From b73b611b12f5de2c342b04a22cac7f21f3786bad Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 6 Jun 2021 21:08:29 +0200
Subject: add lambert w section

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 buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex | 335 +++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 335 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex

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new file mode 100644
index 0000000..a7a882c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex
@@ -0,0 +1,335 @@
+%
+% lambertw.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Die Lambert $W$-Funktion
+\label{buch:section:lambertw}}
+\rhead{Lambert $W$-Funktione}
+Exponentialgleichungen wie
+\[
+e^{2x}+2e^x-15=0
+\]
+können durch Substitution $y=e^x$ in eine algebraische Gleichung
+umgeformt werden, die mit Wurzelfunktionen gelöst werden kann.
+Eine solche Substitution ist nicht mehr möglich, wenn Produkte
+der Unbekannten und der Exponentialfunktion, also $xe^x$ auftreten.
+Die Lambert $W$-Funktion ermöglicht, die Lösungen solcher Gleichungen
+darzustellen.
+
+%
+% Die Funktion xe^x
+%
+\subsection{Die Definition der Lambert $W$-Funktion
+\label{buch:subsection:funktion-xexpx}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/020-exponential/images/xexpx.pdf}
+\caption{Graph der Funktion $f\colon x\mapsto f(x)=xe^x$
+\label{buch:lambert:graph}}
+\end{figure}
+Ein Graph der Funktion 
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} : x\mapsto xe^x
+\]
+ist in Abbildung~\ref{buch:lambert:graph} dargestellt.
+Die einzige Nullstelle ist bei $x=0$.
+Die Funktion $f$ hat die Ableitung
+$f'(x)=e^x + xe^x$,
+an  der Stelle $x=0$ hat der Graph von $f(x)$ daher die Steigung $1$.
+
+Die Ableitung verschwindet für
+\[
+0 = f'(x) = e^x(1+x)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x=-1,
+\]
+dort hat die Funktion $f$ den minimalen Wert $-1/e$.
+
+Wegen des Minimums an der Stelle $x=-1$ ist die Funktion $f(x)$ nicht
+umkehrbar.
+Auf dem Teilintervall $I_{-1}=(-\infty,-1]$ ist $f$ streng
+monoton fallend, auf dem Teilintervall $I_0=[-1,\infty)$ ist sie
+streng monoton wachsen.
+Die Einschränkung von $f$ auf diese beiden Intervalle ist also
+invertierbar.
+
+\begin{definition}
+Die inverse Funktion der Funktion $[-1,\infty)\to[-1/e,\infty):x\mapsto xe^x=y$
+heisst die Lambert $W$-Funktion, geschrieben $W(y)$ oder $W_0(y)$.
+Die inverse Funktion der Funktion $(-\infty,-1)\to[-1/e,0)$ wird mit
+$W_{-1}$ bezeichnet.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/020-exponential/images/w.pdf}
+\caption{Graph der Funktionen $W_{-1}(x)$ (links) und $W_0(x)$ (rechts)
+\label{buch:lambert:wgraph}}
+\end{figure}
+Die beiden Funktion $W_0(x)$ und $W_{-1}(x)$ sind in
+Abbildung~\ref{buch:lambert:wgraph} dargestellt.
+Beide Funktionen sind streng monoton und haben unendlich grosse Steigung
+an der Stelle $x=-1/e$.
+
+Da die $W$-Funktionen Umkehrfunktionen der Funktion $f(x)=xe^x$ sind,
+erfüllen sie
+\[
+W(x) e^{W(x)} = x.
+\]
+
+\subsubsection{Ableitung der Funktionen $W(x)$ und $W_{-1}(x)$}
+Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ einer Funktion $f(x)$ erfüllt
+\(
+f^{-1}(f(x)) = x.
+\)
+Ableitung nach $x$ ergibt mit der Kettenregel
+\[
+\frac{df^{-1}(y)}{dy}\bigg|_{y=f(x)} \frac{df}{dx} = 0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}.
+\]
+Für die $W$-Funktion, also für $W(y)=x$ oder $y=f(x)=xe^x$ bedeutet dies
+\[
+W'(y)
+=
+\frac{1}{f'(x)}
+=
+\frac{1}{f'(W(y))}.
+\]
+Die Ableitung von $f$ an der Stelle $W(y)$ ist
+\[
+f'(W(y))
+=
+(1+x)e^x
+=
+(1+W(y))e^{W(y)}.
+\]
+Die Exponentialfunktion von $W(y)$ ist
+\[
+e^{W(y)} = \frac{y}{W(y)},
+\]
+womit die Ableitung der $W$-Funktion
+\begin{equation}
+W'(y)
+=
+\frac{W(y)}{y}\cdot \frac{1}{1+W(y)}
+=
+\frac{W(y)}{y(1+W(y))}
+\label{buch:lambert:eqn:ableitung}
+\end{equation}
+wird.
+
+Aus der ersten Ableitung kann jetzt mit Hilfe der Quotientenregel
+auch jede höhere Ableitung berechnet werden.
+Die zweite Ableitung ist
+\begin{align*}
+\frac{d^2}{dy^2}W(y)
+&=
+\frac{d}{dy}W'(y)
+=
+\frac{d}{dy}\frac{W(y)}{y(1+W(y))}
+\\
+&=
+\frac{
+W'(y)y(1+W(y)) - W(y)\bigl(1+W(y)+yW'(y)\bigr)
+}{
+y^2(1+W(y))^2
+}
+\\
+&=
+\frac{
+W'(y)y - W(y)(1+W(y))
+}{
+y^2(1+W(y))^2
+}.
+\intertext{Die Ableitung $W'(y)$ kann jetzt durch
+\eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} ersetzt werden, dies ergibt}
+&=
+\frac{
+\displaystyle
+\frac{W(y)}{y(1+W(y))}y - W(y)(1+W(y))
+}{
+y^2(1+W(y))^2
+}
+\\
+&=
+\frac{
+W(y) - W(y)(1+W(y))^2
+}{
+y^2(1+W(y))^3
+}
+\\
+&=
+\frac{
+-2W(y)^2-W(y)^3
+}{
+y^2(1+W(y))^3
+}
+\\
+&=
+-
+\frac{
+W(y)^2
+}{
+y^2(1+W(y))^3
+}
+(W(y)+2).
+\end{align*}
+Nach dem selben Muster können beliebig hohe Ableitungen von $W(y)$ durch
+$W(y)$ ausgedrückt werden.
+Zum Beispiel findet man nach einiger Rechnung für die dritte und vierte
+Ableitung der $W$-Funktion die Ausdrücke
+\begin{align*}
+W'''(x)
+&=
+\phantom{-}
+\frac{W(y)^3}{y^3(1+W(y))^4}\cdot (2W(y)^2 + 8W(y)+9)
+\\
+W''''(x)
+&=
+-\frac{W(y)^4}{y^4(1+W(y))^5}\cdot (6W(y)^3 + 36W(y)^2 + 79W(y) + 64).
+\end{align*}
+Mit etwas zusätzlicher Arbeit kann man für die $n$-te Ableitung
+\[
+\frac{d^n}{dy^n} W(y)
+=
+\frac{(-1)^{n+1}W(y)^n}{y^n(1+W(y))^{n+1}} \cdot P_n(W(y)),
+\]
+wobei die Polynome $P_n(t)$ die Rekursionsgleichung
+\[
+P_{n+1}(t)
+=
+(nt+3n-1)\cdot P_n(t) - (t+1)\cdot P'_n(t)
+\]
+mit $P_1(t)=1$.
+
+\subsubsection{Differentialgleichung und Stammfunktion}
+Die Ableitungsformel \eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} bedeutet auch,
+dass die $W$-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung
+\[
+\frac{dW}{dz}
+=
+\frac{W}{z(1+W)}
+\qquad
+\text{mit Anfangsbedingung}
+\qquad
+W(0) = 1
+\]
+ist.
+Diese Gleichung kann separiert werden in
+\[
+(1+W)\frac{dW}{W} = \frac{dz}{z}.
+\]
+
+Eine Stammfunktion
+\[
+F(y)
+=
+\int W(y)\,dy
+\]
+von $W$ kann mit der Substition $w=W(y)$ gefunden
+werden, also $we^w=y$.
+Die Ableitung ist $dy = (1+w)e^w\,dw$, so dass die Stammfunktion
+\begin{align*}
+\int W(y)\,dy
+&=
+\int w (1+w)e^w\,dw
+=
+(w^2-w+1)e^w+C
+\end{align*}
+wird.
+Durch Rücksubstitution und mit Hilfe der Relation $e^{W(y)} = y/W(y)$
+findet man jetzt den Ausdruck
+\begin{align}
+\int W(y)\,dy
+&=
+W(y)^2 e^{W(y)} - W(y)e^{W(y)} + e^{W(y)} + C
+\notag
+\\
+&=
+y\biggl(W(y) - 1 + \frac{1}{W(y)}\biggr) + C
+\label{buch:lambert:eqn:stammfunktion}
+\end{align}
+für die Stammfunktion von $W(y)$.
+
+%
+% Lösung von Exponentialgleichungen
+%
+\subsection{Lösung von Exponentialgleichungen
+\label{buch:subsection:loesung-von-exponentialgleichungen}}
+Die Lambert $W$-Funktion kann zur Lösung von Exponentialgleichungen
+verwendet werden.
+
+\begin{aufgabe}
+Gesucht ist eine Lösung der Gleichung
+\[
+x=a+be^{cx},
+\]
+wobei $b$ und $c$ nicht $0$ sein dürfen.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{proof}[Lösung]
+Wir müssen die Gleichung in eine Form bringen, in der das Produkt 
+$Xe^X$ auftritt.
+Durch Subtraktion von $a$ erhalten wir die Gleichung 
+\[
+x-a = be^{cx}.
+\]
+Multiplikation mit $e^{-cx}$ ergibt
+\[
+(x-a)e^{-cx}=b.
+\]
+Im Exponenten steht das Produkt $cx$, als Faktor vor der Exponentialfunktion
+die Differenz $x-a$, durch Multiplikation mit $c$ kann man erreichen,
+dass in beiden Termen nur die Kombination $cx$ auftritt.
+Schreibt man $X=c(x-a)$ oder $x=X/c+a$, kann man die Gleichung in die Form
+\[
+cb
+=
+Xe^{-X+ac}
+=
+Xe^{-X}e^{ac}
+\]
+bringen.
+Multiplikation mit $-e^{-ac}$ führt auf die Form
+\[
+-cbe^{-ac}
+=
+-Xe^{-X}
+=
+f(-X)
+\]
+wo jetzt auf der rechten Seite die gesuchte Form steht.
+Mit 
+\[
+-X
+=
+W(-cbe^{ac})
+=
+-c(x-a)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x
+=
+a
+-
+\frac{1}{c}
+W(-cbe^{ac})
+\]
+Die Gleichung hat eine Lösung wenn $-cbe^{ac} > -1/e$ ist.
+\end{proof}
+
+
+%
+% Verfolgungskurven
+%
+\subsection{Verfolgungskurven
+\label{buch:subsection:verfolgungskurven}}
+
+
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+
+
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+
+
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cgit v1.2.1

