From 76667638d447ccdc012590a3ce98235cc9d31035 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 9 Jan 2022 17:48:40 +0100
Subject: new stuff on tschebyscheff and conic sections

---
 buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex             |  28 +++
 buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile         |   9 +-
 .../010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf    | Bin 0 -> 5306628 bytes
 .../010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex    |  84 +++++++
 buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg    | Bin 0 -> 5277187 bytes
 buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf    | Bin 0 -> 5278616 bytes
 buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex    |  84 +++++++
 buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex            |   9 +-
 buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex       | 280 ++++++++++++++++++++-
 9 files changed, 486 insertions(+), 8 deletions(-)
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 create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex
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 create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
index 666c426..d887142 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
@@ -8,6 +8,34 @@
 \label{buch:chapter:potenzen}}
 \lhead{Potenzen und Wurzeln}
 \rhead{}
+Die einfachsten Funktionen, die man allein mit den arithmetischen
+Operationen definieren kann, sind Polynome der unabhängigen Variablen.
+Die Einfachheit, mit der sich die Werte eines Polynoms berechnen lassen,
+rechtfertigt natürlich nicht, dafür eine spezielle Funktion zu definieren.
+Es gibt aber mindestens die folgenden drei wichtige Bereiche, in denen
+Polynomen eine besondere Bedeutung zu kommt, die eine tiefergehende
+Diskussion rechtfertigen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion sind viel schwieriger zu 
+berechnen und können als eine besonders einfache Art von speziellen
+Funktionen betrachtet werden.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:loesungen} definierten
+Wurzelfunktionen sind der erste Schritt zur Lösung von Polynomgleichungen.
+\item
+Es lassen sich interessante Familien von Funktionen
+definieren, die zum Teil aus Polynomen bestehen.
+Oft zeichnen sie sich durch Besonderheiten aus, die
+direkt mit der Tatsache zusammenhängen, dass sie Polynom sind.
+Ein Beispiel einer solchen Funktionenfamilie wird in
+Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} vorgestellt.
+\item
+Alles speziellen Funktionen sind analytisch, sie haben eine konvergente
+Potenzreihenentwicklung.
+Die Partialsummen einer Potenzreihenentwicklung sind Approximationen
+An die wichtigsten Eigenschaften von Potenzreihen wird in 
+Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert.
+\end{enumerate}
 
 \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex}
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
index a4b4f0d..bd6b6c1 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
@@ -3,7 +3,14 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	wurzel.pdf
+all:	wurzel.pdf lissajous.pdf lissajous-chebyshef.pdf
 
 wurzel.pdf:	wurzel.tex
 	pdflatex wurzel.tex
+
+lissajous.pdf:  lissajous.tex lissajous.jpg
+	pdflatex lissajous.tex
+
+lissajous-chebyshef.pdf:        lissajous-chebyshef.tex lissajous.jpg
+	pdflatex lissajous-chebyshef.tex
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ea82479
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex
new file mode 100644
index 0000000..cb8e461
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+%
+% lissajous.tex -- annotated lissajous figure
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4);
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-2) rectangle (7,2);
+	\node at (0,-0.065) [rotate=-0.5]
+		{\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}};
+\end{scope}
+
+\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.5,0);
+
+\def\xupper{1.7}
+\xdef\xlower{-\xupper}
+\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.5,\xupper);
+\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.5,\xlower);
+
+
+%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08];
+%
+\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-5.2,0) [below right] {$x_2\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-2.85,0) [below right] {$x_4\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-1.37,0) [above right] {$x_5\mathstrut$};
+\node[color=red] at (0.2,0) [above left] {$x_6\mathstrut$};
+\node[color=red] at (1.73,0) [below left] {$x_7\mathstrut$};
+\node[color=red] at (3.21,0) [above left] {$x_8\mathstrut$};
+\node[color=red] at (4.52,0) [below left] {$x_9\mathstrut$};
+\node[color=red] at (5.57,0) [above left] {$x_{10}\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({6.32+0.1},0) [below left] {$x_{11}\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({6.71},0) [below right] {$x_{12}\mathstrut$};
+
+\def\xamplitude{6.57}
+\def\yamplitude{1.66}
+
+\begin{scope}[xshift=0.20cm]
+\draw[color=red,line width=1pt] plot[domain=0:180,samples=1000]
+	({\xamplitude*cos(\x)},{\yamplitude*cos(13*\x)});
+
+\foreach \k in {0,...,13}{
+	\pgfmathparse{(90+180*\k)/13}
+	\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+	\fill[color=red] 
+	({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)})
+		circle[radius=0.08];
+}
+
+\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4})
+	{$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) 
+	{$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg
new file mode 100644
index 0000000..0e0eb17
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg differ
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf
new file mode 100644
index 0000000..74d62c7
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex
new file mode 100644
index 0000000..eb36347
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+%
+% lissajous.tex -- annotated lissajous figure
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{0.99}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4);
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-2) rectangle (7,2);
+	\node at (0,-0.065) [rotate=-0.5]
+		{\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}};
+\end{scope}
+
+%\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.1,0);
+
+\def\xupper{1.7}
+\xdef\xlower{-\xupper}
+%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.1,\xupper);
+%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.1,\xlower);
+
+
+%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08];
+%
+%\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$};
+%\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$};
+%\node[color=red] at (-5.2,0) [below right] {$x_2\mathstrut$};
+%\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$};
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+\def\xamplitude{6.57}
+\def\yamplitude{1.66}
+
+\begin{scope}[xshift=0.20cm]
+%\draw[color=red,line width=1pt] plot[domain=0:180,samples=1000]
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+
+\foreach \k in {0,...,13}{
+	\pgfmathparse{(90+180*\k)/13}
+	\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+%	\fill[color=red] 
+%	({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)})
+%		circle[radius=0.08];
+}
+
+%\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4})
+%	{$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+%\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) 
+%	{$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index b8ad03c..df74574 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -28,15 +28,15 @@ Ring mit $1$ ist.
 Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$
 beschränken.
 
-In Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} werden
+In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden
 Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine
 Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen.
 Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von
 Differentialgleichungen finden.
 Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen
 \[
-\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)
-\], die in
+\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr),
+\] die in
 Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
 definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der
 Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist.
@@ -51,7 +51,8 @@ Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente
 Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren.
 Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen.
 
-\begin{satz}[Weierstrasse]
+\begin{satz}[Weierstrass]
+\label{buch:potenzen:satz:weierstrass}
 Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$
 lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig
 approximieren.
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
index be78967..ca6100b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -12,6 +12,280 @@ Sie ermöglichen, Interpolationspolynome mit besonders guten
 Fehlereigenschaften zu finden, haben aber auch andere Anwendungen
 zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik.
 
-\subsection{Motivation}
-\subsection{Rekursionsbeziehung}
-\subsection{Anwendung: Interpolation}
+\subsection{Motivation: Interpolation}
+Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass}
+lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch
+ein Polynom approximieren.
+
+\subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome}
+Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome
+der Funktion $f(x)$
+zu finden, besteht darin, ein Polynom $p(x)$ zu konstruieren, welches
+in einzelnen, Stützstellen genannten Werten $x_0<x_1<\dots<x_n$ der
+unabhängigen Variablen mit $f$ übereinstimmt, also
+\[
+p(x_i) = f(x_i), \quad i=0,\dots,n.
+\]
+Die Konstruktion eines solchen Polynoms geht aus vom Polynome
+\[
+l(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n),
+\]
+welches an allen Stützstellen verschwindet.
+Daraus lässt sich für jede Stützstelle ein Polynom
+\[
+l_j(x)
+=
+\frac{
+(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_j)}\cdots(x-x_n)
+}{
+(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n)
+}
+\]
+konstruieren, wobei $\widehat{(x-x_j)}$ bedeutet, dass dieser Faktor
+weggelassen werden soll.
+Das Polynome $l_j(x)$ hat die Werte
+\begin{align}
+l_j(x_k)
+&=
+\frac{
+(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots\widehat{(x_k-x_j)}\cdots(x_k-x_n)
+}{
+(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n)
+}
+=
+\delta_{jk}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad j=k\\
+0&\qquad j\ne k
+\end{cases}
+\label{buch:potenzen:interpolation:lj}
+\end{align}
+auf den Stützstellen.
+Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor
+$(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet.
+Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$.
+
+Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom
+\[
+p(x)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x).
+\]
+Aus der Eigenschaft~\eqref{buch:potenzen:interpolation:lj} folgt, dass
+\[
+p(x_k)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x_k)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) \delta_{jk}
+=
+f(x_k).
+\]
+
+\subsubsection{Fehler des Interpolationspolynoms}
+Der Approximationsfehler des Interpolationspolynoms kann mit der Formel
+\[
+f(x)-p(x)
+=
+l(x) \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
+\]
+für einen geeigneten Wert $\xi$ mit $x_0 < \xi < x_n$.
+Über die Ableitungen hat man natürlich keine Kontrolle, die einzige 
+Möglichkeit, den Fehler möglichst klein zu halten ist daher,
+die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat.
+Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet,
+da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert.
+
+\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf}
+\caption{Lissajous-Figur für zwei Signale $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$.
+\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf}
+\caption{Das Tschebyscheff-Polynom als Lösung des Interpolationsproblems.
+\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous-tschebyscheff}}
+\end{figure}
+Die Aufgabe, geeignete Stützstellen für das Interpolationsproblem zu finden,
+die den Fehler minimieren, ist als gleichbedeutend damit, ein Polynom
+zu finden, dessen Betrag beschränkt ist.
+Eine Lissajous-Figur wie die in
+Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} erfüllt
+diese Bedinung.
+Sofern sie sich als Polynom ausdrücken lässt, könnte ihre Nullstellen
+das Interpolationsproblem optimal lösen.
+
+In der Lissajous-Figur in
+Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} ist
+die Funktion $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$ dargestellt.
+Wegen $t=\arccos x$
+Als Funktion von $x$ ist daher
+\[
+y(x) = \cos(nt)=\cos(n\arccos x).
+\]
+Tatsächlich ist aus der Theorie der trigonometrischen Funktionen
+bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer
+als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
+Das Polynom
+\[
+T_n(x)
+=
+\cos (n\arccos x),
+\qquad
+x\in[-1,1]
+\]
+heisst
+{\em Tschebyscheff-Polynom (erster Art)} vom Grad $n$.
+\end{definition}
+Die Tschebyscheff-Polynome eignen sich auch hervorragend
+dafür, Eigenschaften spezieller Funktionenfamilien zu
+illustrieren.
+Es wird sich zeigen, dass die Tschebyscheff-Polynome
+Lösungen einer speziellen Differentialgleichung sind und
+bezüglich eines in Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet}
+definierten Skalarproduktes von Funktionen orthonormiert sind.
+
+\subsection{Rekursionsbeziehungen
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}}
+Es ist etwas mühsam, einen Ausdruck von $T_n(x)$ direkt aus
+trigonometrischen Identitäten herzuleiten.
+In diesem Abschnitt soll daher eine Rekursionsbeziehung
+hergeleitet werden.
+Später in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation}
+wird gezeigt, dass solche Rekursionsbeziehungen eine Begleiterscheinung
+orthogonaler Polynome sind.
+
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus
+der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
+der Tschebyscheff-Polynome
+\begin{align*}
+xT_n(x)
+&=
+\cos(y)\cdot \cos(ny)
+\\
+&=
+\frac12\bigl(
+\cos((n+1)y) + \cos((n-1)y)
+\bigr)
+\\
+x\,T_n(x)
+&=
+\frac12 T_{n+1}(x) + \frac12 T_{n-1}(x).
+\end{align*}
+Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt
+\begin{equation}
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
+\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+T_0(x)
+&=1
+\\
+T_1(x)
+&=
+x
+\\
+T_2(x)
+&=
+2x^2-1
+\\
+T_3(x)
+&=
+4x^3-3x
+\\
+T_4(x)
+&=
+8x^4-8x^2+1
+\\
+T_5(x)
+&=
+16x^5-20x^3+5x
+\\
+T_6(x)
+&=
+32x^6-48x^4+18x^2-1
+\\
+T_7(x)
+&=
+64x^7-112x^5+56x^3-7x
+\\
+T_8(x)
+&=
+128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Die Rekursionsformel
+\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion}
+kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome
+sehr effizient zu berechnen.
+
+\subsubsection{Multiplikationsformel}
+Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen
+lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
+
+\begin{satz}
+Es gilt
+\begin{align}
+T_m(x)T_n(x)&=\frac12\bigl(T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)\bigr)
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1}
+\\
+T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)) = T_n(T_m(x))
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2}
+\end{align}
+für alle natürlichen $m$ und $n$.
+\end{satz}
+
+In \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1} können negative Indizes
+auftreten, wenn $n>m$ ist.
+In solchen Fällen ist aber $T_{-n}(x)$ als
+\[
+T_{-n}(x)
+=
+\cos(-n\arccos(x))
+=
+\cos(n\arccos(x))
+=
+T_n(x),
+\]
+da die Kosinus-Funktion gerade ist.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist wieder mit der Abkürzung $t=\arccos x$
+\begin{align*}
+T_m(x)T_n(x)
+&=
+\cos mt \cos nt
+=
+\frac12\bigl(\cos((m+n)t)+\cos((m-n)t)\bigr)
+=
+\frac12\bigl(
+T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)
+\bigr),
+\end{align*}
+dies beweist~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1}.
+
+Für \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} rechnet man
+\[
+T_m(T_n(x))
+=
+\underbrace{\cos(m\arccos(}_{\displaystyle T_m(}\underbrace{\cos(n\arccos x)}_{\displaystyle T_n(x)}\underbrace{))}_{\displaystyle)}
+=
+\cos(mn\arccos x)
+=
+T_{mn}(x).
+\]
+Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen.
+\end{proof}
+
+
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