From c247f6fde1c0c41da9b1957b341190bc7e133a0d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 28 Dec 2021 13:39:03 +0100 Subject: improve readability --- buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 515 +--------------------------------- 1 file changed, 9 insertions(+), 506 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index e3ceefe..dc0141f 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -428,6 +428,14 @@ Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben. +Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wird erst später in +\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} auf +Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} gegeben. +Im Folgenden wird zunächst verifiziert, dass die Integraldarstellung +die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch +gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die +Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt. + \subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition} Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} @@ -508,7 +516,7 @@ Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen gemeinsam. -% XXX Beweis der Integraldarstellung der Gamma-Funktion + \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die @@ -659,511 +667,6 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst. Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur 337 Auswertungen des Integranden. -%% -%% Beta-Integrale -%% -%\subsection{Die Beta-Funktion} -% -%\begin{definition} -%\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} -%Das Beta-Integral ist das Integral -%\[ -%B(x,y) -%= -%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -%\] -%für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. -%\end{definition} -% -%Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. -%Für $y=1$ folgt ausserdem -%\[ -%B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}. -%\] -%Speziell gilt $B(1,1)=1$. -% -%\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral} -%Aus der Definition folgt direkt -%\begin{align*} -%B(x,y+1) -%&= -%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt -%= -%\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -%\\ -%&= -%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -%- -%\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt -%\\ -%&= -%B(x,y) - B(x+1,y) -%\end{align*} -%oder -%\begin{equation} -%B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1). -%\label{buch:rekursion:gamma:betarek1} -%\end{equation} -%% -%%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten -%% -%Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden. -%Dazu berechnet man -%\begin{align} -%B(x,y+1) -%&= -%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt -%\notag -%\\ -%&= -%\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1 -%+ -%\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt -%\notag -%\\ -%&= -% \frac{y}x B(x+1,y). -%\label{buch:rekursion:gamma:betarek2} -%\end{align} -%Durch Gleichsetzen -%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1} -%und -%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2} -%entsteht die Rekursionsformel -%\[ -%B(x,y)-B(x,y+1) -%= -%B(x+1,y) -%= -%\frac{x}{y}B(x,y+1) -%\] -%oder -%\begin{equation} -%B(x,y) -%= -%\frac{x+y}{y}B(x,y+1). -%\label{buch:rekursion:gamma:betarek3} -%\end{equation} -% -%\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion} -%Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} -%kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion -%durch die Gamma-Funktion zu finden. -%Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} -%ergibt sich zunächst -%\begin{align*} -%B(x,y) -%&= -%\frac{x+y}{y} -%B(x,y+1) -%= -%\frac{x+y}{y} -%\frac{x+y+1}{y+1} -%B(x,y+2) -%\\ -%&= -%\frac{x+y}{y} -%\frac{x+y+1}{y+1} -%\cdot -%\ldots -%\cdot -%\frac{x+y+n-1}{y+n-1} -%B(x,y+n) -%= -%\frac{(x+y)_n}{(y)_n} -%B(x,y+n) -%\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral -%geschrieben werden:} -%&= -%\frac{(x+y)_n}{(y)_n} -%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -%\end{align*} -%Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. -% -%\begin{lemma} -%\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} -%Für $n\in\mathbb{N}$ gilt -%\[ -%B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). -%\] -%\end{lemma} -% -%Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den -%Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss -%Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren -%$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. -%Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in -%das Integral. -%So ergibt sich -%\begin{align*} -%B(x,y) -%&= -%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -%\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -%\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral -%über das Interval $[0,n]$} -%&= -%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -%\int_0^n -%n^{x} -%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} -%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} -%\,\frac{ds}{n}. -%\\ -%&= -%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -%\int_0^n -%n^{x-1} -%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} -%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} -%\,ds. -%\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus} -%&= -%\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)} -%\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)} -%\int_0^n -%s^{x-1} -%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}} -%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1} -%\,ds. -%\\ -%&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds -%= -%\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}. -%\end{align*} -% -%\begin{satz} -%Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach -%\begin{equation} -%B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} -%\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} -%\end{equation} -%berechnet werden. -%\end{satz} -% -%\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} -%Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} -%untersuchen wir den Fall $y=1-x$. -%In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit -%\begin{equation} -%\Gamma(x)\Gamma(1-x) -%= -%B(x,1-x) -%= -%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. -%\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} -%\end{equation} -%Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von -%\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten, -%kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion -%an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden -%$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen. -%Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach: -%\[ -%\Gamma({\textstyle\frac12})^2 -%= -%\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt -%= -%\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt. -%\] -%Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus -%\[ -%\int_0^{\frac{\pi}2} -%\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}} -%2\sin s\cos s -%\,ds -%= -%2 -%\int_0^{\frac{\pi}2} -%\sin^2 s\,ds -%= -%2 -%\int_0^{\frac{\pi}2} -%\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds -%= -%\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds, -%\] -%wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben. -%Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich -%des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet -%das zweite Integral. -%Somit folgt -%\begin{equation} -%\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2} -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. -%\label{buch:rekursion:gamma:gamma12} -%\end{equation} -%Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat -%sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}} -%gemacht: -%{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?} -%Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man -%$(-\frac12)!$ als Wert -%\[ -%(-{\textstyle\frac12})! -%= -%\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1) -%= -%\Gamma({\textstyle\frac12}) -%= -%\sqrt{\frac{\pi}2} -%\] -%der Gamma-Funktion interpretiert. -% -%\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} -%Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt -%ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. -%Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative -%Form zu bringen. -%Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} -%wird damit -%\begin{align*} -%B(x,y) -%&= -%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -%\\ -%&= -%2 -%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1} -%\cdot \sin s\cos s\,ds -%\\ -%&= -%2 -%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds. -%\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}, -%die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet -%man die Formel} -%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds -%&= -%\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)} -%\end{align*} -%für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen. -% -%Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral -%$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab: -%\begin{align} -%B(x,y) -%&= -%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt -%\notag -%\\ -%&= -%\int_0^\infty -%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}} -%\frac{1}{(s+1)^{y-1}} -%\frac{ds}{(s+1)^2} -%\notag -%\\ -%&= -%\int_0^\infty -%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds, -%\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} -%\end{align} -%wobei wir -%\[ -%\frac{dt}{ds} -%= -%\frac{d}{ds} -%\frac{s}{s+1} -%= -%\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2} -%= -%\frac{1}{(s+1)^2} -%\] -%verwendet haben. -%Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -%% XXX Ort ergänzen -%dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion -%herzuleiten. -% -%Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ -%mit $dt=\frac12 ds$. -%Damit wird das Beta-Integral -%\begin{equation} -%B(x,y) -%= -%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt -%= -%\frac12 -%\int_{-1}^1 -%\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1} -%\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1} -%\,ds -%= -%2^{1-x-y} -%\int_{-1}^1 -%(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1} -%\,ds. -%\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} -%\end{equation} -% -%\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} -%Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die -%Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. -% -%\begin{satz}[Legendre] -%\[ -%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) -%= -%2^{1-2x}\sqrt{\pi} -%\Gamma(2x) -%\] -%\end{satz} -% -%\begin{proof}[Beweis] -%Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der -%Gamma-Funktion als -%\[ -%B(x,x) -%= -%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} -%\] -%schreibt. -%Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen. -% -%Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm} -%kann man das Beta-Integral zu -%\begin{align*} -%B(x,x) -%&= -%2^{1-2x} -%\int_{-1}^1 -%(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1} -%\,ds -%= -%2^{1-2x} -%\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds -%\end{align*} -%vereinfachen. -%Der Integrand ist gerade, es folgt -%\[ -%B(x,x) -%= -%2^{1-2x} -%\cdot 2 -%\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds. -%\] -%Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form -%eines Beta-Integrals gebracht werden: -%\begin{align*} -%2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds -%&= -%\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}} -%= -%\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt -%= -%B({\textstyle\frac12},x). -%\end{align*} -%In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$ -%verwendet. -%Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen -%schreiben, nämlich als -%\[ -%B({\textstyle\frac12},x) -%= -%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}. -%\] -%Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt -%\begin{align*} -%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} -%&= -%\frac1{2^{2x-1}} -%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})} -%\\ -%\Rightarrow\qquad -%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) -%&= -%2^{1-2x} -%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x) -%= -%2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x), -%\end{align*} -%wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben. -%\end{proof} -% -%Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man -%\[ -%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1) -%\qquad\Rightarrow\qquad -%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}, -%\] -%in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert. -% -%\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} -%Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als -%\begin{equation} -%\binom{n}{k} -%= -%\frac{n!}{(n-k)!\,k!} -%= -%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -%= -%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -%= -%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} -%\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} -%\end{equation} -%geschrieben werden. -%Die Rekursionsbeziehung -%\[ -%\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} -%\] -%der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, -%die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die -%Binomialkoeffizienten macht daraus -%\[ -%\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} -%= -%\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} -%+ -%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, -%\] -%die für ganzzahlige Argumente gilt. -%Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. -%\begin{align*} -%\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -%&= -%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -%+ -%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -%\\ -%\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -%&= -%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -%+ -%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -%\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe -%der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren -%mit dem gemeinsamen Nenner -%$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} -%\Gamma(n) -%&= -%(k-2) -%\Gamma(n-1) -%+ -%(n-k-1) -%\Gamma(n-1) -%\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf -%die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen -%ein Faktor -%$\Gamma(n-1)$ auftritt:} -%(n-1)\Gamma(n-1) -%&= -%(k-2)\Gamma(n-1) -%+ -%(n+k-1)\Gamma(n-1) -%\\ -%n-1 -%&= -%k-2 -%+ -%n-k-1 -%\end{align*} -% % % -- cgit v1.2.1