +- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 8 ++++---- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 6 +++--- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 16 ++++++++-------- 5 files changed, 21 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index a0a4152..c6dac06 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -10,7 +10,7 @@ Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigen Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. -Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. @@ -36,8 +36,8 @@ Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: \end{enumerate} -\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. -Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten, wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. +Es lohnt sich, das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite dasselbe Verhalten wie eine Membran aufweist, mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. \begin{figure} @@ -49,7 +49,7 @@ Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man s \end{figure} In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. -Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. +Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, es entsteht keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} @@ -85,7 +85,7 @@ Durch die Division mit $ dx $ entsteht Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt. Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. -Somit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form +Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form \begin{equation} \label{kreismembran:Ausgang_DGL} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index a872ed1..f6ba7d1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -83,7 +83,7 @@ Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialglei r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \label{eq:2nd_degree_PDE} \end{align} -Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen +Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen \begin{equation*} J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} \end{equation*} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 133ee31..ec27bd3 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist. Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen. -Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. @@ -17,12 +17,12 @@ Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_inte \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\ \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform} \end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +definiert ist, wobei $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet. Mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi. \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} \end{align} -Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +Dann wird angenommen, dass $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha, \label{equation:F_ohne_bessel} @@ -69,7 +69,7 @@ verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. \subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, dies ist in Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, diese sind im Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. \begin{satz}{Skalierung:} Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 468ee24..a9dcd95 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -17,7 +17,7 @@ Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ei + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 00 \label{eq:PDE_inf_membane} \\ - u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0