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Date: Fri, 4 Jun 2021 19:29:43 +0200
Subject: add intro

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 buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex | 116 +++++++++++++++++++++++++++++++
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 create mode 100644 buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex

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new file mode 100644
index 0000000..559a468
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex
@@ -0,0 +1,116 @@
+%
+% einleitung.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+%
+\chapter*{Einleitung\label{chapter:einleitung}}
+\lhead{Einleitung}
+\rhead{}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung}
+Eine Polynomgleichung wie etwa
+\begin{equation}
+p(x) = ax^2+bx+c = 0
+\label{buch:einleitung:quadratisch}
+\end{equation}
+kann manchmal dadurch gelöst werden, dass man die Nullstellen errät
+und damit eine Faktorisierung $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ konstruiert.
+Doch im Allgemeinen wird man die Lösungsformel für quadratische 
+Gleichungen verwenden, die auf quadratischem Ergänzen basiert.
+Es erlaubt die Gleichung~\eqref{buch:einleitung:quadratisch} umzwandeln in
+\[
+\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2
+=
+-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
+=
+\frac{b^2-4ac}{4a^2}.
+\]
+Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, muss man die inverse Funktion
+der Quadratfunktion zur Verfügung haben, die Wurzelfunktion.
+Dies ist wohl das älteste Beispiel einer speziellen Funktion,
+die man zu dem Zweck eingeführt hat, spezielle algebraische Gleichungen
+lösen zu können.
+Sie liefert die bekannte Lösungsformel
+\[
+x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
+\]
+für die quadratische Gleichung.
+
+Durch die Definition der Wurzelfunktion ist das Problem der numerischen
+Berechnung der Nullstelle natürlich noch nicht gelöst, aber man hat
+ein handliches mathematisches Symbol gewonnen, mit dem man die Lösungen
+übersichtlich beschreiben und algebraisch manipulieren kann.
+Diese Idee steht hinter allen weiteren in diesem Buch diskutierten
+Funktionen: wann immer ein wichtiges mathematisches Konzept sich nicht
+direkt durch die bereits entwickelten Funktionen ausdrücken lässt,
+erfindet man dafür eine neue Funktion oder Familie von Funktionen.
+Beispielsweise hat sich die Darstellung von Zahlen $x$ als Potenzen
+einer gemeinsamen Basis, zum Beispiel $x=10^y$, als sehr nützlich
+herausgestellt, um Multiplikationen auf die von Hand leichter
+ausführbaren Additionen zurückzuführen.
+Man braucht also die Fähigkeit, die Abhängigkeit des Exponenten $y$
+von $x$ auszudrücken, mit anderen Worten, man braucht die Logarithmusfunktion.
+
+Spezielle Funktionen wie die Wurzelfunktion und die Logarithmusfunktion
+werden also zu Bausteinen, die in der Lösung algebraischer oder auch
+analytischer Probleme verwendet werden können.
+Die Erfahrung zeigt, dass diese Funktionen immer wieder nützlich
+sind, es lohnt sich also, ihre Berechnung zum Beispiel in einer
+Bibliothek zu implementieren.
+Spezielle Funktionen sind in diesem Sinn eine mathematische Form
+des informatischen Prinzips des ``code reuse''.
+
+Die trigonometrischen Funktionen kann man als Lösungen des geometrischen 
+Problems der Parametrisierung eines Kreises verstehen.
+Alternativ kann man $\sin x$ und $\cos x$ als spezielle Lösungen der
+Differentialgleichung $y''=-y$ verstehen.
+Viele andere Funktionen wie die hyperbolischen Funktionen oder die
+Bessel-Funktionen sind ebenfalls Lösungen spezieller Differentialgleichungen.
+Auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen gibt Anlass
+zu interessanten Lösungsfunktionen.
+Die Separation des Poisson-Problems in Kugelkoordinaten führt zum Beispiel
+auf die Kugelfunktionen, mit denen sich beliebige Funktionen auf einer
+Kugeloberfläche analysieren und synthetisieren lassen.
+
+Die Lösungen einer linearer gewöhnlicher Differentialgleichung können
+oft mit Hilfe von Potenzreihen dargestellt werden.
+So kann man zum Beispiel die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion
+und der trigonometrischen Funktionen finden.
+Die Konvergenz einer Potenzreihe wird aber durch Singularitäten
+eingeschränkt.
+Komplexe Potenzreihen ermöglichen aber, solche Stellen zu ``umgehen''.
+Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen bildet einen
+allgemeinen Rahmen, mit solchen Funktionen umzugehen und ist zum 
+Beispiel nötig, um die Bessel-Funktionen der zweiten Art zu konstruieren,
+die ebenfalls Lösungen ger Bessel-Gleichung sind, aber bei $x=0$
+eine Singularität aufweisen.
+
+Die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ ist natürlich
+auch die Lösung der besonders einfachen Differentialgleichung $F'=f$.
+Ein bekanntes Beispiel ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi(x)
+=
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},
+\]
+der Normalverteilung, für die aber keine geschlossene Darstellung
+mit bekannten Funktionen bekannt ist.
+Sie kann aber durch die Fehlerfunktion
+\[
+\operatorname{erf}(x)
+=
+\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt
+\]
+dargestellt werden.
+Mit dem Risch-Algorithmus kann man nachweisen, dass es tatsächlich
+keine Möglichkeit gibt, die Stammfunktion in geschlossener Form durch
+die bereits bekannten Funktionen darzustellen, die Definition einer
+neuen speziellen Funktion ist also der einzige Ausweg.
+Die Fehlerfunktion ist heute in der Standardbibliothek enthalten auf
+gleicher Stufe wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen,
+Exponentialfunktionen oder Logarithmen.
+
+Die nachstehenden Kapitel sollen die vielfältigen Arten illustrieren,
+wie diese Prinzipien zu neuen und nützlichen speziellen Funktionen
+und ihren Anwendungen führen können.
+
+
-- 
cgit v1.2.1

