From cc6b7320b8de4f36bc4a6516af87c66a108bc81c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Fri, 19 Aug 2022 15:01:01 +0200 Subject: 1 satz --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 065c077..f9e34d5 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -98,6 +98,7 @@ und Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. +Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -- cgit v1.2.1 From 1d82e0588b95188264168223fd0337529e88acf0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:10:36 +0200 Subject: =?UTF-8?q?koordinatensystem=20=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/img/coordinates.png | Bin 0 -> 1215422 bytes buch/papers/parzyl/teil0.tex | 20 ++++++++++---------- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 24 +++++++++++++++++------- 3 files changed, 27 insertions(+), 17 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/coordinates.png diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png new file mode 100644 index 0000000..0ea3701 Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index f9e34d5..3bf9257 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -73,26 +73,26 @@ Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein kr bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} - x & = \sigma \tau \\ + x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} - y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + y & = \sigma \tau\\ z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln +Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) + x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} und \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). + x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). \end{equation} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} - \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein - konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem. @@ -124,11 +124,11 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 5ba9de8..fbe5711 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -108,21 +108,31 @@ Dies kann umgeformt werden zu Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. - - +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst \begin{equation} - x = \sigma \tau, + x = c_1^2 - c_2^2 , \end{equation} \begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), + y = 2c_1 c_2, \end{equation} -so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file +so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. + -- cgit v1.2.1 From db498caa668ca8d0fa3e51de0f3668a47325d2e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:16:00 +0200 Subject: align --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 12 +++++------- 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index fbe5711..ab0e971 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -127,12 +127,10 @@ kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. %\end{equation} %so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{equation} - x = c_1^2 - c_2^2 , -\end{equation} -\begin{equation} - y = 2c_1 c_2, -\end{equation} -so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -- cgit v1.2.1 From d2cb5860b83b16ef466a23473e8366a686ce20f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:23:30 +0200 Subject: jetz aber --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index ab0e971..0cf4283 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -131,6 +131,6 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ y &= 2c_1 c_2, \end{align} -so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -- cgit v1.2.1