From 2400bd7fe87b268a8bb10ab503c3e0948c4dd6f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 1 Jul 2022 17:18:14 +0200
Subject: Einleitung fertig

---
 buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex | 108 +------------------------------
 1 file changed, 3 insertions(+), 105 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex')

diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex
index 559a468..e53eafb 100644
--- a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex
@@ -7,110 +7,8 @@
 \lhead{Einleitung}
 \rhead{}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung}
-Eine Polynomgleichung wie etwa
-\begin{equation}
-p(x) = ax^2+bx+c = 0
-\label{buch:einleitung:quadratisch}
-\end{equation}
-kann manchmal dadurch gelöst werden, dass man die Nullstellen errät
-und damit eine Faktorisierung $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ konstruiert.
-Doch im Allgemeinen wird man die Lösungsformel für quadratische 
-Gleichungen verwenden, die auf quadratischem Ergänzen basiert.
-Es erlaubt die Gleichung~\eqref{buch:einleitung:quadratisch} umzwandeln in
-\[
-\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2
-=
--\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
-=
-\frac{b^2-4ac}{4a^2}.
-\]
-Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, muss man die inverse Funktion
-der Quadratfunktion zur Verfügung haben, die Wurzelfunktion.
-Dies ist wohl das älteste Beispiel einer speziellen Funktion,
-die man zu dem Zweck eingeführt hat, spezielle algebraische Gleichungen
-lösen zu können.
-Sie liefert die bekannte Lösungsformel
-\[
-x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
-\]
-für die quadratische Gleichung.
-
-Durch die Definition der Wurzelfunktion ist das Problem der numerischen
-Berechnung der Nullstelle natürlich noch nicht gelöst, aber man hat
-ein handliches mathematisches Symbol gewonnen, mit dem man die Lösungen
-übersichtlich beschreiben und algebraisch manipulieren kann.
-Diese Idee steht hinter allen weiteren in diesem Buch diskutierten
-Funktionen: wann immer ein wichtiges mathematisches Konzept sich nicht
-direkt durch die bereits entwickelten Funktionen ausdrücken lässt,
-erfindet man dafür eine neue Funktion oder Familie von Funktionen.
-Beispielsweise hat sich die Darstellung von Zahlen $x$ als Potenzen
-einer gemeinsamen Basis, zum Beispiel $x=10^y$, als sehr nützlich
-herausgestellt, um Multiplikationen auf die von Hand leichter
-ausführbaren Additionen zurückzuführen.
-Man braucht also die Fähigkeit, die Abhängigkeit des Exponenten $y$
-von $x$ auszudrücken, mit anderen Worten, man braucht die Logarithmusfunktion.
-
-Spezielle Funktionen wie die Wurzelfunktion und die Logarithmusfunktion
-werden also zu Bausteinen, die in der Lösung algebraischer oder auch
-analytischer Probleme verwendet werden können.
-Die Erfahrung zeigt, dass diese Funktionen immer wieder nützlich
-sind, es lohnt sich also, ihre Berechnung zum Beispiel in einer
-Bibliothek zu implementieren.
-Spezielle Funktionen sind in diesem Sinn eine mathematische Form
-des informatischen Prinzips des ``code reuse''.
-
-Die trigonometrischen Funktionen kann man als Lösungen des geometrischen 
-Problems der Parametrisierung eines Kreises verstehen.
-Alternativ kann man $\sin x$ und $\cos x$ als spezielle Lösungen der
-Differentialgleichung $y''=-y$ verstehen.
-Viele andere Funktionen wie die hyperbolischen Funktionen oder die
-Bessel-Funktionen sind ebenfalls Lösungen spezieller Differentialgleichungen.
-Auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen gibt Anlass
-zu interessanten Lösungsfunktionen.
-Die Separation des Poisson-Problems in Kugelkoordinaten führt zum Beispiel
-auf die Kugelfunktionen, mit denen sich beliebige Funktionen auf einer
-Kugeloberfläche analysieren und synthetisieren lassen.
-
-Die Lösungen einer linearer gewöhnlicher Differentialgleichung können
-oft mit Hilfe von Potenzreihen dargestellt werden.
-So kann man zum Beispiel die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion
-und der trigonometrischen Funktionen finden.
-Die Konvergenz einer Potenzreihe wird aber durch Singularitäten
-eingeschränkt.
-Komplexe Potenzreihen ermöglichen aber, solche Stellen zu ``umgehen''.
-Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen bildet einen
-allgemeinen Rahmen, mit solchen Funktionen umzugehen und ist zum 
-Beispiel nötig, um die Bessel-Funktionen der zweiten Art zu konstruieren,
-die ebenfalls Lösungen ger Bessel-Gleichung sind, aber bei $x=0$
-eine Singularität aufweisen.
-
-Die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ ist natürlich
-auch die Lösung der besonders einfachen Differentialgleichung $F'=f$.
-Ein bekanntes Beispiel ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi(x)
-=
-\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},
-\]
-der Normalverteilung, für die aber keine geschlossene Darstellung
-mit bekannten Funktionen bekannt ist.
-Sie kann aber durch die Fehlerfunktion
-\[
-\operatorname{erf}(x)
-=
-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt
-\]
-dargestellt werden.
-Mit dem Risch-Algorithmus kann man nachweisen, dass es tatsächlich
-keine Möglichkeit gibt, die Stammfunktion in geschlossener Form durch
-die bereits bekannten Funktionen darzustellen, die Definition einer
-neuen speziellen Funktion ist also der einzige Ausweg.
-Die Fehlerfunktion ist heute in der Standardbibliothek enthalten auf
-gleicher Stufe wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen,
-Exponentialfunktionen oder Logarithmen.
-
-Die nachstehenden Kapitel sollen die vielfältigen Arten illustrieren,
-wie diese Prinzipien zu neuen und nützlichen speziellen Funktionen
-und ihren Anwendungen führen können.
 
+\input{chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex}
+\input{chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex}
+\input{chapters/000-einleitung/inhalt.tex}
 
-- 
cgit v1.2.1

