From 083feab0f9542f4e6e01c51c1beb6878f2f70b2f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 2 Jan 2022 12:35:36 +0100 Subject: new images --- buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile | 9 ++ buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf | Bin 0 -> 23999 bytes buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex | 98 +++++++++++++++++++ buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex | 135 ++++++++++++++++++++++++++- buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex | 61 ++++++++++++ 5 files changed, 302 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex (limited to 'buch/chapters/010-potenzen') diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a4b4f0d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: wurzel.pdf + +wurzel.pdf: wurzel.tex + pdflatex wurzel.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf new file mode 100644 index 0000000..108ac16 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf differ diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex new file mode 100644 index 0000000..aba9aa2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex @@ -0,0 +1,98 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\def\n{8} + +\fill[color=gray!20] (-1.1,-1.1) rectangle (2.1,2.1); +\fill[color=white] (-1.11,-1.11) rectangle (0,0); +\fill[color=white] (0,0) rectangle (1,1); +\fill[color=white] (1,1) rectangle (2.22,2.22); + +\draw[->] (-1.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.1) -- (0,2.3) coordinate[label={left:$y$}]; + +\draw[color=gray!50,line width=1pt] (-1.1,-1.1) -- (2.2,2.2); + +\begin{scope} +\clip (-1.1,-1.1) rectangle (2.1,2.1); + +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] + plot[domain=0:2.2,samples=100] ({\x},{\x*\x}); +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:2.2,samples=100] ({\x*\x},{\x}); + +\draw[color=blue!40,line width=1.4pt] + plot[domain=-1.1:2.2,samples=100] ({\x},{\x*\x*\x}); +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=-1.1:2.2,samples=100] ({\x*\x*\x},{\x}); + +\draw[color=darkgreen!40,line width=1.4pt] + (0,0) + -- + plot[domain=-3:0.1,samples=100] 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(c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochscule % -\section{Lösungen von Polynomegleichungen +\section{Lösungen von Polynomgleichungen \label{buch:potenzen:section:loesungen}} \rhead{Lösungen von Polynomgleichungen} +Die Berechnung von Polynomen ist sehr einfach, da nur arithmetische +Grundoperationen benötigt werden. +In vielen Anwendungen sind jedoch die Argumente gefragt, für die ein +Polynom einen bestimmten Wert annimmt. +Es geht also um die Lösung von Gleichungen der Form +\[ +p(x) = c +\] +für ein Polynome $p(x)$ und eine Konstante $c\in\mathbb{C}$. % % Fundamentalsatz der Algebra % \subsection{Fundamentalsatz der Algebra} +\begin{satz}[Gauss] +Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$ +zerfällt in ein Produkt +\[ +p(x) += +a_n +(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) +\] +für Nullstellen $\alpha_k\in\mathbb{C}$. +\end{satz} + % % Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke % \subsection{Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke} +Der Fundamentalsatz macht keine Aussage darüber, wie die Nullstellen +eines Polynoms gefunden werden können. +Selbst für besonders einfache Gleichungen der Form +\[ +x^n = c +\qquad +\text{oder Polynome der Form} +\qquad +p(x) = x^n -c +\] +gibt es keine direkte, nur auf den arithmetischen +Operationen basierende Methode, eine Nullstelle oder Faktorisierung +in endlich vielen Schritten zu finden. +Dies rechtfertigt, für diese einfachen Fälle eine neue, spezielle +Funktion zu definieren, die mindestens für reelle Koeffizienten +die Nullstelle als Rückgabewert hat. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf} +\caption[Graph der Wurzelfunktionen]{Graph der Wurzelfunktionen +%$x\mapsto\root{n}\of{x\mathstrut}$ +\ensuremath{x\mapsto\root{n}\of{x}} +als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ für +$n=2$ ({\color{red}rot}), $n=3$ ({\color{blue}blau}), +$n=16$ ({\color{darkgreen}grün}) und $n=27$ ({\color{orange}orange}). +\label{buch:potenzen:fig:wurzel} +} +\end{figure} + +\begin{definition} +Die inverse Funktion der Potenzfunktion +$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto y=f(x)=x^n$ +heisst die $n$-{\em te Wurzel} und wird +\[ +\root{n}\of{\mathstrut\phantom{m}} += +f^{-1} +\colon +D\to\mathbb{R} +: +y\mapsto f^{-1}(y)=\root{n}\of{\mathstrut y} +\] +geschrieben. +Für gerades $n$ ist der Definitionsbereich der Wurzel nur +$D=\mathbb{R}_{\ge 0}$, für ungerades $n$ ist $D=\mathbb{R}$. +Für $n=2$ wird die Wurzel als +\( +\root{2}\of{\mathstrut y} += +\sqrt{\mathstrut y} +\) +geschrieben. +\end{definition} + +TODO: Graph der Wurzelfunktion hinzufügen + +Mit der Wurzelfunktion ist es jetzt möglich, auch kompliziertere +Gleichungen zu lösen: +\begin{enumerate} +\item +Für negative Argument $y<0$ müssen Quadratwurzeln als +$\sqrt{y\mathstrut}=i\sqrt{-y\mathstrut}$ definiert werden. +\item +Mindestens der Betrag der Wurzel einer komplexen Zahl lässt +sich jetzt sofort mittels $|\root{n}\of{c\mathstrut}|=\root{n}\of{|c|\mathstrut}$ +berechnen. +Für das Argument sind jedoch die in +Abschnitt~\label{buch:geometrie:section:trigonometrisch} definierten +trigonometrischen Funktionen notwendig. +\item +Die quadratische Gleichung +\[ +ax^2+bx+c=0 +\] +hat die Nullstellen +\[ +x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\mathstrut}}{2a}. +\] +\item +Für kubische Gleichungen hat Cardano eine Lösung gefunden, die +Nur Wurzelausdrücke und arithmetische Operationen verwendet. +Die Gleichung $x^3+px+q=0$ hat die Nullstelle +\[ +x += +\root{3}\of{-\frac{q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} ++ +\root{3}\of{-\frac{q}2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}. +\] +Falls das Argument der Quadratwurzel negativ ist, muss eine +Kubikwurzel aus einer komplexen Zahl berechnet werden, was +wieder über die Möglichkeiten der oben definierten Wurzelfunktionen +hinausgeht. +\item +Für die Lösung einer Gleichung vierten Grades hat Ferrari eine +Formel angegeben, die mit Wurzelausdrücken und arithmetischen +Operationen auskommt. +\end{enumerate} + +Allerdings ist damit auch bereits ausgeschöpft, was die +Wurzelfunktionen zur Lösung von Polynomgleichungen beitragen +können. +Der folgende Satz von Abel zeigt, dass man für Polynomgleichungen +höheren Grades nicht mit einer Lösung durch Wurzelausdrücke +rechnen kann. + +\begin{satz}[Abel] +Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine +Lösung durch Wurzelausdrücke. +\end{satz} + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index 5821f97..b8ad03c 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -6,6 +6,67 @@ \section{Polynome \label{buch:potenzen:section:polynome}} \rhead{Polynome} +Die wohl einfachsten Funktionen, die sich mit den arithmetischen +Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome. + +\begin{definition} +\index{Polynom}% +Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion +\[ +p(x) = a_nx^2n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, +\] +wobei $a_n\ne 0$ sein muss. +Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist. +\index{normiert}% +Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit +$K[x]$ bezeichnet. +\end{definition} + +Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$ +mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen ein +Ring mit $1$ ist. +Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$ +beschränken. + +In Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} werden +Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine +Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen. +Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von +Differentialgleichungen finden. +Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen +\[ +\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z) +\], die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der +Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist. +Polynome sind also bereits eine Vielfältige Quelle von speziellen +Funktionen. + +Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und +sich nicht als einfache Polynome ausdrücken lassen. +Genau diese Unmöglichkeit rechtfertigt ja, neue Funktionen +zu definieren. +Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente +Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren. +Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen. + +\begin{satz}[Weierstrasse] +Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ +lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig +approximieren. +\end{satz} + +Der Satz sagt in dieser Form nichts darüber aus, wie die +Approximationspolynome konstruiert werden sollen. +Von Bernstein gibt es konstruktive Beweise dieses Satzes, +welche auch explizit eine Folge von Approximationspolynomen +konstruieren. +In der späteren Entwicklung werden wir für die meisten +speziellen Funktionen Potenzreihen entwickeln, deren Partialsummen +ebenfalls als Approximationen dienen können. +Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der +numerischen Mathematik. \subsection{Faktorisierung und Nullstellen} % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe -- cgit v1.2.1