From 0ae2acadcf667fcd3d2cfc76aad9a7a754cb0f61 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 17 Jan 2022 14:05:05 +0100 Subject: add lots of images for a new cover --- buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc | 3 ++ buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex | 14 ++++---- buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex | 3 -- buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex | 24 +++++++++++++- buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex | 6 ++++ buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex | 14 +++++++- buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex | 37 ++++++++++++++++++++++ buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex | 17 ++++++++++ buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex | 21 ++++++++++++ 9 files changed, 128 insertions(+), 11 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex (limited to 'buch/chapters/010-potenzen') diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index 8dba738..a4505cb 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -9,4 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex \ + chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex \ + chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex \ + chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex \ chapters/010-potenzen/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex index d887142..7dc30d4 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex @@ -42,11 +42,13 @@ Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert. \input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex} \input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{101} +\uebungsaufgabe{102} +\uebungsaufgabe{103} %\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex index af4c2f2..3d55710 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex @@ -58,7 +58,6 @@ die Nullstelle als Rückgabewert hat. \centering \includegraphics{chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf} \caption[Graph der Wurzelfunktionen]{Graph der Wurzelfunktionen -%$x\mapsto\root{n}\of{x\mathstrut}$ \ensuremath{x\mapsto\root{n}\of{x}} als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ für $n=2$ ({\color{red}rot}), $n=3$ ({\color{blue}blau}), @@ -92,8 +91,6 @@ Für $n=2$ wird die Wurzel als geschrieben. \end{definition} -TODO: Graph der Wurzelfunktion hinzufügen - Mit der Wurzelfunktion ist es jetzt möglich, auch kompliziertere Gleichungen zu lösen: \begin{enumerate} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index df74574..5f119e5 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -78,5 +78,27 @@ numerischen Mathematik. % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen \subsection{Polynom-Berechnung} -% Effiziente Berechnung von Polynomen ist zentral für die Numerik +Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms beginnt mit der Berechnung +der Potenzen. +Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann minimiert werden, indem man +das Polynom als +\[ +a_nx^n ++ +a_{n+1}x^{n+1} ++ +\dots ++ +a_1x ++ +a_0 += +((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0 +\] +schreibt. +Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen +und $n+1$ Additionen nötig, im Gegensatz zu $2n$ Multiplikationen +und $n$ Additionen bei der naiven Vorgehensweise. + + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex index 932e1e4..a003fcb 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex @@ -276,6 +276,12 @@ Auf diese allgemeingültige Eigenschaft wird in Abschnitt eingegangen. \end{beispiel} +Auch das Quotientenkriterium kann zur Berechnung des Konvergenzradius +herangezogen werden. +Falls $a_k\ne 0$ ab einem gewissen Index $k$ ist und der Grenzwert +von $a_{k}/a_{k+1}$ für $k\to\infty$ existiert, dann ist der +Grenzwert der Konvergenzradius. + % % Tayler-Reihe % diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex index ca6100b..29d1d4b 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -16,6 +16,10 @@ zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik. Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass} lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch ein Polynom approximieren. +Interpolation kann zur Konstruktion solcher approximierender Polynome +verwendet werden, wie die folgenden Abschnitte zeigen sollen. +Die Optimierung des Approximationsfehlers führt auf die Spezifikation +einer interessanten Familie von Polynomen. \subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome} Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome @@ -66,6 +70,7 @@ Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor $(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet. Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$. +\index{Lagrange-Interpolationspolynom}% Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom \[ p(x) @@ -132,6 +137,7 @@ bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können. \begin{definition} +\index{Tschebyscheff-Polynom}% \label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} Das Polynom \[ @@ -166,6 +172,7 @@ orthogonaler Polynome sind. Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} der Tschebyscheff-Polynome +\index{Drei-Term-Rekursion!für Tschebyscheff-Polynome} \begin{align*} xT_n(x) &= @@ -183,7 +190,11 @@ x\,T_n(x) Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt \begin{equation} T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), -\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1 +\quad +\text{mit Startwerten} +\quad T_1(x)=x, +\quad +T_0(x)=1. \label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion} \end{equation} Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden: @@ -233,6 +244,7 @@ sehr effizient zu berechnen. \subsubsection{Multiplikationsformel} Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten. +\index{Multiplikationsformel}% \begin{satz} Es gilt diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex new file mode 100644 index 0000000..197b196 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +Finden Sie eine Potenzreihe für die Funktion +\( +z\mapsto \frac{1}{z} +\) +im Punkt $z_0\ne 0$. + +\begin{hinweis} +Berechnen Sie $1/(z_0 - (z_0-z))$. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Die Funktion im Hinweis kann in die Form einer geometrischen Reihe +gebracht werden: +\begin{align*} +\frac{1}{z_0-(z_0-z)} +&= +\frac{1}{z_0} +\cdot +\frac{1}{1-(\frac{z_0-z}{z_0})} += +\frac{1}{z_0} +\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z_0-z}{z_0}\biggr)^k += +\frac{1}{z_0} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^k} (z-z_0)^k += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k. +\end{align*} +Die Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe sind daher +\[ +a_k = \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}. +\qedhere +\] +\end{loesung} + + + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex new file mode 100644 index 0000000..98e9fcc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +Berechnen Sie den Konvergenzradius der Exponentialreihe +$e^z=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$ + +\begin{loesung} +Mit $a_k=1/k!$ folgt mit dem Quotientenkriterium +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{(k+1)!}{k!} += +k+1 +\to +\infty +\] +für $k\to\infty$. +Der Konvergenzradius ist daher unendlich. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex new file mode 100644 index 0000000..5d0c3e0 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +Verwenden Sie das Resultat von Aufgabe~\ref{101}, um die $k$-te Ableitung +der Funktion $1/z$ an der Stelle $z_0$ zu berechnen. + +\begin{loesung} +Die Taylor-Reihe von $f(z)=1/z$ an der Stelle $z_0$ ist +\[ +\mathscr{T}_{z_0}f(z) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} +(z-z_0)^k += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k +\quad\Rightarrow\quad +f^{(k)}(z_0) += +k!\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}. +\qedhere +\] +\end{loesung} -- cgit v1.2.1