From 4764f8b481629a2f733c6025ec66a34a31d50222 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 20:01:13 +0200
Subject: more on polynomials

---
 buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex | 61 ++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 60 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index 981e444..2086078 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -24,6 +24,7 @@ $K[x]$ bezeichnet.
 \end{definition}
 
 Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$
+\index{Polynomring}%
 mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen eine
 algebraische Struktur bildet, die man einen Ring mit $1$ nennt.
 \index{Ring}%
@@ -82,32 +83,47 @@ ebenfalls als Approximationen dienen können.
 Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der
 numerischen Mathematik.
 
+%
+% Polynomdivision, Teilbarkeit und ggT
+%
 \subsection{Polynomdivision, Teilbarkeit und grösster gemeinsamer Teiler}
 Der schriftliche Divisionsalgorithmus für Zahlen funktioniert 
 auch für die Division von Polynomen.
+\index{Polynome!Divisionsalgorithmus}%
 Zu zwei beliebigen Polynomen $p(x)$ und $q(x)$ lassen sich also
 immer zwei Polynome $a(x)$ und $r(x)$ finden derart, dass
 $p(x) = a(x) q(x) + r(x)$.
 Das Polynom $a(x)$ heisst der {\em Quotient}, $r(x)$ der {\em Rest}
 der Division.
 Das Polynom $p(x)$ heisst {\em teilbar} durch $q(x)$, geschrieben
+\index{teilbar}%
+\index{Polynome!teilbar}%
 $q(x)\mid p(x)$, wenn $r(x)=0$ ist.
 
+%
+% Grösster gemeinsamer Teiler
+%
 \subsubsection{Grösster gemeinsamer Teiler}
 Mit dem Begriff der Teilbarkeit geht auch die Idee des grössten
 gemeinsamen Teilers einher.
 Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$ 
+\index{gemeinsamer Teiler}%
 ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also
 $g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$.
 \index{grösster gemeinsamer Teiler}%
-Ein Polynome $g(x)$ heisst grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$
+Ein Polynom $g(x)$ heisst {\em grösster gemeinsamer Teiler} von $a(x)$
 und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$
 und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist.
 Man beachte, dass die skalaren Vielfachen eines grössten gemeinsamen
 Teilers ebenfalls grösste gemeinsame Teiler sind, der grösste gemeinsame
 Teiler ist also nicht eindeutig bestimmt.
 
+%
+% Der euklidische Algorithmus
+%
 \subsubsection{Der euklidische Algorithmus}
+\index{Algorithmus!euklidisch}%
+\index{euklidischer Algorithmus}%
 Zur Berechnung eines grössten gemeinsamen Teilers steht wie bei den
 ganzen Zahlen der euklidische Algorithmus zur Verfügung.
 Dazu bildet man die Folgen von Polynomen
@@ -144,6 +160,9 @@ a_m(x)&=b_m(x)q_m(x).&&
 Der Index $m$ ist der Index, bei dem zum ersten Mal $r_m(x)=0$ ist.
 Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler.
 
+%
+% Der erweiterte euklidische Algorithmus
+%
 \subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus}
 Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform
 kompakter geschrieben werden als
@@ -265,10 +284,50 @@ g(x) = c(x)a(x)+d(x)b(x)
 gilt.
 \end{satz}
 
+%
+% Faktorisierung und Nullstellen
+%
 \subsection{Faktorisierung und Nullstellen}
 % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe
 % die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln
+Ist $\alpha$ eine Nullstelle des Polynoms $a(x)$, also $a(\alpha)=0$.
+Der Divisionsalgorithmus mit für die Polynome $a(x)$ und $b(x)=x-\alpha$
+liefert zwei Polynome $q(x)$ für den Quotienten und $r(x)$ für den Rest
+mit den Eigenschaften
+\[
+a(x)
+=
+q(x) b(x)
++r(x)
+=
+q(x)(x-\alpha)+r(x)
+\qquad\text{mit}\qquad
+\deg r < \deg b(x)=1.
+\]
+Der Rest $r(x)$ ist somit eine Konstante. 
+Setzt man $x=\alpha$ ein, folgt
+\[
+0
+=
+a(\alpha)
+=
+q(\alpha)(\alpha-\alpha)+r(\alpha)
+=
+r(\alpha),
+\]
+der Rest $r(x)$ muss also verschwinden.
+Für eine Nullstelle $\alpha$ von $a(x)$ ist $a(x)$ durch $(x-\alpha)$
+teilbar.
 
+Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine gemeinsame Nullstelle $\alpha$
+haben, dann ist $(x-\alpha)$ ein Teiler beider Polynome und somit auch
+ein Teiler eines grössten gemeinsamer Teiler.
+Insbesondere sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers
+gemeinsame Nullstellen von $a(x)$ und $b(x)$.
+
+%
+% Koeffizienten-Vergleich
+%
 \subsection{Koeffizienten-Vergleich}
 % Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode
 % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen
-- 
cgit v1.2.1


From 07724dd7774994996b3dc1b2955ef9a30cb59a44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 21:47:35 +0200
Subject: more complete chapter 1

---
 buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex | 68 ++++++++++++++++++++++
 buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex    | 93 +++++++++++++++++++++++++++++-
 2 files changed, 160 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
index 692192d..f93a84b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
@@ -20,8 +20,21 @@ für ein Polynome $p(x)$ und eine Konstante $c\in\mathbb{C}$.
 % Fundamentalsatz der Algebra
 %
 \subsection{Fundamentalsatz der Algebra}
+In Abschnitt~\ref{buch:polynome:subsection:faktorisierung-und-nullstellen}
+wurde gezeigt, dass sich jede Nullstellen $\alpha$ eines Polynoms als
+Faktor $x-\alpha$ abspalten lässt.
+Jedes Polynom liess sich in ein Produkt von Linearfaktoren und
+einen Faktor zerlegen, der keine Nullstellen hat.
+Zum Beispiel hat das Polynom $x^2+1\in\mathbb{R}[x]$ keine
+Nullstellen in $\mathbb{R}$.
+Eine solche Nullstelle müsste eine Quadratwurzel von $-1$ sein.
+Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ wurden genau mit dem Ziel konstruiert,
+dass $i=\sqrt{-1}$ sinnvoll wird.
+Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass $\mathbb{C}$ alle
+Nullstellen von Polynomen enthält.
 
 \begin{satz}[Gauss]
+\index{Fundamentalsatz der Algebra}%
 \label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
 Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$
 zerfällt in ein Produkt
@@ -34,6 +47,7 @@ a_n
 für Nullstellen $\alpha_k\in\mathbb{C}$.
 \end{satz}
 
+
 %
 % Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke
 %
@@ -148,3 +162,57 @@ Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine
 Lösung durch Wurzelausdrücke.
 \end{satz}
 
+
+
+%
+% Algebraische Zahlen
+%
+\subsection{Algebraische Zahlen}
+Die Verwendung der komplexen Zahlen ist für numerische Rechnungen
+zweckmässig.
+In den Anwendungen der Computer-Algebra hingegen erwartet man zum
+Beispiel exakte Formeln für eine Stammfunktion.
+Nicht rationale Zahlen können nur exakt verarbeitet werden, wenn
+Sie sich algebraisch in endlich vielen Schritten charakterisieren
+lassen.
+Dies ist zum Beispiel für rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ möglich.
+Gewisse irrationale Zahlen kann man charakterisieren durch 
+die Eigenschaft, Nullstelle eines Polynoms $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$
+mit rationalen Koeffizienten zu sein.
+
+\begin{definition}
+Eine Zahl $\alpha$ heisst {\em algebraisch} über $\mathbb{Q}$,
+wenn es ein Polynom
+\index{algebraische Zahl}%
+$p(x)\in \mathbb{Q}[x]$ gibt, welches $\alpha$ als Nullstelle hat.
+Eine Zahl heisst transzendent über $\mathbb{Q}$, wenn sie nicht algebraisch ist
+über $\mathbb{Q}$.
+\end{definition}
+
+Die Zahlen $i=\sqrt{-1}$ und $\sqrt{n\mathstrut}$ für $n\in\mathbb{N}$
+sind also algebraisch über $\mathbb{Z}$.
+Es ist gezeigt worden, dass $\pi$ und $e$ nicht nur irrational
+sind, sondern sogar transzendent.
+
+Eine Polynomgleichung $p(\alpha)=0$ mit $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$
+hat eine Rechenregel für $\alpha$ zur Folge.
+Dazu schreibt man
+\[
+p_n\alpha^n + p_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + a_1\alpha + a_0 =0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\alpha^n = -\frac{1}{p_n}\bigl(
+p_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+a_1\alpha+a_0
+\bigr).
+\]
+Diese Regel erlaubt, jede Potenz $\alpha^k$ mit $k\ge n$ durch
+Potenzen von $\alpha^l$ mit $l<n$ auszudrücken.
+Die Zahlen, die sich durch arithmetische Operationen aus
+$\alpha$ bilden lassen, lassen sich also sogar durch lineare
+Operationen aus $1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^{n-1}$
+bilden.
+Sie bilden einen endlichdimensionalen Vektorraum über $\mathbb{Q}$.
+Rechnen mit algebraischen Zahlen ist also in einem CAS exakt möglich,
+wie das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:dkoerper}
+für die Berechnung von Stammfunktionen illustriert wird.
+
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index 2086078..9edb012 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -83,6 +83,22 @@ ebenfalls als Approximationen dienen können.
 Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der
 numerischen Mathematik.
 
+Diese Betrachtungsweise von Polynomen als Funktionen trägt
+aber den zusätzlichen algebraischen Eigenschaften des Polynomringes
+nicht ausreichend Rechnung.
+Zum Beispiel bedeutet Gleichheit von zwei reellen Funktion $f(x)$ und
+$g(x)$, dass man $f(x)=g(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ nachprüfen
+muss.
+Für Polynome reicht es jedoch, die Funktionswerte in nur wenigen
+Punkten zu vergleichen.
+Dies äussert sich zum Beispiel auch im Prinzip des
+Koeffizientenvergleichs von
+Satz~\ref{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}.
+Im Gegensatz zu beliebigen Funktionen kann man daher Aussagen
+über Polynomen immer mit endlich Algorithmen entscheiden.
+Die nächsten Abschnitte sollen diese algebraischen Eigenschaften
+zusammenfassen.
+
 %
 % Polynomdivision, Teilbarkeit und ggT
 %
@@ -287,7 +303,8 @@ gilt.
 %
 % Faktorisierung und Nullstellen
 %
-\subsection{Faktorisierung und Nullstellen}
+\subsection{Faktorisierung und Nullstellen
+\label{buch:polynome:subsection:faktorisierung-und-nullstellen}}
 % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe
 % die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln
 Ist $\alpha$ eine Nullstelle des Polynoms $a(x)$, also $a(\alpha)=0$.
@@ -318,6 +335,21 @@ r(\alpha),
 der Rest $r(x)$ muss also verschwinden.
 Für eine Nullstelle $\alpha$ von $a(x)$ ist $a(x)$ durch $(x-\alpha)$
 teilbar.
+Daraus folgt auch, dass ein Polynom $a(x)$ vom Grad $n=\deg a(x)$ höchstens
+$n$ verschiedene Nullstellen haben kann.
+
+Sind $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ alle Nullstellen von $a(x)$, dann lässt
+sich $a(x)$ zerlegen in Faktoren
+\[
+a(x)
+=
+(x-\alpha_1)^{m_1}
+(x-\alpha_2)^{m_2}
+\cdots
+(x-\alpha_k)^{m_k}
+b(x).
+\]
+Das Polynom $b(x)\in K[x]$ hat keine Nullstellen in $K$.
 
 Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine gemeinsame Nullstelle $\alpha$
 haben, dann ist $(x-\alpha)$ ein Teiler beider Polynome und somit auch
@@ -331,7 +363,66 @@ gemeinsame Nullstellen von $a(x)$ und $b(x)$.
 \subsection{Koeffizienten-Vergleich}
 % Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode
 % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen
+Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ vom Grad $\le n$ die gleichen
+Koeffizienten haben, dann sind sie selbstverständlich gleich.
+Weniger klar ist, ob zwei Polynome, die die gleichen Werte für beliebige
+$x$ haben, auch die gleichen Koeffizienten haben.
+Wir nehmen also an, dass $a(x)=b(x)$ gilt für jedes $x\in K$ und
+wollen daraus ableiten, dass die Koeffizienten übereinstimmen müssen.
+Seien $x_1,\dots,x_n$ verschiedene Elemente in $K$, dann
+hat das Polynom $p(x)=a(x)-b(x)$, welches Grad $\le n$ hat,
+die $n$ Nullstellen $x_k$ für $k=1,\dots,n$.
+$p(x)$ ist also durch alle Polynome $x-x_k$ teilbar.
+Weil $\deg p\le n$ ist, muss 
+\[
+0
+=
+a(x)-b(x)
+=
+p(x)
+=
+p_n
+(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)
+\]
+sein.
+Ist $y\in K$ verschieden von den Nullstellen $x_i$, dann ist 
+in $y-x_i\ne 0$ für alle $i$.
+Für das Produkt gilt dann
+\[
+0
+=
+p(y) 
+=
+p_n
+(\underbrace{x-x_1}_{\displaystyle \ne 0})
+\cdots
+(\underbrace{x-x_n}_{\displaystyle \ne 0}),
+\]
+so dass $p_n=0$ sein muss, was schliesslich dazu führt, dass alle
+Koeffizienten von $a(x)-b(x)$ verschwinden.
+Daraus folgt das Prinzip des Koeffizientenvergleichs:
+
+\begin{satz}[Koeffizientenvergleich]
+\label{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}
+Zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ stimmen genau dann überein, wenn
+sie die gleichen Koeffizienten haben.
+\end{satz}
 
+Man beachte, dass dieses Prinzip nur funktioniert, wenn es genügend
+viele verschiedene Elemente in $K$ gibt.
+Für die endlichen Körper $\mathbb{F}_p$ gilt dies nicht, denn es gilt
+\[
+a(x)
+=
+x^p-x\equiv 0\mod p
+\]
+für jede Zahl $x\in\mathbb{F}_p$, das Polynom $a(x)$ mit Grad $p$
+hat also genau $p$ Nullstellen, es gibt aber keine weitere Nullstelle,
+mit der man wie oben schliessen könnte, dass $a(x)$ das Nullpolynom ist.
+
+%
+% Berechnung von Polynom-Werten
+%
 \subsection{Berechnung von Polynom-Werten}
 Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms $p(x)$ vom Grad $n$
 beginnt mit der Berechnung der Potenzen von $x$.
-- 
cgit v1.2.1


From dcd6d6037a84343f19333fe86a904bdc0bb8a36f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 17 Jun 2022 11:20:00 +0200
Subject: new section, cleanup

---
 buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc |  1 +
 buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex  |  1 +
 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++
 3 files changed, 62 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
index 27ccdae..87afe38 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
@@ -8,6 +8,7 @@ CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex				\
 	chapters/010-potenzen/polynome.tex				\
 	chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex				\
+	chapters/010-potenzen/rational.tex				\
 	chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex				\
 	chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex			\
 	chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex			\
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
index 7dc30d4..2628e33 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
@@ -40,6 +40,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert.
 \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex}
+\input{chapters/010-potenzen/rational.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
new file mode 100644
index 0000000..a5612e9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+%
+% rational.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Rationale Funktionen
+\label{buch:polynome:section:rationale-funktionen}}
+\rhead{Rationale Funktionen}
+Polynome sind sehr einfach auszuwerten und können auf einem
+Interval jede stetige Funktion beliebig gut approximieren.
+Auf einem unbeschränkten Definitionsbereich wachsen Polynome aber
+immer unbeschränkt an.
+Der führende Term $a_nx^n$ dominiert das Verhalten eines Polynoms
+für $x\to\infty$ wegen
+\[
+\lim_{x\to\infty} a_nx^n
+=
+\sign a_n \cdot\infty
+\qquad\text{und}\qquad
+\lim_{x\to-\infty} a_nx^n
+=
+(-1)^n \sign a_n\cdot \infty.
+\]
+Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte
+Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich
+gut approximieren lässt.
+Der Unterschied $p(x)-\sin x$ wird für jedes beliebige Polynome $p(x)$
+für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen.
+
+Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich
+der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist.
+Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient
+ist nicht notwendigerweise ein Polynome.
+Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt.
+
+\begin{definition}
+Eine Funktion $f(x)$ heisst {\em rationale Funktion}, wenn sie Quotient
+\index{rationale Funktion}%
+zweier Polynome ist, wenn es also Polynome $p(x), q(x)\in K[x]$ gibt mit
+\[
+f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}.
+\]
+Die Menge der rationalen Funktione mit Koeffizienten in $K$ wird mit
+$K(x)$ bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Polynome sind rationale Funktionen, deren Nennergrad $1$ ist.
+Rationale Funktionen können ebenfalls zur Approximation von Funktionen
+verwendet werden.
+Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential, 
+beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit 
+Polynomen allein möglich wäre.
+Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch
+\cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der
+Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit
+linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen.
+Weitere Anwendungen werden in Kapitel~\ref{chapter:transfer}
+gezeigt.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 0a24e24dc7b997d054be086aa2c021decf0a01f5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 17 Jun 2022 20:09:36 +0200
Subject: info on rational functions

---
 buch/chapters/010-potenzen/rational.tex | 7 ++++---
 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
index a5612e9..f1957ac 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex
@@ -15,11 +15,11 @@ für $x\to\infty$ wegen
 \[
 \lim_{x\to\infty} a_nx^n
 =
-\sign a_n \cdot\infty
+\operatorname{sgn} a_n \cdot\infty
 \qquad\text{und}\qquad
 \lim_{x\to-\infty} a_nx^n
 =
-(-1)^n \sign a_n\cdot \infty.
+(-1)^n \operatorname{sgn} a_n\cdot \infty.
 \]
 Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte
 Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich
@@ -30,7 +30,7 @@ für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen.
 Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich
 der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist.
 Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient
-ist nicht notwendigerweise ein Polynome.
+ist nicht notwendigerweise ein Polynom.
 Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt.
 
 \begin{definition}
@@ -51,6 +51,7 @@ Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential,
 beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit 
 Polynomen allein möglich wäre.
 Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch
+\index{Pade-Approximation@Padé-Approximation}%
 \cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der
 Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit
 linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen.
-- 
cgit v1.2.1


From 8a570ddc78a49006c1e6ad15bf05a19e62038f16 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 21 Jun 2022 16:16:07 +0200
Subject: jacobi stuff completed

---
 buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 78 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/010-potenzen')

diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
index 29d1d4b..780be1b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -241,6 +241,9 @@ Die Rekursionsformel
 kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome
 sehr effizient zu berechnen.
 
+%
+% Multiplikationsformel
+%
 \subsubsection{Multiplikationsformel}
 Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen
 lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
@@ -300,4 +303,79 @@ T_{mn}(x).
 Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen.
 \end{proof}
 
+%
+% Differentialgleichung
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung}
+Die Ableitungen der Tschebyscheff-Polynome sind
+\begin{align*}
+T_n(x)
+&=
+\cos (ny(x))
+&&
+&&
+\\
+\frac{d}{dx} T_n(x)
+&=
+\frac{d}{dx} \cos(ny(x))
+=
+n\sin(ny(x)) \cdot \frac{dy}{dx}
+&
+&\text{mit}&
+\frac{dy}{dx}
+&=
+-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\\
+\frac{d^2}{dx^2} T_n(x)
+&=
+-n^2\cos(ny(x)) \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2 + n\sin(ny(x)) \frac{d^2y}{dx^2}
+&
+&\text{mit}&
+\frac{d^2y}{dx^2}
+&=
+-\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}.
+\end{align*}
+Wir suchen eine verschwindende Linearkombination dieser drei Terme
+mit Funktionen von $x$ als Koeffizienten.
+Wir setzen daher an
+\begin{align*}
+0
+&=
+\alpha(x) T_n''(x)
++
+\beta(x) T_n'(x)
++
+\gamma(x) T_n(x)
+\\
+&=
+\biggl(
+-\frac{n^2\alpha(x)}{1-x^2}
++
+\gamma(x)
+\biggr)
+\cos(ny(x))
++
+\biggl(
+-\frac{nx\alpha(x)}{(1-x^2)^{\frac32}}
+-\frac{n\beta(x)}{\sqrt{1-x^2}}
+\biggr)
+\sin(ny(x))
+\end{align*}
+Die grossen Klammern müssen verschwinden, was nur möglich ist, wenn zu
+gegebenem $\alpha(x)$ die anderen beiden Koeffizienten
+\begin{align*}
+\beta(x)  &=  -\frac{x\alpha(x)}{1-x^2} \\
+\gamma(x) &= n^2 \frac{\alpha(x)}{1-x^2}
+\end{align*}
+sind.
+Die Koeffizienten werden besonders einfach, wenn man $\alpha(x)=1-x^2$ wählt.
+Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(1-x^2) T_n''(x) -x T_n'(x) +n^2 T_n(x) = 0.
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+\end{equation}
+
+
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1


From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200
Subject: more index stuff

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 buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex       |  4 ++++
 buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex   |  2 ++
 buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex      | 13 +++++++++++++
 buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex  | 14 ++++++++++++--
 buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex |  8 ++++++--
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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
index 2628e33..a1cce60 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
@@ -18,10 +18,13 @@ Diskussion rechtfertigen.
 \begin{enumerate}
 \item
 Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion sind viel schwieriger zu 
+\index{Potenzfunktion}%
 berechnen und können als eine besonders einfache Art von speziellen
 Funktionen betrachtet werden.
 Die in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:loesungen} definierten
 Wurzelfunktionen sind der erste Schritt zur Lösung von Polynomgleichungen.
+\index{Wurzelfunktion}%
+\index{Polynomgleichung}%
 \item
 Es lassen sich interessante Familien von Funktionen
 definieren, die zum Teil aus Polynomen bestehen.
@@ -32,6 +35,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} vorgestellt.
 \item
 Alles speziellen Funktionen sind analytisch, sie haben eine konvergente
 Potenzreihenentwicklung.
+\index{Potenzreihe}%
 Die Partialsummen einer Potenzreihenentwicklung sind Approximationen
 An die wichtigsten Eigenschaften von Potenzreihen wird in 
 Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert.
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
index f93a84b..a9f273a 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
@@ -34,6 +34,7 @@ Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass $\mathbb{C}$ alle
 Nullstellen von Polynomen enthält.
 
 \begin{satz}[Gauss]
+\index{Satz!Fundamentalsatz der Algebra}%
 \index{Fundamentalsatz der Algebra}%
 \label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
 Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$
@@ -157,6 +158,7 @@ höheren Grades nicht mit einer Lösung durch Wurzelausdrücke
 rechnen kann.
 
 \begin{satz}[Abel]
+\index{Satz!von Abel}
 \label{buch:potenzen:satz:abel}
 Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine
 Lösung durch Wurzelausdrücke.
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index 9edb012..ce5e521 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -19,6 +19,7 @@ wobei $a_n\ne 0$ sein muss.
 Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist.
 \index{normiert}%
 \index{Grad eines Polynoms}%
+\index{Polynom!Grad}%
 Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit
 $K[x]$ bezeichnet.
 \end{definition}
@@ -65,6 +66,8 @@ Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren.
 Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen.
 
 \begin{satz}[Weierstrass]
+\index{Satz!Weierstrass}%
+\index{Weierstrasse, Karl}%
 \label{buch:potenzen:satz:weierstrass}
 \index{Weierstrass, Satz von}%
 Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$
@@ -74,7 +77,9 @@ approximieren.
 
 Der Satz sagt in dieser Form nichts darüber aus, wie die
 Approximationspolynome konstruiert werden sollen.
+\index{Approximationspolynom}%
 Von Bernstein gibt es konstruktive Beweise dieses Satzes,
+\index{Bernstein-Polynom}%
 welche auch explizit eine Folge von Approximationspolynomen
 konstruieren.
 In der späteren Entwicklung werden wir für die meisten
@@ -127,6 +132,7 @@ Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$
 ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also
 $g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$.
 \index{grösster gemeinsamer Teiler}%
+\index{Polynome!grösster gemeinsamer Teiler}%
 Ein Polynom $g(x)$ heisst {\em grösster gemeinsamer Teiler} von $a(x)$
 und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$
 und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist.
@@ -180,6 +186,9 @@ Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler.
 % Der erweiterte euklidische Algorithmus
 %
 \subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus}
+\index{Polynome!erweiterter euklidischer Algorithmus}%
+\index{erweiterter euklidischer Algorithmus}%
+\index{euklidischer Algorithmus!erweitert}%
 Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform
 kompakter geschrieben werden als
 \[
@@ -401,8 +410,11 @@ p_n
 so dass $p_n=0$ sein muss, was schliesslich dazu führt, dass alle
 Koeffizienten von $a(x)-b(x)$ verschwinden.
 Daraus folgt das Prinzip des Koeffizientenvergleichs:
+\index{Koeffizientenvergleich}%
+\index{Polynome!Koeffizientenvergleich}%
 
 \begin{satz}[Koeffizientenvergleich]
+\index{Satz!Koeffizientenvergleich}%
 \label{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}
 Zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ stimmen genau dann überein, wenn
 sie die gleichen Koeffizienten haben.
@@ -436,6 +448,7 @@ und $n$ Additionen.
 Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann mit dem folgenden Vorgehen
 reduziert werden, welches auch als das {\em Horner-Schema} bekannt ist.
 \index{Horner-Schema}%
+\index{Polynome!Horner-Schema}%
 Statt erst am Schluss alle Terme zu addieren, addiert man so früh
 wie möglich.
 Zum Beispiel multipliziert man $(a_nx+a_{n-1})$ mit $x$, was auf
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
index a003fcb..994f99f 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
@@ -105,6 +105,7 @@ Für $|z|<1$ geht $z^n\to 0$ für $n\to\infty$, die Partialsummen
 konvergieren und wir erhalten das Resultat des folgenden Satzes.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!geometrische Reihe}%
 \label{buch:polynome:satz:geometrischereihe}
 Die geometrische Reihe $a+az+az^2+\dots$ konvergiert für $|z|<1$ und hat
 die Summe
@@ -124,6 +125,7 @@ als konvergent erkannten Reihen nachweisbar.
 Dies ist der Inhalt des folgenden, wohlbekannten Majorantenkriteriums.
 
 \begin{satz}[Majorantenkriterium]
+\index{Satz!Majorantenkriterium}%
 \label{buch:polynome:satz:majorantenkriterium}
 \index{Majorantenkriterium}
 Seien $a_k$ und $b_k$ die Glieder zweier unendlicher Reihen.
@@ -142,6 +144,7 @@ Potenzreihen mit der geometrischen Reihe zu vergleichen und
 liefert damit einfach anzuwende Kriterien für die Konvergenz.
 
 \begin{satz}[Quotientenkriterium]
+\index{Satz!Quotientenkriterium}%
 \label{buch:polynome:satz:quotientenkriterium}
 \index{Quotientenkriterium}%
 Eine Reihe 
@@ -175,6 +178,7 @@ die unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Wurzelkriterium]
+\index{Satz!Wurzelkriterium}%
 \label{buch:polynome:satz:wurzelkriterium}
 \index{Wurzelkriterium}
 Falls
@@ -203,6 +207,9 @@ das Reststück der Reihe ab Index $N$ ist daher wieder majorisiert
 durch eine konvergente geometrische Reihe.
 \end{proof}
 
+%
+% Konvergenzradius
+%
 \subsubsection{Konvergenzradius}
 Das Quotienten- und das Wurzel-Kriterium ist auf beliebige Reihen
 anwendbar, es berücksichtigt nicht, dass in einer Potenzreihe
@@ -224,6 +231,7 @@ um den Punkt $z_0$ ist
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Konvergenzradius}%
 \label{buch:polynome:satz:konvergenzradius}
 Der Konvergenzradius $\varrho$ einer Potenzreihe
 $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ ist
@@ -420,7 +428,7 @@ $z_0$ ist die Summe
 \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k
 \label{buch:polynome:eqn:taylor-polynom}
 \end{equation}
-\index{Taylor-Reihe}
+\index{Taylor-Reihe}%
 Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe
 \begin{equation}
 \mathscr{T}_{z_0}f (z)
@@ -431,7 +439,9 @@ Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe
 \end{equation}
 \end{definition}
 
-
+%
+% Analytische Funktionen
+%
 \subsubsection{Analytische Funktionen}
 Das Taylor-Polynom $\mathscr{T}_{z_0}^nf(z)$ hat an der Stelle $z_0$
 die gleichen Funktionswerte und Ableitungen wie die Funktion $f(z)$,
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
index 780be1b..ccc2e97 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -250,6 +250,7 @@ lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
 \index{Multiplikationsformel}%
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Multiplikationsformel für Tschebyscheff-Polynome}%
 Es gilt
 \begin{align}
 T_m(x)T_n(x)&=\frac12\bigl(T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)\bigr)
@@ -306,7 +307,7 @@ Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen.
 %
 % Differentialgleichung
 %
-\subsubsection{Differentialgleichung}
+\subsubsection{Tschebyscheff-Differentialgleichung}
 Die Ableitungen der Tschebyscheff-Polynome sind
 \begin{align*}
 T_n(x)
@@ -374,7 +375,10 @@ Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Differentialgleichung
 (1-x^2) T_n''(x) -x T_n'(x) +n^2 T_n(x) = 0.
 \label{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
 \end{equation}
-
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+heisst {\em Tschebyscheff-Differentialgleichung}.
+\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}%
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1