From 8a570ddc78a49006c1e6ad15bf05a19e62038f16 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 21 Jun 2022 16:16:07 +0200
Subject: jacobi stuff completed

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 buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++
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index 29d1d4b..780be1b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -241,6 +241,9 @@ Die Rekursionsformel
 kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome
 sehr effizient zu berechnen.
 
+%
+% Multiplikationsformel
+%
 \subsubsection{Multiplikationsformel}
 Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen
 lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
@@ -300,4 +303,79 @@ T_{mn}(x).
 Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen.
 \end{proof}
 
+%
+% Differentialgleichung
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung}
+Die Ableitungen der Tschebyscheff-Polynome sind
+\begin{align*}
+T_n(x)
+&=
+\cos (ny(x))
+&&
+&&
+\\
+\frac{d}{dx} T_n(x)
+&=
+\frac{d}{dx} \cos(ny(x))
+=
+n\sin(ny(x)) \cdot \frac{dy}{dx}
+&
+&\text{mit}&
+\frac{dy}{dx}
+&=
+-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\\
+\frac{d^2}{dx^2} T_n(x)
+&=
+-n^2\cos(ny(x)) \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2 + n\sin(ny(x)) \frac{d^2y}{dx^2}
+&
+&\text{mit}&
+\frac{d^2y}{dx^2}
+&=
+-\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}.
+\end{align*}
+Wir suchen eine verschwindende Linearkombination dieser drei Terme
+mit Funktionen von $x$ als Koeffizienten.
+Wir setzen daher an
+\begin{align*}
+0
+&=
+\alpha(x) T_n''(x)
++
+\beta(x) T_n'(x)
++
+\gamma(x) T_n(x)
+\\
+&=
+\biggl(
+-\frac{n^2\alpha(x)}{1-x^2}
++
+\gamma(x)
+\biggr)
+\cos(ny(x))
++
+\biggl(
+-\frac{nx\alpha(x)}{(1-x^2)^{\frac32}}
+-\frac{n\beta(x)}{\sqrt{1-x^2}}
+\biggr)
+\sin(ny(x))
+\end{align*}
+Die grossen Klammern müssen verschwinden, was nur möglich ist, wenn zu
+gegebenem $\alpha(x)$ die anderen beiden Koeffizienten
+\begin{align*}
+\beta(x)  &=  -\frac{x\alpha(x)}{1-x^2} \\
+\gamma(x) &= n^2 \frac{\alpha(x)}{1-x^2}
+\end{align*}
+sind.
+Die Koeffizienten werden besonders einfach, wenn man $\alpha(x)=1-x^2$ wählt.
+Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(1-x^2) T_n''(x) -x T_n'(x) +n^2 T_n(x) = 0.
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+\end{equation}
+
+
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1

