From 083feab0f9542f4e6e01c51c1beb6878f2f70b2f Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 2 Jan 2022 12:35:36 +0100
Subject: new images

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+++ /dev/null
@@ -1,62 +0,0 @@
-Man finde $x\in\mathbb{R}$ derart, dass $3^x=2x+2$.
-
-\begin{loesung}
-Die Definition der $W$-Funktion verwendet die Exponentialfunktion,
-wir schreiben daher zunächst $3^x = e^{x\log 3}$ und erhalten so
-die Gleichung
-\begin{align*}
-e^{x\log 3} &= 2x+2
-\\
-\frac{1}{3}e^{(x+1)\log 3}
-&=2(x+1)
-\\
-\frac{\log 3}{2\cdot 3}e^{(x+1)\log 3}
-&=\log 3(x+1)
-=
-X
-\\
--\frac{\log 3}{6}
-&=
--Xe^{-X}.
-\end{align*}
-Auf der rechten Seite steht ein Ausdruck der Form $ze^z$, der mit der
-$W$-Funktion invertiert werden kann, es ist also
-\begin{align*}
-W\biggl(
--\frac{\log 3}{6}
-\biggr)
-&=
--X
-\qquad\Rightarrow\qquad
-X=
--W\biggl(
--\frac{\log 3}{6}
-\biggr)
-=
-(x+1)
-\log 3
-\end{align*}
-Durch Auflösen nach $x$ findet man
-\[
-x
-=
--1
--
-\frac{1}{\log 3}
-W\biggl(
--\frac{\log 3}{6}
-\biggr).
-\]
-Die numerische Auswertung mit $W_0$ und $W_{-1}$ liefert zwei mögliche
-Lösungen, nämlich
-\[
-x
-=
-\begin{cases}
-\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011
-\\[8pt]
-\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_{-1}\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=\phantom{-}1.44456.
-\end{cases}
-\]
-Beide Lösungen kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
-\end{loesung}
-- 
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