From e4cdfc5fcd1f23acdeb52c80639d9327e8ca3e89 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 28 Dec 2021 14:10:45 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Orthogonalit=C3=A4t=20der=20Bessel-Funktionen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/050-differential/bessel.tex | 27 +++++++++++++++++++++++++-- buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex | 2 +- buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex | 10 +++++----- 3 files changed, 31 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 5cf15b5..b07002d 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -20,14 +20,37 @@ die Bessel-Funktionen. \subsection{Die Besselsche Differentialgleichung} % XXX Wo taucht diese Gleichung auf Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung -\[ +\begin{equation} x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2-\alpha^2)y = 0 -\] +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +\end{equation} zweiter Ordnung für eine auf dem Interval $[0,\infty)$ definierte Funktion $y(x)$. Der Parameter $\alpha$ ist eine beliebige komplexe Zahl $\alpha\in \mathbb{C}$, die Lösungsfunktionen hängen daher von $\alpha$ ab. +\subsubsection{Eigenwertproblem} +Die Besselsche Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator +\index{Bessel-Operator}% +\[ +B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + x^2 +\] +schreiben. +Eine Lösung $y(x)$ der Gleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +erfüllt +\[ +By += +x^2y''+xy+x^2y +=\alpha^2 y, +\] +ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert +$\alpha$. + +\subsubsection{Indexgleichung} Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Art~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} mit \[ diff --git a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex index 4bd9c0d..15a0215 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex @@ -461,7 +461,7 @@ e^{-x^2-\frac{sa^2}{4x^2}} \int_0^\infty e^{-\left(x^2+\frac{sa^2}{4x^2}\right)}\,dx. \label{buch:integrale:eqn:laplaceerf} \end{align} -Der Grenzwert im ersten Term ist nach Definition der Fehlerfunktion $1$. +Der Grenzwert im ersten Term ist $1$, nach Definition der Fehlerfunktion. Schreiben wir $b=a\sqrt{s}/2$, dann wird das Integral im zweiten Term \begin{equation} I(b) diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex index b081017..5d391f3 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex @@ -450,11 +450,11 @@ r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0 \end{aligned} \] sind. -Durch eine geeignete Wahl der Funktion $s(r)$ kann jetzt der -Zusammenhang mit der Besselschen Differentialgleichung hergestellt werden. -Ihre Lösungen zu verschiedenen Werten des Parameters müssen also -orthogonal sein, insbesondere sind die Besselfunktion $J_\nu(r)$ -und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. + +Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator. +Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten +des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die +Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. % % Orthogonale Polynome -- cgit v1.2.1