From 3aba88ca005ce951e8052d41d1cb4b448971c3ad Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: canuel <cattaneo.manuel@hotmail.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 16:19:51 +0200
Subject: chapter about recurrence relation of Legendre Associated Functions
 and Spherical Harmonics

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 buch/papers/kugel/packages.tex            |   4 +-
 buch/papers/kugel/proofs.tex              |   2 +-
 buch/papers/kugel/references.bib          |   9 ++
 buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 166 ++++++++++++++++++++++++++++--
 4 files changed, 169 insertions(+), 12 deletions(-)

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index ead7653..c02589f 100644
--- a/buch/papers/kugel/packages.tex
+++ b/buch/papers/kugel/packages.tex
@@ -16,5 +16,5 @@
     \node[gray, anchor = center] at ({#1 / 2}, {#2 / 2}) {\Huge \ttfamily \bfseries TODO};
   \end{tikzpicture}}
 
-\DeclareMathOperator{\sphlaplacian}{\nabla^2_{\mathit{S}}}
-\DeclareMathOperator{\surflaplacian}{\nabla^2_{\partial \mathit{S}}}
+\DeclareMathOperator{\sphlaplacian}{\nabla^2_{S}}
+\DeclareMathOperator{\surflaplacian}{\nabla^2_{\partial S}}
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index 143caa8..4fbef26 100644
--- a/buch/papers/kugel/proofs.tex
+++ b/buch/papers/kugel/proofs.tex
@@ -166,7 +166,7 @@
 \end{proof}
 
 
-\begin{lemma}
+\begin{lemma}\label{kugel:lemma:sol_associated_leg_eq}
   If $Z_n(z)$ is a solution of the Legendre equation \eqref{kugel:eqn:legendre},
   then
   \begin{equation*}
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index e5d6452..e3c0f85 100644
--- a/buch/papers/kugel/references.bib
+++ b/buch/papers/kugel/references.bib
@@ -17,6 +17,15 @@
 	file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/SN4YUNQC/Carvalhaes and de Barros - 2015 - The surface Laplacian technique in EEG Theory and.pdf:application/pdf},
 }
 
+@article{implementation,
+	title = {New Implementation of Legendre Polynomials for Solving Partial Differential Equations},
+	issn = {272767969},
+	url = {https://www.researchgate.net/publication/272767969_New_Implementation_of_Legendre_Polynomials_for_Solving_Partial_Differential_Equations},
+	shorttitle = {Implementation og Legendre Polynom},
+	date = {2013-12},
+	author = {Ali Davari, Abozar Ahmadi}
+}
+
 @video{minutephysics_better_2021,
 	title = {A Better Way To Picture Atoms},
 	url = {https://www.youtube.com/watch?v=W2Xb2GFK2yc},
diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
index 72f7402..7dcb461 100644
--- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
+++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
@@ -313,22 +313,20 @@ obtain the \emph{associated Legendre functions}.
   The functions
   \begin{equation}
     P^m_n (z) = (1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m}}{dz^{m}} P_n(z)
-      = \frac{1}{2^n n!}(1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m+n}}{dz^{m+n}}(1-z^2)^n 
+      = \frac{1}{2^n n!}(1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m+n}}{dz^{m+n}}(1-z^2)^n, \quad |m|<n
   \end{equation}
   are known as Ferrers or associated Legendre functions.
 \end{definition}
+The constraint $|m|<n$, can be justified by considering Eq.\eqref{kugel:eq:associated_leg_func}, in which the derivative of degree $m+n$ is present. A derivative to be well defined must have an order that is greater than zero. Furthermore, it can be seen that this derivative is applied on a polynomial of degree $2n$. As is known from Calculus 1, if you derive a polynomial of degree $2n$ more than $2n$ times, you get zero, which is a trivial solution in which we are not interested.
 
-\kugeltodo{Discuss $|m| \leq n$.}
-
-\if 0
-The constraint $|m|<n$, can be justified by considering Eq.\eqref{kugel:eq:associated_leg_func}, in which the derivative of degree $m+n$ is present. A derivative to be well defined must have an order that is greater than zero. Furthermore, it can be seen that this derivative is applied on a polynomial of degree $2n$. As is known from Calculus 1, if you derive a polynomial of degree $2n$ more than $2n$ times, you get zero, which is a trivial solution in which we are not interested.\newline
 We can thus summarize these two conditions by writing:
 \begin{equation*}
     \begin{rcases}
         m+n \leq 2n &\implies m \leq n \\
         m+n \geq 0  &\implies  m \geq -n
-    \end{rcases} |m| \leq n.
+    \end{rcases} \; |m| \leq n.
 \end{equation*}
+\if 0
 The set of functions in Eq.\eqref{kugel:eq:sph_harm_0} is named \emph{Spherical Harmonics}, which are the eigenfunctions of the Laplace operator on the \emph{spherical surface domain}, which is exactly what we were looking for at the beginning of this section.
 \fi
 
@@ -345,7 +343,7 @@ domain and combine it with $\Phi(\varphi)$ to get the full result:
 \begin{equation*}
     f(\vartheta, \varphi)
       = \Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)
-      = P^m_n (\cos \vartheta) e^{im\varphi}.
+      = P^m_n (\cos \vartheta) e^{im\varphi}, \quad |m|<n.
 \end{equation*}
 This family of functions, which recall are the solutions of the eigenvalue
 problem of the surface spherical Laplacian, are the long anticipated
@@ -356,9 +354,9 @@ $Y^m_n(\vartheta, \varphi)$.
   \label{kugel:def:spherical-harmonics}
   The functions
   \begin{equation*}
-    Y^m_n (\vartheta, \varphi) = P^m_n(\cos \vartheta) e^{im\varphi},
+    Y^m_n (\vartheta, \varphi) = P^m_n(\cos \vartheta) e^{im\varphi}, \quad |m|<n
   \end{equation*}
-  where $m, n \in \mathbb{Z}$ and $|m| < n$ are called (unnormalized) spherical
+  where $m, n \in \mathbb{Z}$ are called (unnormalized) spherical
   harmonics.
 \end{definition}
 
@@ -645,6 +643,156 @@ harmonics or write $Y^m_n$, we mean the orthonormal spherical harmonics of
 definition \ref{kugel:def:spherical-harmonics-orthonormal}.
 
 \subsection{Recurrence Relations}
+The idea of this subsection is to introduce first some recursive relations regarding the Associated Legendre Functions, defined in eq.\eqref{kugel:def:ferrers-functions}. Subsequently we will extend them, in order to derive recurrence formulas for the case of Spherical Harmonic functions as well. 
+\subsubsection{Associated Legendre Functions}
+To start this journey, we can first write the following equations, which relate the Associated Legendre functions of different indeces $m$ and $n$ recursively:
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item $(2n+1) x P^m_n(z)= (m+n) P^m_{n-1}(z) + (n-m+1) P^m_{n+1}(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_1}
+  \item $\dfrac{2mz}{\sqrt{1-z^2}} P^m_n(z) = P^{m+1}_n(z) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_2}
+  \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ P^{m+1}_{n+1}(z) - P^{m+1}_{n-1}(z) \right]$,  \label{kugel:eq:rec_rel_3}
+  \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(z) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(z) \right]$.  \label{kugel:eq:rec_rel_4}
+\end{enumerate}
+Much of the effort will be proving this bunch of equalities. Then, in the second part, where we will derive the recursion equations for $Y^m_n(\vartheta,\varphi)$, we will basically reuse the ones presented above.
+
+Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are widely used in some software implementations, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion}.
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item 
+  \begin{proof}
+    This is the relation that links the associated Legendre functions with the same $m$ index but different $n$. Using \ref{} \kugeltodo{ref alla recurrence dei polinomi di legendre (è da qualche parte nel libro)}, we have 
+    \begin{equation*}
+      (n+1)P_{n+1}(z)-(2n+1)xP_n(z)+nP_{n-1}(z)=0,
+    \end{equation*}
+    that can be differentiated $m$ times, obtaining
+    \begin{equation}\label{kugel:eq:rec_1}
+      (n+1)\frac{d^mP_{n+1}}{dz^m}-(2n+1) \left[z \frac{d^m P_n}{dz^m}+ m\frac{d^{m-1}P_{n-1}}{dz^{m-1}} \right] + n\frac{d^m P_{n-1}}{dz^m}=0.
+    \end{equation}
+    To continue this derivation, we need the following relation:
+    \begin{equation}\label{kugel:eq:rec_2}
+      \frac{dP_{n+1}}{dz} - \frac{dP_{n-1}}{dz} = (2n+1)P_n.
+    \end{equation}
+    The latter will not be derived, because it suffices to use the definition of the Legendre Polynomials $P_n(x)$ to check it.
+    
+    We can now differentiate the just presented eq.\eqref{kugel:eq:rec_2} $m-1$ times, that will become
+    \begin{equation}\label{kugel:eq:rec_3}
+      \frac{d^mP_{n+1}}{dx^m} - \frac{d^mP_{n-1}}{dx^m} = (2n+1)\frac{d^{m-1}P_n}{dx^{m-1}}.
+    \end{equation}
+    Then, using eq.\eqref{kugel:eq:rec_3} in eq.\eqref{kugel:eq:rec_1}, we will have
+    \begin{equation}\label{kugel:eq:rec_4}
+      (n+1)\frac{d^mP_{n+1}}{dx^m}- (2n+1)\frac{d^mP_{n+1}}{dx^m} -m\left[\frac{d^m P_{n+1}}{dx^m}+ \frac{d^{m}P_{n-1}}{dx^m}\right] + n\frac{d^m P_{n-1}}{dx^m}=0.
+    \end{equation}
+    Finally, multiplying both sides by $(1-x^2)^{\frac{m}{2}}$ and simplifying the expression, we can rewrite eq.\eqref{kugel:eq:rec_4} in terms of $P^m_n(x)$, namely
+    \begin{equation*}
+      (n+1-m)P^m_{n+1}(x)-(2n+1)xP^m_n(x)+(m+n)P^m_{n-1}(x)=0,
+    \end{equation*}
+    that rearranged, will be
+    \begin{equation*}
+      (2n+1) x P^m_n(x)= (m+n) P^m_{n-1}(x) + (n-m+1) P^m_{n+1}(x).
+    \end{equation*}
+  \end{proof}
+  
+  \item
+  \begin{proof}
+    This relation, unlike the previous one, link three expression with the same $n$ index but different $m$. 
+    
+    In the proof of Lemma \ref{kugel:lemma:sol_associated_leg_eq}, at some point we ran into this expression.
+    \begin{equation*}
+      (1-x^2)\frac{d^{m+2}P_n}{dx^{m+2}} - 2(m+1)x \frac{d^{m+1}P_n}{dx^{m+1}} + [n(n+1)-m(m+1)]\frac{d^mP_n}{dx^m} = 0,
+    \end{equation*}
+    that, if multiplied by $(1-x^2)^{\frac{m}{2}}$, will be
+    \begin{equation*}
+      (1-x^2)^{\frac{m}{2}+1}\frac{d^{m+2}P_n}{dx^{m+2}} - 2(m+1)x (1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m+1}P_n}{dx^{m+1}} + [n(n+1)-m(m+1)](1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^mP_n}{dx^m} = 0.
+    \end{equation*}
+    Therefore, as before, expressing it in terms of $P^m_n(x)$:
+    \begin{equation*}
+      P^{m+2}_n(x) - \frac{2(m+1)x}{\sqrt{1-x^2}}P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m+1)]P^m_n(x)=0.
+    \end{equation*}
+    Furthermore, we can adjust the indeces and terms, obtaining
+    \begin{equation*}
+      \frac{2mx}{\sqrt{(1-x^2)}} P^m_n(x) = P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(x)
+    \end{equation*}
+  
+  \end{proof}
+  
+  \item
+  \begin{proof}
+    To derive this expression, we can multiply eq.\eqref{kugel:eq:rec_3} by $(1-x^2)^{\frac{m}{2}}$ and, as always, we could express it in terms of $P^m_n(x)$:
+    \begin{equation*}
+      P^m_{n+1}(x) - P^m_{n-1}(x) = (2n+1)\sqrt{1-x^2}P^{m-1}_n(x).
+    \end{equation*}
+    Afer that we can divide by $2n+1$ resulting in
+    \begin{equation}\label{kugel:eq:helper}
+      \frac{1}{2n+1}[P^m_{n+1}(x) - P^m_{n-1}(x)] = \sqrt{1-x^2}P^{m-1}_n(x).
+    \end{equation}
+    To conclude, we arrange the indeces differently:
+    \begin{equation*}
+      \sqrt{1-x^2}P^{m}_n(x)=\frac{1}{2n+1}[P^{m+1}_{n+1}(x) - P^{m+1}_{n-1}(x)].
+    \end{equation*}
+  \end{proof}
+
+  \item
+  \begin{proof}
+    For this proof we can rely on (\ref{kugel:eq:rec_rel_1}), and therefore rewrite (\ref{kugel:eq:rec_rel_2}) as 
+    \begin{equation*}
+      \frac{2m}{(2n+1)\sqrt{1-x^2}} \left[ (m+n)P^m_{n-1}(x) + (n-m+1)P^m_{n+1}(x) \right] = P^{m+1}_n(x) + [ n(n+1)-m(m-1) ]P^{m-1}_n(x).
+    \end{equation*}
+    Rewriting then $P^{m-1}_n(x)$ using eq.\eqref{kugel:eq:helper}, we will have
+    \begin{align*}
+      \frac{2m}{(2n+1)\sqrt{1-x^2}} &\left[ (m+n)P^m_{n-1}(x) + (n-m+1)P^m_{n+1}(x) \right] = P^{m+1}_n(x) \\
+      &+ \frac{n(n+1)-m(m-1)}{(2n+1)\sqrt{1-x^2}} \left[ P^m_{n+1}(x)-P^m_{n-1}(x) \right].
+    \end{align*}
+    The last equation, after some algebric rearrangements, it is easy to show that it is equivalent to
+    \begin{equation*}
+      \sqrt{1-x^2} P^m_n(x) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(x) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(x) \right]
+    \end{equation*}
+  \end{proof}
+
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Spherical Harmonics}
+The goal of this subsection's part is to apply the recurrence relations of the $P_n(z)$ functions to the Spherical Harmonics. 
+
+With some little adjustments we will be able to have recursion equations for them too. As previously written the most of the work is already done. Now it is only a matter of minor mathematical operations/rearrangements.
+
+We can start by listing all of them:
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{1}{(2n+1)\cos \vartheta} \left[ (m+n)Y^m_{n-1}(\vartheta, \varphi) + (m-n+1)Y^m_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \begin{proof}
+    We can multiply both sides of equality in eq.\eqref{} by $e^{im \varphi}$ and perform the substitution $z=\cos \vartheta$. After a few simple algebraic steps, we will obtain the relation we are looking for
+  \end{proof}
+  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{\tan \vartheta}{2m}\left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right]$
+  \begin{proof}
+    In this proof, as before, we can perform the substitution $z=\cos \vartheta$, and notice that $\sqrt{1-z^2}=\sin \vartheta$, hence, the relation in eq.\eqref{} will be
+    \begin{equation*}
+      \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta) =  P^{m+1}_n(\cos \vartheta) + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta).
+    \end{equation*}
+    The latter, multiplied by $e^{im\varphi}$, becomes
+    \begin{align*}
+      \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &=  P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} \\
+      &= P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n (\cos \vartheta)e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi} \\
+      &= Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \\
+    \end{align*}
+    Finally, after some ``cleaning''
+    \begin{equation*}
+      Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{\tan \vartheta}{2m} \left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right]
+    \end{equation*}
+  \end{proof}
+  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{-i\varphi}}{ (2n+1)\sin \vartheta } \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) - Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \begin{proof}
+    Now we can consider eq.\eqref{}, and multiply it by $e^{im\varphi}$. After the usual substitution $z=\cos \vartheta$, we have 
+    \begin{align*}
+      \sin \vartheta P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &= \dfrac{e^{im\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta) - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)\right] \\
+      &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi} - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}\right] \\
+    \end{align*}
+    A few manipulations later, we will obtain
+    \begin{equation*}
+      Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{e^{-i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi)-Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]
+    \end{equation*}
+  \end{proof}
+  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ (n+m)(n+m-1)Y^{m-1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) - (n-m+1)(n-m+2)Y^{m-1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \begin{proof}
+    This proof is very similar to the previous one. We just have to perform the substitution $z = \cos \vartheta$, as always. Secondly we can multiply the right side by $e^{im\varphi}$ and the left one too but in a different form, namely $e^{im\varphi}=e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi}$. Then it is only a question of recalling the definition of $Y^m_n(\vartheta, \varphi)$.
+  \end{proof}
+\end{enumerate}
 
 \section{Series Expansions in $C(S^2)$}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 6e6ba027d2d03bcf4d53cef17326130cd49c9e66 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Wed, 24 Aug 2022 22:46:42 +0200
Subject: corrections

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 buch/papers/ellfilter/einleitung.tex    |  8 ++++----
 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex      | 23 +++++++++------------
 buch/papers/ellfilter/jacobi.tex        | 36 ++++-----------------------------
 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 11 +++++-----
 4 files changed, 24 insertions(+), 54 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
index 581d452..164bc41 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
@@ -2,10 +2,10 @@
 
 Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elemente in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
 Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter.
-Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
+Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englisch \textit{time-invariant system}).
 Durch die Linearität werden beim Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern.
 Diese Eigenschaft macht es sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
-Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
+Die Übertragungsfunktion $H(\Omega)$ eines linearen Filters im Frequenzbereich ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
 Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit.
 Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplexkonjugierte Nullstellen.
 
@@ -40,7 +40,7 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben
 $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
 Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
 $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich.
+Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in den Sperrbereich.
 Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
 
 Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
@@ -68,7 +68,7 @@ Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
 In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht.
 Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen.
 Besonders effizient sind Filter mit Equiripple-Verhalten, wessen Welligkeit optimal definiert wird für eine maximal steile Flanke, während die maximale Abweichung zum idealen Filter begrenzt ist.
-Die Welligkeit beansprucht dabei einen begrenzen Verstärkungsintervall und nützt diesen Vollständig aus, indem sie periodisch die Grenzen des Intervalls berührt.
+Die Welligkeit beansprucht dabei einen begrenzen Verstärkungsintervall und nützt diesen vollständig aus, indem sie periodisch die Grenzen des Intervalls berührt.
 Das Tschebyscheff-1 Filter, zum Beispiel, hat Equiripple-Verhalten im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
 Beim Tschebyscheff-2 Filter ist es umgekehrt.
 
diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index 81821c1..dd64a3c 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -9,9 +9,9 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen
 Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
 Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben.
 Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird.
-Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. 
+Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben.
 Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
-Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
+Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor vor.
 Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
 Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.
 
@@ -58,12 +58,15 @@ Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich
 \subsection{Gradgleichung}
 
 Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
-In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
+In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imaginäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
 Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/k.pgf}
-    \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.}
+    \caption{
+        Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.
+        In der rechten Grafik sind $K$ und $K^\prime$ gegenübergestellt, wobei alle möglichen Kombinationen auf der eingezeichneten Ortskurve liegen.
+    }
     \label{ellfilter:fig:kprime}
 \end{figure}
 $K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten.
@@ -84,7 +87,7 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 \quad \text{wobei} \quad
 N = 2L+r.
 \end{equation}
-Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
+Die Herleitung ist sehr umfangreich und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
 
 \subsection{Berechnung der rationalen Funktion}
 
@@ -102,7 +105,7 @@ Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_
     }
     \label{ellfilter:fig:pn}
 \end{figure}
-Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind.
+Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der Transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind.
 Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet:
 \begin{align}
     n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\
@@ -116,7 +119,7 @@ wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$.
 
 \section{Elliptisches Filter}
 
-Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$.
+Um ein elliptisches Filter auszulegen, werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$.
 Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei
 \begin{equation}
     |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*),
@@ -124,9 +127,3 @@ Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfe
 wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet.
 Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen.
 Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen.
-
-% \subsection{Schlussfolgerung}
-
-% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
-% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
-% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index 841cd7d..06548a5 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Jacobische elliptische Funktionen}
 
-Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht.
+Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits andeutet, elliptische Funktionen gebraucht.
 Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen.
 Es ist daher naheliegend, dass der Kosinus des Tschebyscheff-Filters gegen ein elliptisches Pendant ausgetauscht werden könnte.
 Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es hier ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.
@@ -32,7 +32,7 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
 \end{equation}
 mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden.
 
-Dabei wird das vollständige und unvollständige elliptische integral unterschieden.
+Dabei wird das vollständige und unvollständige elliptische Integral unterschieden.
 Beim vollständigen Integral
 \begin{equation}
     K(k)
@@ -46,7 +46,7 @@ Beim vollständigen Integral
         }
     }
 \end{equation}
-wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
+wird über ein Viertelellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
 Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
 Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
 
@@ -89,38 +89,10 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem elliptischen Integral
     w.
 \end{equation}
 
-% \begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
-%     \phi
-%     =
-%      F^{-1}(z, k)
-%      =
-%      \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
-%      =
-%     \sin^{-1} ( w )
-% \end{equation}
-
-% \begin{equation}
-%     F(\phi, k)
-%     =
-%     z
-%     =
-%     F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
-%     =
-%     F( \sin^{-1} ( w ), k)
-% \end{equation}
-
-% \begin{equation}
-%     \sn^{-1}(w, k)
-%     =
-%     F(\phi, k),
-%     \quad
-%     \phi = \sin^{-1}(w)
-% \end{equation}
-
 \subsection{Die Funktion $\sn^{-1}$}
 
 Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären.
-Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion.
+Für das elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion.
 Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral
 \begin{align}
     \sn^{-1}(w, k)
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 0a48949..327c5e7 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder
 \end{figure}
 
 Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
+Die genauere Betrachtung wird uns helfen, die elliptischen Filter besser zu verstehen.
 Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
 Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
 \begin{align}
@@ -73,7 +73,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$,
     },
 \end{equation}
 bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
-Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
+Der reelle Arcuscosinus ist bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
 Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
 Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
 Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
@@ -82,10 +82,11 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebe
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
-    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
+    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen Ebene.}
     \label{ellfilter:fig:arccos}
 \end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
+Wegen der Periodizität des Kosinus werden periodisch Werte in der $z$-Ebene auf den gleichen Wert in $w$ abgebildet.
+Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor.
 Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
 
 
@@ -105,4 +106,4 @@ Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Null
     \label{ellfilter:fig:arccos2}
 \end{figure}
 Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet.
-Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$.
+Für $|w| \le 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$.
-- 
cgit v1.2.1


From 0b3bf5fb8563de4eb3d51e803718baf018e35c10 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Fri, 26 Aug 2022 10:50:47 +0200
Subject: Korrekturen

Wahrscheinlich die letzten
---
 buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex             |  9 ---------
 buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex            |  6 +++---
 buch/papers/sturmliouville/main.tex                  | 13 +++++++++----
 .../papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 ++++++++--------
 .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 ++++++++++----------
 5 files changed, 30 insertions(+), 34 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index c0a6e8f..82046ba 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -3,12 +3,3 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:sec:examples}}
-\rhead{Beispiele}
-
-% Fourier: Erik work
-\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
-
-% Tschebyscheff
-\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 6c5fb59..9912595 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
 als
 \begin{equation}
 	\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+	\frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) +
 	\lambda w(x)) y
 	=
 	0 
@@ -49,12 +49,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
-Differentialgleichung genau zu bestimmen.
+Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index a36e85a..9d4ce96 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -23,12 +23,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das
 Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem
 vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind.
 
-\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
+
 %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
-\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
-%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index dfc6798..d5c2dc6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
@@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
-\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
@@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
-	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	\frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+	\biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
@@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
-\subsubsection*{Randwertproblem}
+\subsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
 Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
@@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	illustriert.
 	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
 	\]
 	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	\biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
 	&= 0.
 	\end{aligned}
 	\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 356e259..f888d02 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
 (Wärmeleitung)}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
@@ -34,7 +34,7 @@ Tempreatur gehalten werden.
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
 %
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
@@ -54,7 +54,7 @@ als Randbedingungen.
 % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
 %
 
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
 Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
 $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
@@ -80,7 +80,7 @@ als Randbedingungen.
 % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+\subsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
 die Separationsmethode verwendet.
@@ -191,7 +191,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -360,10 +360,10 @@ wie auch mit isolierten Enden
 \end{equation}
 
 % TODO: infinite base vectors and fourier series
-\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+\subsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
 
 % TODO: check ease of reading
-\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
+\subsection{Berechnung der Koeffizienten}
 
 % TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
 
@@ -625,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -656,7 +656,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
 % TODO: elaborate
 
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
@@ -670,7 +670,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 \end{aligned}
 \]
 
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
-- 
cgit v1.2.1


From c73e95e3b92f7e4552e24466e4de956ec5ce2d16 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 11:07:32 +0200
Subject: final?

---
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 buch/papers/parzyl/teil1.tex |  5 ++++-
 buch/papers/parzyl/teil2.tex |  4 ++--
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 15 ++++++++++-----
 4 files changed, 17 insertions(+), 9 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index eb1a152..e6d27b9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel
 	= 
 	\lambda f(\sigma,\tau,z).
 \end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird 
 \begin{equation}
 	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
 \end{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e6a55b2..1f9db85 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,10 @@
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
 \rhead{Lösung}
-\subsection{Lösung harmonischer Oszillator}
+Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten
+Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
+gefunden werden.
+\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}}
 \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
 Die Lösung ist somit
 \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 1b63c8e..705dbef 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
 Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
 $A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
 	&=  
@@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 %	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
-	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
 und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 12c28fe..4176b55 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
 	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
 	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
 \end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und 
+semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
@@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 \begin{equation}
 	F(s) 
 	= 
-	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
+	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}} 
 	+ 
-	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}}
 	.
 \end{equation}
 
@@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
 so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung 
 zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
 
-Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. 
+Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um 
+das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben.
+Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen, 
+da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe 
+der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden. 
 %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 %\begin{equation}
 %	x = \sigma \tau,
-- 
cgit v1.2.1


From 14cc0d2e128ce21fdeddc47f29e4b462bc65c0d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 11:54:13 +0200
Subject: Cleaned up folder.

---
 buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc               | 1 -
 buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex              | 5 -----
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 4 ++--
 3 files changed, 2 insertions(+), 8 deletions(-)
 delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
index 7ffdad2..4000fa7 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,5 @@ dependencies-sturmliouville =							\
 	papers/sturmliouville/references.bib				\
 	papers/sturmliouville/einleitung.tex				\
 	papers/sturmliouville/eigenschaften.tex				\
-	papers/sturmliouville/beispiele.tex					\
 	papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex	\
 	papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
deleted file mode 100644
index 82046ba..0000000
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ /dev/null
@@ -1,5 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 290bf35..19dad5e 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -216,7 +216,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$x$}{x}}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -684,7 +684,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
-- 
cgit v1.2.1


From 241305e4f895dfb63b57a9e54b6ec661f8999c36 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 13:18:40 +0200
Subject: Grammar and formatting mistakes corrected in solution properties and
 fourier example.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex       | 18 ++---------
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 36 +++++++++++-----------
 2 files changed, 20 insertions(+), 34 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 8616172..fc9c3da 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -5,20 +5,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% TODO:
-%  state goal
-%  use only what is necessary
-%  make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible)
-%    -> Eigenvalue problem with matrices only
-%    -> prepare reader for following examples
-%
-% order:
-%  1. Eigenvalue problems with matrices
-%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
-%  3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
-%  4. Spectral theorem (brief)
-%  5. Base of orthonormal functions
-
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
@@ -99,9 +85,9 @@ Analog zur Matrix $A$ aus
 Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
 $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
-    \langle L v, w\rangle
+    \langle L u, v\rangle
     =
-    \langle v, L w\rangle
+    \langle u, L v\rangle
 \]
 gilt.
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 19dad5e..30ba8f6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,12 +5,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
-(Wärmeleitung)}
+\section{Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
-dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
+dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
 als Lösung des Problems zustande kommt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
@@ -113,7 +112,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
     =
     \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
     =
-    \mu
+    \mu.
 \]
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
@@ -127,7 +126,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
-    0
+    0.
 \end{equation}
 
 %
@@ -137,7 +136,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
 Sturm-Liouville-Form ist.
 Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
-Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
+Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
 Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
@@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies
     =
     0
 \]
-und durch umformen somit
+und durch Umformen somit
 \[
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
     =
     \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
 \]
 
-Mittels Koeffizientenvergleich von
+Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von
 \[
 \begin{aligned}
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
@@ -297,7 +296,7 @@ für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
 
 Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
-Dies fürht zu
+Dies führt zu
 \[
     X(0)
     =
@@ -324,7 +323,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \begin{aligned}
     \sin(\beta l) &= 0 \\
     \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
-    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{aligned}
 \]
 
@@ -472,14 +471,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
-    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle
     =
-    \langle a_0
+    \biggl\langle a_0
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
-    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle
 \end{equation}
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
@@ -513,7 +512,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen:
 \]
 
 Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
-um den Faktor zwei skalliert wurde.
+um den Faktor $2$ skalliert wurde.
 Es gilt also
 \[
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -586,8 +585,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
 vereinfacht.
 
 Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
-berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
-mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
+berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst.
+Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert
+wird:
 \[
     \begin{aligned}
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -609,7 +609,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
     \\
     a_m
     &=
-    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
     \end{aligned}
 \]
 
@@ -676,7 +676,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
     \\
     a_0
     &=
-    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx.
 \end{aligned}
 \]
 
-- 
cgit v1.2.1


From ad4935f4a4cf53e4456b7bef5fbf4462e8a03f2c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 13:46:45 +0200
Subject: Adjusted sections/subsections in fourier example.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 17 ++++++++++-------
 1 file changed, 10 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 30ba8f6..c01a164 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{Wärmeleitung in homogenem Stab}
+\section{Beispiel: Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
@@ -34,7 +34,8 @@ werden.
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
 %
-\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Randbedingungen}
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
@@ -54,7 +55,7 @@ als Randbedingungen.
 % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
 %
 
-\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
 Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
 $x = 0$ und $x = l$ auftreten.
@@ -82,7 +83,7 @@ als Randbedingungen.
 % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
 %
 
-\subsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+\subsection{Separation der Differenzialgleichung}
 
 Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
@@ -716,10 +717,12 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution
 \]
 ergibt.
 
-Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
+\subsection{Lösung des Wärmeleitungsproblems}
+
+Nun können alle vorhergehenden Resultate zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
-\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
@@ -733,7 +736,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 \end{aligned}
 \]
 
-\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
-- 
cgit v1.2.1


From b974a188da38b2ce84423718df982561630f8448 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 14:27:04 +0200
Subject: Reordered small section in fourier example to make more sense.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 62 ++++++++++++----------
 1 file changed, 33 insertions(+), 29 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index c01a164..f346fa2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -131,14 +131,33 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \end{equation}
 
 %
-% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
+% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen
 %
 
-Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
-Sturm-Liouville-Form ist.
-Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
-Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle
-Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
+Sturm-Liouville-Problem ist.
+Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+benötigt.
+Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+verglichen, was zu 
+\[
+\begin{aligned} 
+    p(x) &= 1 \\
+    q(x) &= 0 \\
+    w(x) &= 1
+\end{aligned}
+\]
+führt.
+
+Diese können bereits auf die Bedingungen in
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
+werden.
+Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
+Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
+reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht
+werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
 Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
 diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
@@ -146,7 +165,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
 
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -164,28 +183,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
-Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
-Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
-Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-verglichen, was zu 
-\[
-\begin{aligned} 
-    p(x) &= 1 \\
-    q(x) &= 0 \\
-    w(x) &= 1
-\end{aligned}
-\]
-führt.
-
-Diese können bereits auf die Bedingungen in
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
-werden.
-Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
-Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
-reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-
 Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -204,6 +201,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
 Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
 handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
@@ -291,6 +289,9 @@ Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
 allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}}
+
 Es werden nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
@@ -337,6 +338,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
 Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}}
+
 Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
 Setzt man die 
-- 
cgit v1.2.1


From fefadac123a94fd60a2e20a05e2cf2461f1892d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 15:01:14 +0200
Subject: Added reference to modified dot product to solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 20 ++++++++++++++++----
 1 file changed, 16 insertions(+), 4 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index fc9c3da..2e3d4fd 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -83,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
 Analog zur Matrix $A$ aus 
 Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
-$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist.
+
+Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product}
+    \langle f, g \rangle_w
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
+\end{equation}
+aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet,
+welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt.
+Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also
 \[
-    \langle L u, v\rangle
+    \langle L u, v\rangle_w
     =
-    \langle u, L v\rangle
+    \langle u, L v\rangle_w
 \]
-gilt.
+gelten.
+
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
 gezeigt, ist dies durch die
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des
-- 
cgit v1.2.1


From 2160618b9c1ed8b6c8171bbbcb742cadd6e18257 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 15:44:27 +0200
Subject: Embedded modified dot product into fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 26 +++++++++++++++++-----
 1 file changed, 20 insertions(+), 6 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index f346fa2..ff32bf1 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -83,7 +83,8 @@ als Randbedingungen.
 % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
 %
 
-\subsection{Separation der Differenzialgleichung}
+\subsection{Separation der Differenzialgleichung
+\label{sturmliouville:subsec:separation}}
 
 Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
@@ -425,8 +426,20 @@ gilt, endet man somit bei
 \]
 Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
 Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
-orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines
-Sturm-Liouville-Problems handelt.
+orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}.
+Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:subsec:separation} bereits $w(x) = 1$ gegeben ist.
+Somit ist das Skalarprodukt
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product}
+    \langle f, g \rangle_w
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)\,dx.
+\end{equation}
+
 Es gilt also
 \[
 \begin{aligned}
@@ -464,7 +477,8 @@ Es gilt also nun die Gleichung
 nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
 Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
 gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
-trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
+trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das
+Skalarprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product}
 verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
 Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
@@ -476,14 +490,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
-    \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle
+    \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle _w
     =
     \biggl\langle a_0
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
-    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle _w
 \end{equation}
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
-- 
cgit v1.2.1


From 0f9fe03b68dc81c69a2f926d2a6782fe933d70f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 16:51:57 +0200
Subject: Final corrections.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex          |  2 +-
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex |  2 +-
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 12 ++++++------
 3 files changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 2e3d4fd..0f1f235 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 \label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
+Im Weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
 zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index c509b96..5d13df6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index ff32bf1..93a1eb0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -139,8 +139,8 @@ An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
 Sturm-Liouville-Problem ist.
 Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
 benötigt.
-Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
+Um diese zu erhalten, wird die 
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der
 Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 verglichen, was zu 
 \[
@@ -166,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
 
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -287,7 +287,7 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
 benötigt.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
-allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
 \subsubsection{Einsetzen der 
@@ -425,7 +425,7 @@ gilt, endet man somit bei
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
-Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen
 orthogonal zueinander sind bezüglich des
 Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}.
 Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus
@@ -706,7 +706,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
 \subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
+Dazu nimmt man das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
-- 
cgit v1.2.1


From f07871bd3ce9cfc41ecfc29b66c07d4377b8f9a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: canuel <cattaneo.manuel@hotmail.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 16:59:18 +0200
Subject: added the chapter about spherical harmonic expansion and corrected
 some errors

---
 buch/papers/kugel/preliminaries.tex       |   7 +-
 buch/papers/kugel/proofs.tex              |   2 +-
 buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 183 ++++++++++++++++++++++--------
 3 files changed, 143 insertions(+), 49 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/kugel/preliminaries.tex b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex
index e48abe4..1fa78d7 100644
--- a/buch/papers/kugel/preliminaries.tex
+++ b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 % vim:ts=2 sw=2 et spell tw=78:
 
-\section{Preliminaries}
+\section{Preliminaries}\label{kugel:sec:preliminaries}
 
 The purpose of this section is to dust off some concepts that will become
 important later on. This will enable us to be able to get a richer and more
@@ -318,11 +318,12 @@ convergence.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}[Fourier Theorem]
-  \[
+  \label{fourier-theorem-1D}
+  \begin{equation*}
     \lim_{N \to \infty} \left \|
       f(x) - \sum_{n = -N}^N \hat{f}(n) E_n(x) 
     \right \|_2 = 0
-  \]
+  \end{equation*}
 \end{theorem}
 
 \begin{lemma}
diff --git a/buch/papers/kugel/proofs.tex b/buch/papers/kugel/proofs.tex
index 4fbef26..93b3857 100644
--- a/buch/papers/kugel/proofs.tex
+++ b/buch/papers/kugel/proofs.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 % vim:ts=2 sw=2 et spell tw=80:
-\section{Proofs}
+\section{(long) Proofs}
 
 \subsection{Legendre Functions} \label{kugel:sec:proofs:legendre}
 
diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
index b3487be..f51a772 100644
--- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
+++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
@@ -111,7 +111,10 @@ that satisfy the equation
     \surflaplacian f = -\lambda f.
 \end{equation}
 Perhaps it may not be obvious at first glance, but we are in fact dealing with a
-partial differential equation (PDE) \kugeltodo{Boundary conditions?}. If we
+partial differential equation (PDE)\footnote{
+  Considering the fact that we are dealing with a PDE, 
+  you may be wondering what are the boundary conditions. Well, since this eigenvalue problem is been developed on 
+  the spherical surface (boundary of a sphere), the boundary in this case are empty, i.e no boundary condition has to be considered.}.
 unpack the notation of the operator $\nabla^2_{\partial S}$ according to
 definition
 \ref{kugel:def:surface-laplacian}, we get:
@@ -283,7 +286,7 @@ representation} which are
 \end{equation*}
 respectively, both of which we will not prove (see chapter 3 of
 \cite{bell_special_2004} for a proof). Now that we have a solution for the
-Legendre equation, we can make use of the following lemma patch the solutions
+Legendre equation, we can make use of the following lemma to patch the solutions
 such that they also become solutions of the associated Legendre equation
 \eqref{kugel:eqn:associated-legendre}.
 
@@ -317,7 +320,7 @@ obtain the \emph{associated Legendre functions}.
   \end{equation}
   are known as Ferrers or associated Legendre functions.
 \end{definition}
-The constraint $|m|<n$, can be justified by considering Eq.\eqref{kugel:eq:associated_leg_func}, in which the derivative of degree $m+n$ is present. A derivative to be well defined must have an order that is greater than zero. Furthermore, it can be seen that this derivative is applied on a polynomial of degree $2n$. As is known from Calculus 1, if you derive a polynomial of degree $2n$ more than $2n$ times, you get zero, which is a trivial solution in which we are not interested.
+The constraint $|m|<n$, can be justified by considering eq.\eqref{kugel:eq:associated_leg_func}, where we differentiate $m+n$ times. We all know that a differentiation, to be well defined, must have an order that is greater than zero \kugeltodo{is that always true?}. Furthermore, it can be seen that this derivative is applied on a polynomial of degree $2n$. As is known from Calculus 1, if you derive a polynomial of degree $2n$ more than $2n$ times, you get zero, that would be a trivial solution. This is the power of zero: It is almost always a (boring) solution.
 
 We can thus summarize these two conditions by writing:
 \begin{equation*}
@@ -326,9 +329,6 @@ We can thus summarize these two conditions by writing:
         m+n \geq 0  &\implies  m \geq -n
     \end{rcases} \; |m| \leq n.
 \end{equation*}
-\if 0
-The set of functions in Eq.\eqref{kugel:eq:sph_harm_0} is named \emph{Spherical Harmonics}, which are the eigenfunctions of the Laplace operator on the \emph{spherical surface domain}, which is exactly what we were looking for at the beginning of this section.
-\fi
 
 \subsection{Spherical Harmonics}
 
@@ -337,7 +337,7 @@ section \ref{kugel:sec:construction:eigenvalue}. We had left off in the middle
 of the separation, were we had used the Ansatz $f(\vartheta, \varphi) =
 \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi)$ to find that $\Phi(\varphi) = e^{im\varphi}$,
 and we were solving for $\Theta(\vartheta)$.  As you may recall, previously we
-performed the substitution $z = \cos \vartheta$. Now we can finally to bring back the
+performed the substitution $z = \cos \vartheta$. Now we can finally bring back the
 solution to the associated Legendre equation $P^m_n(z)$ into the $\vartheta$
 domain and combine it with $\Phi(\varphi)$ to get the full result:
 \begin{equation*}
@@ -505,7 +505,7 @@ product:
 
 \begin{definition}[Inner product in $S^2$]
   \label{kugel:def:inner-product-s2}
-  For 2 complex valued functions $f(\vartheta, \varphi)$ and $g(\vartheta,
+  For two complex valued functions $f(\vartheta, \varphi)$ and $g(\vartheta,
   \varphi)$ on the surface of the sphere the inner product is defined to be
   \begin{equation*}
     \langle f, g \rangle
@@ -518,36 +518,35 @@ product:
 
 \begin{theorem} For the (unnormalized) spherical harmonics
   \label{kugel:thm:spherical-harmonics-ortho}
-  \begin{align*}
+  \begin{align}
     \langle Y^m_n, Y^{m'}_{n'} \rangle
     &= \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi}
       Y^m_n(\vartheta, \varphi) \overline{Y^{m'}_{n'}(\vartheta, \varphi)}
       \sin \vartheta \, d\varphi \, d\vartheta
-    \\
+      \label{kugel:eq:spherical-harmonics-inner-prod} \\
     &= \frac{4\pi}{2n + 1} \frac{(m + n)!}{(n - m)!} \delta_{nn'} \delta_{mm'}
     = \begin{cases}
       \frac{4\pi}{2n + 1} \frac{(m + n)!}{(n - m)!}
-        & \text{if } n = n' \text{ and } m = m', \\
+        & \text{if } n = n' \text{ and } m = m', \nonumber \\
       0 & \text{otherwise}.
     \end{cases}
-  \end{align*}
+  \end{align}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
   We will begin by doing a bit of algebraic maipulaiton:
   \begin{align*}
     \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi}
-      Y^m_n(\vartheta, \varphi) \overline{Y^{m'}_{n'}(\vartheta, \varphi)}
+      Y^m_n(\vartheta, \varphi) \overline{Y^{m'}_{n'}(\vartheta, \varphi)} 
       \sin \vartheta \, d\varphi \, d\vartheta
     &= \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi}
       e^{im\varphi} P^m_n(\cos \vartheta)
       e^{-im'\varphi} P^{m'}_{n'}(\cos \vartheta)
-      \, d\varphi \sin \vartheta \, d\vartheta
+      \, d\varphi \sin \vartheta \, d\vartheta 
     \\
     &= \int_{0}^\pi
-      P^m_n(\cos \vartheta) P^{m'}_{n'}(\cos \vartheta)
+      P^m_n(\cos \vartheta) P^{m'}_{n'}(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, d\vartheta
       \int_0^{2\pi} e^{i(m - m')\varphi}
-      \, d\varphi \sin \vartheta \, d\vartheta
-      .
+      \, d\varphi. 
   \end{align*}
   First, notice that the associated Legendre polynomials are assumed to be real,
   and are thus unaffected by the complex conjugation. Then, we can see that when
@@ -562,12 +561,15 @@ product:
   \end{equation*}
   where in the second step we performed the substitution $z = \cos\vartheta$;
   $d\vartheta = \frac{d\vartheta}{dz} dz= - dz / \sin \vartheta$, and then we
-  used lemma \ref{kugel:thm:associated-legendre-ortho}. We are allowed to use
-  the lemma because $m = m'$.
-
+  used lemma \ref{kugel:thm:associated-legendre-ortho}. 
+  We are allowed to use
+  the lemma because $m = m'$. After the just mentioned substitution we can write eq.\eqref{kugel:eq:spherical-harmonics-inner-prod} in this form
+  \begin{equation*}
+    \langle Y^m_n, Y^{m'}_{n'} \rangle_{\partial S} = \langle P^m_n, P^{m'}_{n'} \rangle_z \; \langle e^{im\varphi}, e^{-im'\varphi} \rangle_\varphi.
+  \end{equation*} 
   Now we just need look at the case when $m \neq m'$. Fortunately this is
   easier: the inner integral is $\int_0^{2\pi} e^{i(m - m')\varphi} d\varphi$,
-  or in other words we are integrating a complex exponetial over the entire
+  or in other words we are integrating a complex exponential over the entire
   period, which always results in zero. Thus, we do not need to do anything and
   the proof is complete.
 \end{proof}
@@ -617,11 +619,9 @@ regrettably sometimes even ourselves, would write instead:
   reader.
 \end{proof}
 
-Lemma \ref{kugel:thm:legendre-poly-ortho} has a very similar
-proof, while the theorem \ref{kugel:thm:spherical-harmonics-ortho} for the
-spherical harmonics is proved by the following argument. The spherical harmonics
-are the solutions to the eigenvalue problem $\surflaplacian f = -\lambda f$,
-which as discussed in the previous section is solved using separation. So to
+Lemma \ref{kugel:thm:legendre-poly-ortho} has a very similar proof, while the theorem \ref{kugel:thm:spherical-harmonics-ortho} for the spherical harmonics is proved by the following argument. 
+The spherical harmonics are the solutions to the eigenvalue problem $\surflaplacian f = -\lambda f$,
+which as discussed in the previous section is solved using the separation Ansatz. So to
 prove their orthogonality using the Sturm-Liouville theory we argue that
 \begin{equation*}
   \surflaplacian = L_\vartheta L_\varphi \iff
@@ -685,7 +685,7 @@ harmonics, so from now on, unless specified otherwise when we say spherical
 harmonics or write $Y^m_n$, we mean the orthonormal spherical harmonics of
 definition \ref{kugel:def:spherical-harmonics-orthonormal}.
 
-\subsection{Recurrence Relations}
+\subsection{Recurrence Relations}\kugeltodo[replace x with z]
 The idea of this subsection is to introduce first some recursive relations regarding the Associated Legendre Functions, defined in eq.\eqref{kugel:def:ferrers-functions}. Subsequently we will extend them, in order to derive recurrence formulas for the case of Spherical Harmonic functions as well. 
 \subsubsection{Associated Legendre Functions}
 To start this journey, we can first write the following equations, which relate the Associated Legendre functions of different indeces $m$ and $n$ recursively:
@@ -697,7 +697,7 @@ To start this journey, we can first write the following equations, which relate
 \end{enumerate}
 Much of the effort will be proving this bunch of equalities. Then, in the second part, where we will derive the recursion equations for $Y^m_n(\vartheta,\varphi)$, we will basically reuse the ones presented above.
 
-Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are widely used in some software implementations, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion}.
+Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are widely used in some software implementations, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion_paper}.
 \begin{enumerate}[(i)]
   \item 
   \begin{proof}
@@ -792,7 +792,7 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection{Spherical Harmonics}
-The goal of this subsection's part is to apply the recurrence relations of the $P_n(z)$ functions to the Spherical Harmonics. 
+The goal of this subsection's part is to apply the recurrence relations of the $P^m_n(z)$ functions to the Spherical Harmonics. 
 
 With some little adjustments we will be able to have recursion equations for them too. As previously written the most of the work is already done. Now it is only a matter of minor mathematical operations/rearrangements.
 
@@ -839,22 +839,30 @@ We can start by listing all of them:
 
 \section{Series Expansions in $L^2(S^2)$}
 
-We have now reached a point were we have all of the tools that are necessary to
-build something truly amazing: a general series expansion formula for functions
-on the surface of the sphere. Using the jargon: we will now see that the
-spherical harmonics together with the inner product of definition
-\ref{kugel:def:inner-product-s2}
+We want now to recall the definition of the inner product on the spherical surface of definition \ref{kugel:def:inner-product-s2}
 \begin{equation*}
   \langle f, g \rangle
   = \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi}
     f(\vartheta, \varphi) \overline{g(\vartheta, \varphi)}
-    \sin \vartheta \, d\varphi \, d\vartheta
+    \sin \vartheta \, d\varphi \, d\vartheta.
 \end{equation*}
-form a Hilbert space over the space of complex valued $L^2$ functions $S^2 \to
-\mathbb{C}$. We will see later that this fact is very consequential and is
-extremely useful for many types of applications. If the jargon was too much, no
-need to worry, we will now go back to normal words and explain it again in more
-detail.
+To be a bit technical we can say that the set of spherical harmonic functions, toghether with the inner product just showed, 
+form something that we call Hilbert Space\footnote{For more details about Hilber space you can take a look in section \ref{kugel:sec:preliminaries}}. 
+This function space is defined over the space of ``well-behaved'' \footnote{The definitions of ``well-behaved'' is pretty ambigous, even for mathematicians. 
+It depends basically on the context.
+You can sumarize it by saying: functions for which the theory we are considering (Fourier theorem) is always true. In our case we can say that well-behaved functions 
+are functions that follow some convergence contraints (pointwise, uniform, absolute, ...) that we don't want to consider further anyway.} functions. 
+We can say that the theory we are about to show can be applied on all twice differentiable complex valued functions, 
+to be more concise: complex valued $L^2$ functions $S^2 \to \mathbb{C}$.
+
+All these jargons are not really necessary for the practical applications of us mere mortals, namely physicists and engineers. 
+From now on we will therefore assume that the functions we will dealing with fulfill these ``minor'' conditions.
+
+The insiders could turn up their nose, but we don't want to dwell too much on the concept of Hilbert space, convergence, metric, well-behaved functions etc.
+We simply think that this rigorousness could be at the expense of the possibility to appreciate the beauty and elegance of this theory. 
+Furthermore, the risk of writing 300+ pages to prove that $1+1=2$\cite{principia-mathematica} is just around the corner (we apologize in advance to Mr. Whitehead and Mr. Russel for using their effort with a negative connotation). 
+
+Despite all, if you desire having definitions a bit more rigorous (as rigorous as two engineers can be), you could take a look at the chapter \ref{}.
 
 \subsection{Spherical Harmonics Series}
 
@@ -862,11 +870,96 @@ To talk about a \emph{series expansion} we first need a series, so we shall
 build one using the spherical harmonics.
 
 \begin{definition}[Spherical harmonic series]
+  \label{kugel:definition:spherical-harmonics-series}
+  \begin{equation}
+    f(\vartheta, \varphi) 
+    = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m =-n}^n
+      c_{m,n} Y^m_n(\vartheta, \varphi). \label{kugel:definition:spherical-harmonics-series}
+  \end{equation}
+\end{definition}
+
+With this definition we are basically saying that any function defined on the spherical surface can be represented as a linear combination of spherical harmonics. 
+Does eq.\eqref{kugel:definition:spherical-harmonics-series} sound familiar? Well that is prefectly normal, since this is analog to the classical Fourier theory. 
+In the latter is stated that ``any'' $T$-periodic function $f(x)$, on any interval $[x_0-T/2,x_0+T/2]$, can be represented as a linear combination of complex exponentials. More compactly:
+\begin{equation*}
+  f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{i \omega_0 x}, \quad \omega_0=\frac{2\pi}{T}
+\end{equation*}
+In the case of definition \ref{kugel:definition:spherical-harmonics-series} the kernels, instead of $e^{i\omega_0x}$, have become $Y^m_n$. In addition, the sum is now over the two indices $m$ and $n$.
+
+\begin{lemma}[Spherical harmonic coefficients]
+  \label{kugel:lemma:spherical-harmonic-coefficient}
+  \begin{align*}
+    c_{m,n} 
+    &= \langle f, Y^m_n \rangle_{\partial S} \\
+    &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} f(\vartheta,\varphi) \overline{Y^m_n(\vartheta,\varphi)} \sin\vartheta \,d\varphi\,d\vartheta
+  \end{align*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  To develop this proof we will take advantage of the orthogonality property of the Spherical Harmonics. We can start and finish by applying the inner product on both sides of eq.\eqref{kugel:definition:spherical-harmonics-series}:
+  \begin{align*}
+    \langle f, Y^{m}_{n} \rangle_{\partial S}
+    &= \left\langle \sum_{n'=0}^\infty \sum_{m' =-n'}^{n'}
+      c_{m',n'} Y^{m'}_{n'}(\vartheta, \varphi) \right\rangle_{\partial S}  \\
+    &=  \sum_{n'=0}^\infty \sum_{m' =-n'}^{n'}
+      \langle c_{m',n'} Y^{m'}_{n'}, Y^{m}_{n} \rangle_{\partial S} \\
+      &= \sum_{n'=0}^\infty \sum_{m' =-n'}^{n'} c_{m',n'} \langle Y^{m'}_{n'}, Y^{m}_{n} \rangle_{\partial S} = c_{m,n}
+  \end{align*}
+  We omitted the $\vartheta, \varphi$ dependency to avoid overloading the notation.
+\end{proof}
+Thanks to Lemma \ref{kugel:lemma:spherical-harmonic-coefficient} we can now calculate the series expansion defined in \ref{kugel:definition:spherical-harmonics-series}.
+
+It can be shown that, for the famous ``well-behaved functions'' $f(\vartheta, \varphi)$ mentioned before, theorem \ref{fourier-theorem-spherical-surface} is true
+\begin{theorem}[Fourier Theorem on $\partial S$]
+  \label{fourier-theorem-spherical-surface}
   \begin{equation*}
-    \hat{f}(\vartheta, \varphi) 
-    = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \sum_{m \in \mathbb{Z}}
-      c_{m,n} Y^m_n(\vartheta, \varphi)
+    \lim_{N \to \infty} 
+    \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left\| f(\vartheta,\varphi) - \sum_{n=0}^N\sum_{m=-n}^n c_{m,n} Y^m_n(\vartheta,\varphi)
+    \right\|_2 \sin\vartheta \,d\varphi\,d\vartheta  = 0
   \end{equation*}
-\end{definition}
+\end{theorem}
+The connection to Theorem \ref{fourier-theorem-1D} is pretty obvious.
+
+\subsection{Spectrum}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \kugelplaceholderfig{.8\textwidth}{5cm}
+  \caption{\kugeltodo{Rectangular signal and his spectrum.}}
+  \label{kugel:fig:1d-fourier}
+\end{figure}
+
+In the case of the classical one-dimensional Fourier theory, we call \emph{Spectrum} the relation between the fourier coefficients $c_n$ and the multiple 
+of the fundamental frequency $2\pi/T$, namely $n 2\pi/T$. In the most general case $c_n$ are complex numbers, so we divide the concept of spectrum in 
+\emph{Amplitude Spectrum} and \emph{Phase Spectrum}. In fig.\ref{kugel:fig:1d-fourier} a function $f(x)$ is presented along with the amplitude spectrum.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \kugelplaceholderfig{.8\textwidth}{7cm}
+  \caption{\kugeltodo{Confront between image reconstructed only with phase and one only with amplitued}}
+  \label{kugel:fig:phase&amplitude-2d-fourier}
+\end{figure}
+
+The thing that is easiest for us humans to visualize and understand is often the Amplitude Spectrum.
+This is a huge limitation, since for example in Image Processing can be showed in a nice way that much more information is contained in the phase part (see fig.\ref{kugel:fig:phase-2d-fourier}).
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \kugelplaceholderfig{.8\textwidth}{9cm}
+  \caption{\kugeltodo{fig that show fourier style reconstruction on sphere (with increasing index)}}
+  \label{kugel:fig:fourier-on-sphere-increasing-index}
+\end{figure}
+
+The same logic can be extended to the spherical harmonic coefficients $c_{m,n}$. In fig.\ref{kugel:fig:fourier-on-sphere-increasing-index} you can see the same concept as in fig.\ref{kugel:fig:1d-fourier} 
+but with a spherical function $f(\vartheta, \varphi)$.
+
+\subsection{Energy of a function $f(\vartheta, \varpi)$}
+
+\begin{lemma}[Energy of a spherical function (\emph{Parseval's theorem})]
+  \begin{equation*}
+    \int_0^{2\pi}\int_0^\pi |f(\vartheta, \varphi)|^2  \sin\vartheta \, d\varphi \, d\varphi = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \sum_{m=-n}^n |c_{m,n}|^2.
+  \end{equation*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+\end{proof}
 
-\subsection{Fourier on $S^2$}
+\subsection{Visualization}
\ No newline at end of file
-- 
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From ce8786187659d6c5167872353d4c221a5c349839 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 18:01:19 +0200
Subject: Changed one title.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 5d13df6..341a358 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
-- 
cgit v1.2.1


From b6cedd9a91b2a6d67693a9271f9e7a30525646e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: canuel <cattaneo.manuel@hotmail.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 23:01:40 +0200
Subject: some minor corrections

---
 buch/papers/kugel/references.bib          |  2 +-
 buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 62 ++++++++++++++++++-------------
 2 files changed, 38 insertions(+), 26 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/kugel/references.bib b/buch/papers/kugel/references.bib
index e3c0f85..984d555 100644
--- a/buch/papers/kugel/references.bib
+++ b/buch/papers/kugel/references.bib
@@ -17,7 +17,7 @@
 	file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/SN4YUNQC/Carvalhaes and de Barros - 2015 - The surface Laplacian technique in EEG Theory and.pdf:application/pdf},
 }
 
-@article{implementation,
+@article{usecase_recursion_paper,
 	title = {New Implementation of Legendre Polynomials for Solving Partial Differential Equations},
 	issn = {272767969},
 	url = {https://www.researchgate.net/publication/272767969_New_Implementation_of_Legendre_Polynomials_for_Solving_Partial_Differential_Equations},
diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
index f51a772..9349b61 100644
--- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
+++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex
@@ -685,23 +685,26 @@ harmonics, so from now on, unless specified otherwise when we say spherical
 harmonics or write $Y^m_n$, we mean the orthonormal spherical harmonics of
 definition \ref{kugel:def:spherical-harmonics-orthonormal}.
 
-\subsection{Recurrence Relations}\kugeltodo[replace x with z]
+\subsection{Recurrence Relations}\kugeltodo{replace x with z}
 The idea of this subsection is to introduce first some recursive relations regarding the Associated Legendre Functions, defined in eq.\eqref{kugel:def:ferrers-functions}. Subsequently we will extend them, in order to derive recurrence formulas for the case of Spherical Harmonic functions as well. 
 \subsubsection{Associated Legendre Functions}
 To start this journey, we can first write the following equations, which relate the Associated Legendre functions of different indeces $m$ and $n$ recursively:
-\begin{enumerate}[(i)]
-  \item $(2n+1) x P^m_n(z)= (m+n) P^m_{n-1}(z) + (n-m+1) P^m_{n+1}(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_1}
-  \item $\dfrac{2mz}{\sqrt{1-z^2}} P^m_n(z) = P^{m+1}_n(z) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_2}
-  \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ P^{m+1}_{n+1}(z) - P^{m+1}_{n-1}(z) \right]$,  \label{kugel:eq:rec_rel_3}
-  \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(z) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(z) \right]$.  \label{kugel:eq:rec_rel_4}
-\end{enumerate}
+\begin{subequations}
+  \begin{align}
+  P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)x} \left[ (m+n) P^m_{n-1}(z) + (n-m+1) P^m_{n+1}(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-1} \\
+  P^m_n(z) &= \dfrac{\sqrt{1-z^2}}{2mz} \left[ P^{m+1}_n(z) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-2} \\ 
+  P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)\sqrt{1-z^2}} \left[ P^{m+1}_{n+1}(z) - P^{m+1}_{n-1}(z) \right]  \label{kugel:eq:rec-leg-3} \\
+  P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)\sqrt{1-z^2}} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(z) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(z) \right]  \label{kugel:eq:rec-leg-4}
+  \end{align}
+\end{subequations}
 Much of the effort will be proving this bunch of equalities. Then, in the second part, where we will derive the recursion equations for $Y^m_n(\vartheta,\varphi)$, we will basically reuse the ones presented above.
 
-Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are widely used in some software implementations, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion_paper}.
+Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: In some software implementations (that include lighting computations in computer graphics, antenna modelling softwares, 3-D modelling in medical applications, etc.) 
+they are widely used, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion_paper}. 
 \begin{enumerate}[(i)]
   \item 
   \begin{proof}
-    This is the relation that links the associated Legendre functions with the same $m$ index but different $n$. Using \ref{} \kugeltodo{ref alla recurrence dei polinomi di legendre (è da qualche parte nel libro)}, we have 
+    This is the relation that links the associated Legendre functions with the same $m$ index but different $n$. Using \ref{} \kugeltodo{search the general equation of recursion for orthogonal polynomials (is somewhere in the book)}, we have 
     \begin{equation*}
       (n+1)P_{n+1}(z)-(2n+1)xP_n(z)+nP_{n-1}(z)=0,
     \end{equation*}
@@ -749,9 +752,9 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are
     \begin{equation*}
       P^{m+2}_n(x) - \frac{2(m+1)x}{\sqrt{1-x^2}}P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m+1)]P^m_n(x)=0.
     \end{equation*}
-    Furthermore, we can adjust the indeces and terms, obtaining
+    Further, we can adjust the indeces and terms, obtaining
     \begin{equation*}
-      \frac{2mx}{\sqrt{(1-x^2)}} P^m_n(x) = P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(x)
+      \frac{2mx}{\sqrt{(1-x^2)}} P^m_n(x) = P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(x).
     \end{equation*}
   
   \end{proof}
@@ -774,7 +777,7 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are
 
   \item
   \begin{proof}
-    For this proof we can rely on (\ref{kugel:eq:rec_rel_1}), and therefore rewrite (\ref{kugel:eq:rec_rel_2}) as 
+    For this proof we can rely on eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-1}, and therefore rewrite eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-2} as 
     \begin{equation*}
       \frac{2m}{(2n+1)\sqrt{1-x^2}} \left[ (m+n)P^m_{n-1}(x) + (n-m+1)P^m_{n+1}(x) \right] = P^{m+1}_n(x) + [ n(n+1)-m(m-1) ]P^{m-1}_n(x).
     \end{equation*}
@@ -793,18 +796,26 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are
 
 \subsubsection{Spherical Harmonics}
 The goal of this subsection's part is to apply the recurrence relations of the $P^m_n(z)$ functions to the Spherical Harmonics. 
-
 With some little adjustments we will be able to have recursion equations for them too. As previously written the most of the work is already done. Now it is only a matter of minor mathematical operations/rearrangements.
 
 We can start by listing all of them:
+\begin{subequations}
+  \begin{align}
+  Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{1}{(2n+1)\cos \vartheta} \left[ (m+n)Y^m_{n-1}(\vartheta, \varphi) + (m-n+1)Y^m_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-1} \\
+  Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{\tan \vartheta}{2m}\left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-2} \\
+  Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{ (2n+1)\sin \vartheta } \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) - Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-3} \\
+  Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{e^{i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ (n+m)(n+m-1)Y^{m-1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) - (n-m+1)(n-m+2)Y^{m-1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]  \label{kugel:eq:rec-sph_harm-4} 
+  \end{align}
+\end{subequations}
+
 \begin{enumerate}[(i)]
-  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{1}{(2n+1)\cos \vartheta} \left[ (m+n)Y^m_{n-1}(\vartheta, \varphi) + (m-n+1)Y^m_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \item
   \begin{proof}
-    We can multiply both sides of equality in eq.\eqref{} by $e^{im \varphi}$ and perform the substitution $z=\cos \vartheta$. After a few simple algebraic steps, we will obtain the relation we are looking for
+    We can multiply both sides of equality in eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-1} by $e^{im \varphi}$ and perform the substitution $z=\cos \vartheta$. After a few simple algebraic steps, we will obtain the relation we are looking for
   \end{proof}
-  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{\tan \vartheta}{2m}\left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right]$
+  \item 
   \begin{proof}
-    In this proof, as before, we can perform the substitution $z=\cos \vartheta$, and notice that $\sqrt{1-z^2}=\sin \vartheta$, hence, the relation in eq.\eqref{} will be
+    In this proof, as before, we can perform the substitution $z=\cos \vartheta$, and notice that $\sqrt{1-z^2}=\sin \vartheta$, hence, the relation in eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-2} will be
     \begin{equation*}
       \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta) =  P^{m+1}_n(\cos \vartheta) + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta).
     \end{equation*}
@@ -812,34 +823,35 @@ We can start by listing all of them:
     \begin{align*}
       \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &=  P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} \\
       &= P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n (\cos \vartheta)e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi} \\
-      &= Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \\
+      &= Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi}.
     \end{align*}
     Finally, after some ``cleaning''
     \begin{equation*}
       Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{\tan \vartheta}{2m} \left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right]
     \end{equation*}
   \end{proof}
-  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{-i\varphi}}{ (2n+1)\sin \vartheta } \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) - Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \item 
   \begin{proof}
-    Now we can consider eq.\eqref{}, and multiply it by $e^{im\varphi}$. After the usual substitution $z=\cos \vartheta$, we have 
+    Now we can consider eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-3}, and multiply it by $e^{im\varphi}$. After the usual substitution $z=\cos \vartheta$, we have 
     \begin{align*}
       \sin \vartheta P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &= \dfrac{e^{im\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta) - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)\right] \\
-      &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi} - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}\right] \\
+      &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi} - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}\right].
     \end{align*}
     A few manipulations later, we will obtain
     \begin{equation*}
-      Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{e^{-i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi)-Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]
+      Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{e^{-i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi)-Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right].
     \end{equation*}
   \end{proof}
-  \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ (n+m)(n+m-1)Y^{m-1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) - (n-m+1)(n-m+2)Y^{m-1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$
+  \item 
   \begin{proof}
     This proof is very similar to the previous one. We just have to perform the substitution $z = \cos \vartheta$, as always. Secondly we can multiply the right side by $e^{im\varphi}$ and the left one too but in a different form, namely $e^{im\varphi}=e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi}$. Then it is only a question of recalling the definition of $Y^m_n(\vartheta, \varphi)$.
   \end{proof}
 \end{enumerate}
 
 \section{Series Expansions in $L^2(S^2)$}
-
-We want now to recall the definition of the inner product on the spherical surface of definition \ref{kugel:def:inner-product-s2}
+We have now reach a point where we have all the tools that are necessary to build something truly amazing: a general series expansion formula for
+function on the surface of the sphere.
+Before starting we want to recall the definition of the inner product on the spherical surface of definition \ref{kugel:def:inner-product-s2}
 \begin{equation*}
   \langle f, g \rangle
   = \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi}
-- 
cgit v1.2.1


From b0401ab665292e0cceae257048bb8eaf23d62884 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Sat, 27 Aug 2022 12:19:02 +0200
Subject: replace DGL with Differentialgleichung

---
 buch/papers/kra/anwendung.tex |  6 +++---
 buch/papers/kra/loesung.tex   | 10 +++++-----
 2 files changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 704de43..ee42b64 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -163,12 +163,12 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
 
 \subsection{Phasenraum}
 \subsubsection{Motivation}
-Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$.
+Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine Differentialgleichung 2. Ordung der Dimension $n$.
 Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt.
 Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt.
 Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen.
 
-Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$.
+Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Dimension $2n$.
 Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum.
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
@@ -224,7 +224,7 @@ Ausgeschrieben folgt
     \end{split}
 \end{equation}
 was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
+Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
 
 \subsection{Fazit}
 Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index 18ac853..4b1e46e 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -15,13 +15,13 @@ Durch Ausschreiben des Differentialquotienten
 \begin{equation}
     \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
 \end{equation}
-erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
+erkennt man, dass die Differentialgleichung separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
 \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
     \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
-Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische Differentialgleichung mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
 Wir wählen als Substitution
 \begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
     z = \frac{1}{y - y_p},
@@ -33,7 +33,7 @@ durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt
 \begin{equation}
     y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z',
 \end{equation}
-mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
+mit Einsetzten in die Differentialgleichung \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
 \begin{equation}
     y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
 \end{equation}
@@ -49,7 +49,7 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
 Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
 
 \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
-Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann.
 Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:matrix-dgl}
@@ -70,7 +70,7 @@ Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
 \[
     P(t) = Y(t)X^{-1}
 \]
-und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL
+und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung
 \[
     \dot{P}(t) = C  + DU - UA - UBU.
 \]
-- 
cgit v1.2.1


From 5f262f3264a96744e90ff26788545ccfd6b4d06d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sun, 28 Aug 2022 14:05:15 +0200
Subject: Corrections

---
 buch/papers/ellfilter/einleitung.tex    | 6 +++---
 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex      | 4 ++--
 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 8 ++++----
 3 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
index 164bc41..05061d1 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
@@ -40,8 +40,8 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben
 $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
 Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
 $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in den Sperrbereich.
-Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang im Sperrbereich.
+Grössere $N$ erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
 
 Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
 Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
@@ -63,7 +63,7 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti
 \end{align}
 Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
 Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft.
-Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
+Es scheint so, als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
 Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
 In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht.
 Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen.
diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index dd64a3c..651d6bc 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -2,7 +2,7 @@
 
 Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
 \begin{align}
-    R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
+    R_N(w, \xi) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
                 &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
                 &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
 \end{align}
@@ -52,7 +52,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Fun
 \end{figure}
 
 Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
-Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
+Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde, z.B. $\mathrm{Im(z) = 3K^\prime}$.
 Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
 
 \subsection{Gradgleichung}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 327c5e7..84095a7 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -3,17 +3,17 @@
 Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter.
 Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter.
 Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind:
-\begin{align}
+\begin{align*}
     T_{0}(x)&=1\\
     T_{1}(x)&=x\\
     T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\
     T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\
     T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x).
-\end{align}
+\end{align*}
 Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion
 \begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
     T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
-           &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
+           &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2}
 \end{align}
 übereinstimmen.
 Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
@@ -90,7 +90,7 @@ Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor.
 Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
 
 
-In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
+In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
 Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden.
 Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
 \begin{figure}
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From b74a0202d2dc4ecb6a059d7bc8eb38c0552d1d7b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Sun, 28 Aug 2022 14:57:36 +0200
Subject: correct spelling error, consisten use of (t)

---
 buch/papers/kra/loesung.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index 4b1e46e..ef53adc 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -65,14 +65,14 @@ Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
         \end{pmatrix}
     }_{\displaystyle{H}},
 \end{equation}
-mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden.
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogenannte Hamiltonsche-Matrix bilden.
 Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
 \[
-    P(t) = Y(t)X^{-1}
+    U(t) = Y(t)X(t)^{-1}
 \]
 und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung
 \[
-    \dot{P}(t) = C  + DU - UA - UBU.
+    \dot{U}(t) = C(t)  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
 \]
 
 Die Lösung erhalten wir dann mit
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cgit v1.2.1


From 3303656068a273e3bebc1c8fc7fc4881eea9d275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Mon, 29 Aug 2022 23:09:06 +0200
Subject: add punctuation

---
 buch/papers/kra/einleitung.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
index 0503742..b5b76a8 100644
--- a/buch/papers/kra/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:riccati}
-    y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x)
+    y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x).
 \end{equation}
 Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste.
 Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form
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cgit v1.2.1


From e6a7c66d57c78ea4d005f0c059a473d42776cf6e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Mon, 29 Aug 2022 23:09:57 +0200
Subject: move differential command to main

---
 buch/papers/kra/main.tex | 2 ++
 1 file changed, 2 insertions(+)

diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index a84ebaf..9e41039 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -3,6 +3,8 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
+\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
+
 \chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}}
 \lhead{Riccati Differentialgleichung}
 \begin{refsection}
-- 
cgit v1.2.1


From 1848a720c8e7b8d8bc43402355772513f26caa64 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Mon, 29 Aug 2022 23:11:42 +0200
Subject: apply suggested corrections

---
 buch/papers/kra/anwendung.tex | 51 ++++++++---------------------
 buch/papers/kra/loesung.tex   | 75 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 2 files changed, 82 insertions(+), 44 deletions(-)

diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index ee42b64..dbe1171 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
 \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
 \rhead{Anwendung}
-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
 Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
@@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse.
+Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$.
+Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$
 \begin{equation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}.
-\end{equation}
-Ausgeschrieben folgt
-\begin{align*}
-    \dot{Q} = AQ + BP \\
-    \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
-    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
-        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
-        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
-        &= C  + DU - UA - UBU
+        \dt U   &= K  + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\
+        &= K + U(t)MU(t),
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
+eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung.
+Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann.
+Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$.
+Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$.
+Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt.
+
+Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht.
 
 \subsection{Fazit}
-Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
-Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index ef53adc..604a5ec 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -50,6 +50,8 @@ Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man da
 
 \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
 Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+
+\subsubsection{Entstehung}
 Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:matrix-dgl}
@@ -63,19 +65,77 @@ Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
             A & B \\
             C & D
         \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{H}},
+    }_{\displaystyle{H}}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
 \end{equation}
-mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogenannte Hamiltonsche-Matrix bilden.
-Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$, welche in der sogenannten Hamiltonschen-Matrix $H$ zusammengefasst werden können.
+Wir führen eine neue Grösse
 \[
     U(t) = Y(t)X(t)^{-1}
 \]
-und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung
+ein, für dessen Ableitung $\dt U(t)$ wir mit
 \[
-    \dot{U}(t) = C(t)  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
+    \dot{X}(t) = AX(t) + BY(t) \quad \text{und} \quad \dot{Y}(t) = CX(t) + DY(t)
 \]
+folgendes Ergebnis erhalten
+\begin{equation}
+    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
+    \begin{split}
+        \dt U(t)   &= \dot{Y}(t) X(t)^{-1} + Y(t) \dt X(t)^{-1} \\
+        &= (CX(t) + DY(t)) X(t)^{-1} - Y(t) (X(t)^{-1} \dot{X}(t) X(t)^{-1}) \\
+        &= C\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$} - Y(t)(X(t)^{-1} (AX(t) + BY(t)) X(t)^{-1}) \\
+        &= C + DU(t) - \underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}(A\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}) \\
+        &= C  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
+    \end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+    \label{kra:satz:riccati-matrix-dgl}
+    Die Ableitung $\dt U(t) = \dt (Y(t)X(t)^{-1})$ ist eine Matrix-Riccati-Differentialgleichung.
+\end{satz}
 
-Die Lösung erhalten wir dann mit
+\subsubsection{Lösung}
+Sei
+\[
+    V(t)
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix},
+    \quad
+    \dot{V}(t) = HV(t)
+\]
+eine Matrix-Differentialgleichung 1. Ordnung, dann ist
+\[
+    V(t) = e^{H(t)} V(0)
+\]
+eine Lösung.
+Die Berechnung des Matrixexpontentials $e^{H(t)}$ kann mittels Diagonalisierung
+\[
+    H = Q \Lambda Q^{-1}
+\]
+effizient berechnet werden.
+Es folgt dann, dass
+\[
+    e^{Ht}
+    =
+    Q
+    e^{\Lambda t}
+    Q^{-1}
+    =
+    Q
+    \begin{pmatrix}
+        e^{\lambda_1 t} & 0               & \dots  & 0               \\
+        0               & e^{\lambda_2 t} & \ddots & \vdots          \\
+        \vdots          & \ddots          & \ddots & 0               \\
+        0               & \dots           & 0      & e^{\lambda_n t}
+    \end{pmatrix}
+    Q^{-1}
+\]
+ist. Die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung erhalten wir analog mit
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -108,4 +168,5 @@ Die Lösung erhalten wir dann mit
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}.
+wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist,
+welche die Zeitentwicklung der einzelnen Lösungen beschreibt \cite{kra:kalmanisae}.
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