From dcd6d6037a84343f19333fe86a904bdc0bb8a36f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 17 Jun 2022 11:20:00 +0200
Subject: new section, cleanup

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 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 60 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
new file mode 100644
index 0000000..a5612e9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+%
+% rational.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Rationale Funktionen
+\label{buch:polynome:section:rationale-funktionen}}
+\rhead{Rationale Funktionen}
+Polynome sind sehr einfach auszuwerten und können auf einem
+Interval jede stetige Funktion beliebig gut approximieren.
+Auf einem unbeschränkten Definitionsbereich wachsen Polynome aber
+immer unbeschränkt an.
+Der führende Term $a_nx^n$ dominiert das Verhalten eines Polynoms
+für $x\to\infty$ wegen
+\[
+\lim_{x\to\infty} a_nx^n
+=
+\sign a_n \cdot\infty
+\qquad\text{und}\qquad
+\lim_{x\to-\infty} a_nx^n
+=
+(-1)^n \sign a_n\cdot \infty.
+\]
+Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte
+Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich
+gut approximieren lässt.
+Der Unterschied $p(x)-\sin x$ wird für jedes beliebige Polynome $p(x)$
+für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen.
+
+Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich
+der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist.
+Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient
+ist nicht notwendigerweise ein Polynome.
+Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt.
+
+\begin{definition}
+Eine Funktion $f(x)$ heisst {\em rationale Funktion}, wenn sie Quotient
+\index{rationale Funktion}%
+zweier Polynome ist, wenn es also Polynome $p(x), q(x)\in K[x]$ gibt mit
+\[
+f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}.
+\]
+Die Menge der rationalen Funktione mit Koeffizienten in $K$ wird mit
+$K(x)$ bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Polynome sind rationale Funktionen, deren Nennergrad $1$ ist.
+Rationale Funktionen können ebenfalls zur Approximation von Funktionen
+verwendet werden.
+Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential, 
+beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit 
+Polynomen allein möglich wäre.
+Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch
+\cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der
+Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit
+linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen.
+Weitere Anwendungen werden in Kapitel~\ref{chapter:transfer}
+gezeigt.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 0a24e24dc7b997d054be086aa2c021decf0a01f5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 17 Jun 2022 20:09:36 +0200
Subject: info on rational functions

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 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex | 7 ++++---
 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
index a5612e9..f1957ac 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
@@ -15,11 +15,11 @@ für $x\to\infty$ wegen
 \[
 \lim_{x\to\infty} a_nx^n
 =
-\sign a_n \cdot\infty
+\operatorname{sgn} a_n \cdot\infty
 \qquad\text{und}\qquad
 \lim_{x\to-\infty} a_nx^n
 =
-(-1)^n \sign a_n\cdot \infty.
+(-1)^n \operatorname{sgn} a_n\cdot \infty.
 \]
 Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte
 Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich
@@ -30,7 +30,7 @@ für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen.
 Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich
 der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist.
 Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient
-ist nicht notwendigerweise ein Polynome.
+ist nicht notwendigerweise ein Polynom.
 Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt.
 
 \begin{definition}
@@ -51,6 +51,7 @@ Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential,
 beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit 
 Polynomen allein möglich wäre.
 Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch
+\index{Pade-Approximation@Padé-Approximation}%
 \cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der
 Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit
 linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen.
-- 
cgit v1.2.1

