From b73b611b12f5de2c342b04a22cac7f21f3786bad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 6 Jun 2021 21:08:29 +0200 Subject: add lambert w section --- buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex | 335 +++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 335 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex (limited to 'buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex') diff --git a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex new file mode 100644 index 0000000..a7a882c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex @@ -0,0 +1,335 @@ +% +% lambertw.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Die Lambert $W$-Funktion +\label{buch:section:lambertw}} +\rhead{Lambert $W$-Funktione} +Exponentialgleichungen wie +\[ +e^{2x}+2e^x-15=0 +\] +können durch Substitution $y=e^x$ in eine algebraische Gleichung +umgeformt werden, die mit Wurzelfunktionen gelöst werden kann. +Eine solche Substitution ist nicht mehr möglich, wenn Produkte +der Unbekannten und der Exponentialfunktion, also $xe^x$ auftreten. +Die Lambert $W$-Funktion ermöglicht, die Lösungen solcher Gleichungen +darzustellen. + +% +% Die Funktion xe^x +% +\subsection{Die Definition der Lambert $W$-Funktion +\label{buch:subsection:funktion-xexpx}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/020-exponential/images/xexpx.pdf} +\caption{Graph der Funktion $f\colon x\mapsto f(x)=xe^x$ +\label{buch:lambert:graph}} +\end{figure} +Ein Graph der Funktion +\[ +f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} : x\mapsto xe^x +\] +ist in Abbildung~\ref{buch:lambert:graph} dargestellt. +Die einzige Nullstelle ist bei $x=0$. +Die Funktion $f$ hat die Ableitung +$f'(x)=e^x + xe^x$, +an der Stelle $x=0$ hat der Graph von $f(x)$ daher die Steigung $1$. + +Die Ableitung verschwindet für +\[ +0 = f'(x) = e^x(1+x) +\qquad\Rightarrow\qquad +x=-1, +\] +dort hat die Funktion $f$ den minimalen Wert $-1/e$. + +Wegen des Minimums an der Stelle $x=-1$ ist die Funktion $f(x)$ nicht +umkehrbar. +Auf dem Teilintervall $I_{-1}=(-\infty,-1]$ ist $f$ streng +monoton fallend, auf dem Teilintervall $I_0=[-1,\infty)$ ist sie +streng monoton wachsen. +Die Einschränkung von $f$ auf diese beiden Intervalle ist also +invertierbar. + +\begin{definition} +Die inverse Funktion der Funktion $[-1,\infty)\to[-1/e,\infty):x\mapsto xe^x=y$ +heisst die Lambert $W$-Funktion, geschrieben $W(y)$ oder $W_0(y)$. +Die inverse Funktion der Funktion $(-\infty,-1)\to[-1/e,0)$ wird mit +$W_{-1}$ bezeichnet. +\end{definition} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/020-exponential/images/w.pdf} +\caption{Graph der Funktionen $W_{-1}(x)$ (links) und $W_0(x)$ (rechts) +\label{buch:lambert:wgraph}} +\end{figure} +Die beiden Funktion $W_0(x)$ und $W_{-1}(x)$ sind in +Abbildung~\ref{buch:lambert:wgraph} dargestellt. +Beide Funktionen sind streng monoton und haben unendlich grosse Steigung +an der Stelle $x=-1/e$. + +Da die $W$-Funktionen Umkehrfunktionen der Funktion $f(x)=xe^x$ sind, +erfüllen sie +\[ +W(x) e^{W(x)} = x. +\] + +\subsubsection{Ableitung der Funktionen $W(x)$ und $W_{-1}(x)$} +Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ einer Funktion $f(x)$ erfüllt +\( +f^{-1}(f(x)) = x. +\) +Ableitung nach $x$ ergibt mit der Kettenregel +\[ +\frac{df^{-1}(y)}{dy}\bigg|_{y=f(x)} \frac{df}{dx} = 0 +\qquad\Rightarrow\qquad +(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}. +\] +Für die $W$-Funktion, also für $W(y)=x$ oder $y=f(x)=xe^x$ bedeutet dies +\[ +W'(y) += +\frac{1}{f'(x)} += +\frac{1}{f'(W(y))}. +\] +Die Ableitung von $f$ an der Stelle $W(y)$ ist +\[ +f'(W(y)) += +(1+x)e^x += +(1+W(y))e^{W(y)}. +\] +Die Exponentialfunktion von $W(y)$ ist +\[ +e^{W(y)} = \frac{y}{W(y)}, +\] +womit die Ableitung der $W$-Funktion +\begin{equation} +W'(y) += +\frac{W(y)}{y}\cdot \frac{1}{1+W(y)} += +\frac{W(y)}{y(1+W(y))} +\label{buch:lambert:eqn:ableitung} +\end{equation} +wird. + +Aus der ersten Ableitung kann jetzt mit Hilfe der Quotientenregel +auch jede höhere Ableitung berechnet werden. +Die zweite Ableitung ist +\begin{align*} +\frac{d^2}{dy^2}W(y) +&= +\frac{d}{dy}W'(y) += +\frac{d}{dy}\frac{W(y)}{y(1+W(y))} +\\ +&= +\frac{ +W'(y)y(1+W(y)) - W(y)\bigl(1+W(y)+yW'(y)\bigr) +}{ +y^2(1+W(y))^2 +} +\\ +&= +\frac{ +W'(y)y - W(y)(1+W(y)) +}{ +y^2(1+W(y))^2 +}. +\intertext{Die Ableitung $W'(y)$ kann jetzt durch +\eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} ersetzt werden, dies ergibt} +&= +\frac{ +\displaystyle +\frac{W(y)}{y(1+W(y))}y - W(y)(1+W(y)) +}{ +y^2(1+W(y))^2 +} +\\ +&= +\frac{ +W(y) - W(y)(1+W(y))^2 +}{ +y^2(1+W(y))^3 +} +\\ +&= +\frac{ +-2W(y)^2-W(y)^3 +}{ +y^2(1+W(y))^3 +} +\\ +&= +- +\frac{ +W(y)^2 +}{ +y^2(1+W(y))^3 +} +(W(y)+2). +\end{align*} +Nach dem selben Muster können beliebig hohe Ableitungen von $W(y)$ durch +$W(y)$ ausgedrückt werden. +Zum Beispiel findet man nach einiger Rechnung für die dritte und vierte +Ableitung der $W$-Funktion die Ausdrücke +\begin{align*} +W'''(x) +&= +\phantom{-} +\frac{W(y)^3}{y^3(1+W(y))^4}\cdot (2W(y)^2 + 8W(y)+9) +\\ +W''''(x) +&= +-\frac{W(y)^4}{y^4(1+W(y))^5}\cdot (6W(y)^3 + 36W(y)^2 + 79W(y) + 64). +\end{align*} +Mit etwas zusätzlicher Arbeit kann man für die $n$-te Ableitung +\[ +\frac{d^n}{dy^n} W(y) += +\frac{(-1)^{n+1}W(y)^n}{y^n(1+W(y))^{n+1}} \cdot P_n(W(y)), +\] +wobei die Polynome $P_n(t)$ die Rekursionsgleichung +\[ +P_{n+1}(t) += +(nt+3n-1)\cdot P_n(t) - (t+1)\cdot P'_n(t) +\] +mit $P_1(t)=1$. + +\subsubsection{Differentialgleichung und Stammfunktion} +Die Ableitungsformel \eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} bedeutet auch, +dass die $W$-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung +\[ +\frac{dW}{dz} += +\frac{W}{z(1+W)} +\qquad +\text{mit Anfangsbedingung} +\qquad +W(0) = 1 +\] +ist. +Diese Gleichung kann separiert werden in +\[ +(1+W)\frac{dW}{W} = \frac{dz}{z}. +\] + +Eine Stammfunktion +\[ +F(y) += +\int W(y)\,dy +\] +von $W$ kann mit der Substition $w=W(y)$ gefunden +werden, also $we^w=y$. +Die Ableitung ist $dy = (1+w)e^w\,dw$, so dass die Stammfunktion +\begin{align*} +\int W(y)\,dy +&= +\int w (1+w)e^w\,dw += +(w^2-w+1)e^w+C +\end{align*} +wird. +Durch Rücksubstitution und mit Hilfe der Relation $e^{W(y)} = y/W(y)$ +findet man jetzt den Ausdruck +\begin{align} +\int W(y)\,dy +&= +W(y)^2 e^{W(y)} - W(y)e^{W(y)} + e^{W(y)} + C +\notag +\\ +&= +y\biggl(W(y) - 1 + \frac{1}{W(y)}\biggr) + C +\label{buch:lambert:eqn:stammfunktion} +\end{align} +für die Stammfunktion von $W(y)$. + +% +% Lösung von Exponentialgleichungen +% +\subsection{Lösung von Exponentialgleichungen +\label{buch:subsection:loesung-von-exponentialgleichungen}} +Die Lambert $W$-Funktion kann zur Lösung von Exponentialgleichungen +verwendet werden. + +\begin{aufgabe} +Gesucht ist eine Lösung der Gleichung +\[ +x=a+be^{cx}, +\] +wobei $b$ und $c$ nicht $0$ sein dürfen. +\end{aufgabe} + +\begin{proof}[Lösung] +Wir müssen die Gleichung in eine Form bringen, in der das Produkt +$Xe^X$ auftritt. +Durch Subtraktion von $a$ erhalten wir die Gleichung +\[ +x-a = be^{cx}. +\] +Multiplikation mit $e^{-cx}$ ergibt +\[ +(x-a)e^{-cx}=b. +\] +Im Exponenten steht das Produkt $cx$, als Faktor vor der Exponentialfunktion +die Differenz $x-a$, durch Multiplikation mit $c$ kann man erreichen, +dass in beiden Termen nur die Kombination $cx$ auftritt. +Schreibt man $X=c(x-a)$ oder $x=X/c+a$, kann man die Gleichung in die Form +\[ +cb += +Xe^{-X+ac} += +Xe^{-X}e^{ac} +\] +bringen. +Multiplikation mit $-e^{-ac}$ führt auf die Form +\[ +-cbe^{-ac} += +-Xe^{-X} += +f(-X) +\] +wo jetzt auf der rechten Seite die gesuchte Form steht. +Mit +\[ +-X += +W(-cbe^{ac}) += +-c(x-a) +\qquad\Rightarrow\qquad +x += +a +- +\frac{1}{c} +W(-cbe^{ac}) +\] +Die Gleichung hat eine Lösung wenn $-cbe^{ac} > -1/e$ ist. +\end{proof} + + +% +% Verfolgungskurven +% +\subsection{Verfolgungskurven +\label{buch:subsection:verfolgungskurven}} + + + + + + + + -- cgit v1.2.1